А.3. Задачи

Многие из зтих задач извлечены из опубликованных статей по колебаниям и хаосу в биологических системах. С целью поощрить читателей предпринять собственные вычисления, мы не приводим здесь источников уравнений (хотя большинство из них можно найти, стоит лишь немного покопаться). Задачи имеют разный уровень трудности, и некоторые из них довольно сложны. Многие из них (но не все) были успешно решены нашими студентами-физиологами. Студенты, имеющие доступ к компьютерам, могут воспользоваться преимуществами численного моделирования динамики.

1. В дифференциальном уравнении

рассмотрите бифуркации как функцию а. Исходя из любых начальных условий, опишите динамику при

2. Дифференциальное уравнение

где берется по модулю и А — положительные константы, рассматривалось в качестве модели двух связанных, спонтанно колеблющихся нейронов. Здесь представляет собой разность фаз между активностями двух нейронов. Рассмотрите. качественную динамику и бифуркации в зависимости от .

3. «Брюсселятор», предложенный в качестве модели биохимических осцилляторов, описывается дифференциальными уравнениями

где х и у — положительные переменные, а а и b — положительные константы. Определите стационарное состояние и опишите устойчивость в зависимости от а и b. Какой тип бифуркации возникает при потере устойчивости стационарного состояния?

4. Уравнения

где х и у — положительные переменные, у — положительная константа, предложены в качестве модели гликолитических колебаний.

Найти стационарное состояние, определить его устойчивость и классифицировать его (узел, фокус, седловая точка) в зависимости от -у.

5. (А) Исходя из собственных значений в стационарном состоянии, классифицируйте различные стационарные состояния в трехмерном случае и нарисуйте траектории в окрестности каждого из них.

(В) Предположим, что дифференциальное уравнение определяется внутри трехмерного шара и что траектории на границе шара направлены внутрь него. Существует единственное стационарное состояние. Какое из стационарных состояний, найденных в (А), может быть этим единственным состоянием?

6. Следующая система уравнений была предложена в качестве модели угнетения по механизму обратной связи:

Найти стационарное состояние и определить критерии для бифуркации Хопфа как функции , когда

7. Дифференциальное уравнение

где — положительные переменные было предложено в качестве модели последовательного деингибирования. Найти стационарное состояние и определить величину , при которой происходит бифуркация Хопфа, когда

8. Вычислить амплитуду и период колебаний в уравнении с запаздывающим аргументом (пример 7) при

9. Рассмотреть кусочно-линейное разностное уравнение

Определить динамику этого уравнения алгебраически и графически, исходя из различных начальных условий. Существуют ли здесь устойчивые циклы?

10. Опишите динамику разностного уравнения Существуют ли устойчивые циклы?

11. Разностное уравнение итерируется численно, начиная с некоторого значения и дает динамику, которая, по-видимому, является хаотической. Каковы максимальное и минимальное значения которые могут наблюдаться после многих итераций? (Подсказка: это не значения 3,6 и 0.)

12. Для разностного уравнения найти значения при которых наблюдается устойчивый цикл периода 2.

13. Для кубического отображения описать бифуркации и стационарные состояния и циклы для

14. Рассмотрите простую модель автоколебаний, описываемую уравнением (2.4). Это уравнение возмущается горизонтальным смещением на величину b, и происходит быстрая релаксация к предельному циклу ().

A) Определить аналитически новую фазу как функцию предыдущей фазы (т.е. КФП) и нарисовать графики для и 1.2.

(B) Используя теорию, изложенную в разд. 7.4, вычислить границу зоны захвата в зависимости от b. Какие типы бифуркаций имеют место на границе?