2.5. Бифуркации и хаос в разностных уравнениях

На рис. 1.11 построен график зависимости фазы периодического стимула, приложенного к спонтанно пульсирующим клеткам, от фазы предшествующего стимула. Такая система аппроксимируется

уравнением

где — фаза стимула и S — функция, связывающая значения Уравнение (2.5) представляет собой разностное уравнение.

Для того чтобы проиллюстрировать свойства разностных уравнений, выберем простое выражение для S в уравнении (2.5). Допустим, что функция S является квадратичной; тогда

Рис. 2.4. Графическое решение уравнения (2.6). (а) Стационарное состояние; (b) цикл периода цикл периода хаос.

График этого уравнения показан на рис. 2.4 для нескольких значений а. Единственный максимум, характерный для правой части этого уравнения, напоминает экспериментально полученную кривую, которая показана на рис. Таким образом, можно ожидать, что понимание динамики уравнения (2.6) могло бы оказаться полезным для выяснения экспериментальной ситуации, показанной на рис. 1.11. Если в разностном уравнении задано начальное условие то можно определить следующее значение Затем подобным же образом можно вычислить Вычислительный процесс нахождения величины по величине называется

Рис. 2.5. Временные последовательности, полученные решением уравнения (2.6). (а) Стационарное состояние; (b) цикл периода цикл периода 4;

итерацией. Итерация разностных уравнений может выполняться графически или численно.

Графическое решение разностных уравнений достаточно просто, оно демонстрируется на рис. 2.4. Выберем некоторое начальное значение и определим по графику Затем это значение с помощью той же самой процедуры может быть использовано для нахождения и т. д. Графическое решение часто оказывается полезным при предварительном анализе задачи. Если необходимо

более точное решение, итерации разностного уравнения могут быть осуществлены численными методами. Последовательности, возникающие в таких уравнениях, легко вычисляются на ЭВМ. Фактически в компьютерных алгоритмах для численного интегрирования дифференциальных уравнений используются разностные приближения дифференциальных уравнений.

Понятия стационарных состояний и колебаний полезны также и при исследовании разностных уравнений. Стационарное состояние х есть величина, при которой или

У квадратичного отображения имеются два стационарных состояния На рис. 2.5 а значения х приближаются к стационарному значению для Цикл периода определяется соотношениями

На рис. показаны циклы периодов 2 и 4 соответственно. Устойчивость стационарных состояний и циклов означает их восстановление после малого возмущения.

При изменении параметров разностных уравнений возникают бифуркации (т. е. изменения качественного поведения). Один из типов бифуркации — это бифуркационная вилка, или бифуркация удвоения периода, при которой с изменением параметра устойчивый цикл периода становится неустойчивым и рождается новый устойчивый цикл периода (см. приложение). Одно из замечательных свойств квадратичного разностного уравнения состоит в том. что при увеличении а происходит последовательное удвоение периода. Так. при увеличении а в интервале генерируются устойчивые циклы периода На рис. 2.5 показаны циклы периода 1, 2 и 4 (цикл периода 1 есть просто стационарное состояние).

На рис. 2.6 показана бифуркационная диаграмма, полученная численным решением уравнения (2.6), которая содержит несколько сотен последовательных установившихся значений Диапазон значений а, при котором для каждого из этих значений находится последовательная орбита удвоенного периода, уменьшается по мере увеличения периода, как показано на рис. 2.6. Обозначим через диапазон значений а, при которых существует устойчивый цикл периода . Для квадратичного отображения (уравнение 2.6) численными методами показано, что

Еще более примечателен тот факт, что это отношение не зависит от точной аналитической формы отображения до тех пор, пока отображение имеет только один квадратичный экстремум (максимум). Число а = 4.6692016... называется константой Фейгенбаума.

По мере дальнейшего увеличения а в интервале обнаруживаются устойчивые периодические орбиты с другими периодами (см. рис. 2.6). Эти периодические орбиты возникают в строго определенной последовательности, называемой -последовательностью (от universal) (см. приложение). Помимо устойчивых периодических орбит, наблюдается также «хаотическая» динамика.

Хотя был предложен целый ряд математических определений хаоса, мы попытаемся привести основные понятия, опуская технические детали. Хаос характеризуется двумя основными особенностями: (1) при некоторых значениях параметров почти все начальные условия приводят к апериодической динамике; (2) при сколь угодно близких начальных условиях движение системы будет различным. Это означает, что существует сильная зависимость от начальных условий.

Поскольку начальные условия известны лишь с некоторой конечной степенью точности, невозможно предсказывать динамику после некоторого момента в будущем, так как незначительные различия в начальных условиях могут оказывать сильное влияние на эволюцию системы во времени.

Рис. 2.6. Бифуркационная диаграмма, показывающая распределение величин как функции а для уравнения (2.6). Рисунок предоставил J. Crutchfield.

Сходство функции на рис. 1.11 b с квадратичной функцией, а также наблюдающаяся апериодическая динамика (1.11 а) позволяют рассматривать такие динамические процессы как хаотические (см. гл. 7).

Другим случаем, в котором, как многие полагают, можно обнаружить хаотическую динамику, являются дифференциальные уравнения, моделирующие атмосферные процессы. Лоренц высказал замечательное соображение, заключающееся в том, что если бы эти уравнения действительно имели хаотические решения, то

долгосрочные предсказания погоды были бы невозможны, так как сколь угодно малое возмущение (такое, как трепетание крыльев бабочки) могло бы в некотором отдаленном будущем изменить погоду на другой половине земного шара. Этот так называемый эффект бабочки часто приводится в качестве наглядного примера действия хаоса. Масштаб времени, в котором могут быть сделаны метеорологические предсказания, неизвестен в настоящее время, хотя мы все подозреваем, что он может оказаться довольно малым.

Можно представить себе постановку экспериментов в лабораторных условиях, в которых измерения некоторого эффекта могут быть сделаны только по истечении определенного времени. Если бы экспериментальная система была «хаотичной», существовал бы большой разброс в измеренных величинах. Невероятно, чтобы подобный разброс удовлетворял экспериментатора (или рецензента), и вполне возможно, что начальные условия будут изменяться до тех пор, пока не будут получены «воспроизводимые» результаты.