Главная > Курс высшей математики, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

62. Цилиндрические и сферические координаты.

Часто бывает удобно относить пространство не к прямолинейным прямоугольным координатам, а к другой системе координат. Наиболее употребительные из этих систем — цилиндрические и сферические координаты. В прямолинейной прямоугольной системе положение точки определяется ее тремя координатами , и точка эта находится на пересечении трех плоскостей: , параллельных координатным плоскостям. Таким образом в этом случае пространство как бы заполняется тремя семействами взаимно перпендикулярных плоскостей

где постоянные, и всякая точка пространства является точкой пересечения трех плоскостей различных семейств. Оставляя координату , введем вместо и у новые координаты полагая

Рис. 41.

Координата есть расстояние точки М до оси OZ и есть угол, образованный плоскостью, проходящей через ось OZ и точку М, с плоскостью XOZ (рис. 41), причем может меняться от 0 до и — от 0 до . Координаты называются цилиндрическими координатами точки М. Точкам оси OZ соответствует , а координата у них неопределенна.

Мы имеем в этом Случае следующие три семейства координатных поверхностей:

Первое семейство есть семейство круговых цилиндров, ось вращения которых есть ось OZ. Второе семейство есть семейство полуплоскостей, проходящих через ось OZ, и, наконец, третье семейство есть семейство плоскостей, параллельных плоскости, XOY.

Придавая переменным приращения и проводя по две близкие поверхности из каждого семейства, соответствующие взятым значениям переменных, получим элемент объема и цилиндрических координатах. Вдоль каждого из его ребер меняется только одна из координат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 42). С точностью до малых высших порядков такой элемент можно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами

что дает выражение элемента объема в цилиндрических координатах

и вместе с тем выражение трехкратного интеграла в цилиндрических координатах

причем пределы интегрирования определяются по тем же принципам как и в случае прямоугольных координат.

Рис. 42.

Рис. 43.

Пример. Найти массу сегмента шара, наполненного неоднородной материей, плотность которой изменяется пропорционально расстоянию от основания сегмента (рис. 43). Поместим начало ординат в центр шара, за плоскость XOY примем диаметральную плоскость, параллельную основанию сегмента, ось OZ направим от начала координат к сегменту и обозначим через а радиус шара, через h высоту сегмента, через радиус основания сегмента.

Уравнение шара в цилиндрических координатах будет

Закон изменения плотности выразится формулой

где b и с — известные постоянные. Применение формулы (19) дает

Производя подстановку значений z и интегрирозание, что мы предоставляем сделать читателю, получим

где v есть объем сегмента.

Рассмотрим еще сферические координаты или, как иногда говорят полярные координаты в пространстве. Пусть М — некоторая точка пространства и ОМ — отрезок, проведенный из начала координат О в точку М.

Рис. 44.

Положение точки М можно определить следующими тремя величинами: длиною отрезка углом который полуплоскость, проходящая через ось OZ и точку М, образует с плоскостью XOZ; углом , который отрезок ОМ образует с положительным направлением оси OZ (рис. 44).

При этом может изменяться от 0 до угол f отсчитывается против часовой стрелки от оси ОХ и может изменяться от 0 до наконец, угол отсчитывается от положительного направления оси OZ и может изменяться от 0 до Опустим из точки М перпендикуляр MN на плоскость XOY и из основания этого перпендикуляра N опустим перпендикуляр NK на ось ОХ. Отрезки OK, KN, NM дают, очевидно, прямоугольные координаты точки М. Из прямоугольного треугольника ONM имеем

и, пользуясь еще прямоугольным треугольником ONK, получим окончательно формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим

Рассмотрим семейства координатных поверхностей

Первое семейство есть, очевидно, семейство сфер с центром в начале координат; второе — семейство полуплоскостей, проходящих через ось OZ, и третье — семейство круговых конусов, для которых осью вращения является ось OZ. Заметим, что началу координат О соответствует , а значение двух других координат и 0 неопределенно. Для всех точек, лежащих на оси OZ, будет неопределенной координата , а или .

Рис. 45.

Придавая переменным бесконечно малые приращения , получим элементарный объем в сферических координатах. Вдоль каждого из его ребер меняется только одна из координат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 45). С точностью до малых высших порядков такой элемент можно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами так что выражение элемента объема в сферических координатах будет

откуда получаем выражение трехкратного интеграла в сферических координатах

Приведение трехкратного интеграла к повторным можно выполнить здесь, например, следующим образом: находим центральную проекцию объема из начала координат на сферу радиуса единица (рис. 46); пусть это будет область (с) [если начало координат внутри , то совпадает со всей поверхностью сферы].

Рис. 46.

Проведем радиусы-векторы через все точки ; в простейшем случае каждый такой луч будет иметь точку входа внутрь и выхода из (v); радиусы-векторы этих точек обозначим через случае, когда начало координат лежит внутри (v), полагаем Мы получим тогда

где известные функции 0 и . Пределы интегрирования по определяются по виду области .

Пример. Определить массу шара, состоящего из концентрических слоев различной плотности. Можем считать в данном случае, согласно условию, что плотность зависит только от р. Обозначим , что дает

Если плотность постоянна и равна единице, получаем выражение объема шара

Замечание. Множитель имеет весьма важное геометрическое значение: это есть элемент площади поверхности сферы радиуса единица, на которые она разбивается меридианами и параллельными кругами (рис. 47). Если мы будем разбивать поверхность сферы радиуса единица на элементы какой угодно формы, то получим

где есть область, в виде которой проектируется на поверхность сферы рассматриваемый объем при помощи центральной проекции из начала координат.

Рис. 47.

Построим элементарный конус, вершина которого в центре шара, а направляющая — контур элемента . Раствор этого конуса, который измеряется площадью называется телесным углом, под которым виден из центра элемент любой поверхности (S), вырезываемый из нее этим элементарным конусом.

1
Оглавление
email@scask.ru