Математическое приложение

В этой книге мы сконцентрировали внимание на теоретических концепциях и биологических проблемах, а не на деталях вычислительных методов. Однако общая теория основана на большом числе математических методов, объединенных под рубрикой «Теория динамических систем». Этот раздел математики обычно считается сложным для понимания и, как правило, не включается в программу обучения студентов. В результате учебники по этому предмету могут оказаться неподходящими для многих читателей настоящей книги.

Понимание и использование принципов, которые мы обсудили, будет значительно облегчено, если читатель попытается развить некоторые технические способности, которые позволят ему формулировать и анализировать разностные и дифференциальные уравнения в качестве моделей конкретных биологических систем. Математические концепции, необходимые для такого анализа, не требуют глубоких математических знаний, и мы в течение ряда лет действительно успешно учили его основам студентов-биологов и физиологов. В этом приложении кратко описываются основные вычислительные методы и формулируются некоторые задачи. Отдельно обсуждаются дифференциальные и разностные уравнения.

А.1. Дифференциальные уравнения

Математические модели в физических и биологических науках часто представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения вида

где есть переменная, а функция описывает эволюцию во времени . В простейшем случае функции в правой части уравнения являются линейными, т. е. все переменные в правой части входят в степени не выше первой. В этом случае уравнение может быть записано в виде

где А есть матрица размера представляет собой -мер-ный вектор, а вектор начальных условий. Решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений полностью изучены и могут быть легко получены. Для этого решается характеристическое уравнение вида

где I — единичная матрица и означает детерминант. Характеристическое уравнение представляет собой полином степени N от , и в общем случае оно имеет N различных корней, называемых собственными значениями, с ненулевыми вещественными частями. В этом случае решения уравнения обычно можно записать в виде

где — корень характеристического уравнения — константа, которая может быть комплексным числом и обычно задается начальными условиями.

Случай экспоненциального убывания, рассмотренный в гл. 2, служит примером решения уравнения в котором имеется только одна переменная. В случае двух переменных уравнение записывается в виде

где — константы. После дифференцирования и подстановки уравнение можно записать в виде

Уравнение представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, так как наивысший порядок производной равен 2, и все переменные и их производные входят в уравнение как линейные члены. В линейных дифференциальных уравнениях второго (или более высокого) порядка характеристические числа могут быть получены подстановкой и решением полученного характеристического уравнения.

Пример 1. Распад радиоактивных веществ происходит согласно уравнению

где а — константа. Время полураспада радиоактивного трития равно суток. Требуется вывести формулу для количества радиоактивного трития как функции времени, если исходное количество вещества при равно

Решение. Радиоактивный тритий распадается по экспоненциальному закону, так что Величину а можно вычислить, определяя период полураспада как время необходимое для того, чтобы количество вещества уменьшилось вдвое: .

Рис. Компартментальная модель транспорта веществ между плазмой (компартмент 1) и тканью тела (компартмент 2). — константы скоростей транспорта.

Таким образом, или, в этом случае, .

Пример 2. Распределение вещества при внутривенном введении можно описать моделью, состоящей из двух компартментов. Компартмент 1 представляет плазму крови, а компартмент 2 представляет ткань (рис. А.1). Эта система моделируется дифференциальными уравнениями

где — концентрация вещества в компартмент и 2 соответственно, — положительные постоянные, определяющие поток вещества между компартментами. Решить это уравнение для х как функции времени, исходя из начального условия для случая

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

и его решение дает

Подставляя заданные значения находим так что

Из начальных условий находим, что

откуда так что решением задачи является

Демпфированный маятник в области малых амплитуд описывается дифференциальным уравнением

где Ф — угловое смещение от вертикали, к — положительная константа, пропорциональная трению, и — угловая частота. Угловая частота, в свою очередь, равна где l — длина маятника и g — ускорение свободного падения. Предположим, что При Как зависит от времени?

Решение. Характеристическое уравнение

имеет два корня

В этом случае корни являются комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью. Используя тождество , где можно определить константы из граничных условий таким же образом, как и в примере 2. Решение имеет вид экспоненциально затухающих колебаний

где

Анализ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

создает основу для анализа устойчивости нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности стационарных состояний (известных также как точки равновесия, или фиксированные точки), определяемых как точки, в которых производные всех переменных равны нулю. В стационарном состоянии х уравнения примут вид

В окрестности стационарного состояния движение описывается уравнением

где элементы матрицы А определяются как

Собственные значения матрицы А и в этом случае могут быть вычислены с помощью уравнения Эти собственные значения полезны для качественного описания динамики в окрестности стационарного состояния. Если вещественные части всех собственных значений меньше нуля, то стационарное состояние асимптотически устойчиво, и представляющая точка асимптотически приближается к нему при при любых начальных условиях в окрестности этого состояния. Если вещественные части одного или большего числа собственных значений положительны, то стационарное состояние неустойчиво. Если наибольшая вещественная часть этих значений равна нулю, то стационарное состояние называется безразлично (нейтрально) устойчивым.

Рассмотрим динамику в окрестности стационарных состояний на плоскости. Если начало координат перенести в стационарное состояние, то линеаризованная система в окрестности критической точки описывается уравнениями и вычисление собственных значений дает

Геометрия потоков в окрестности критической точки зависит от собственных значений. Различные типичные случаи получили следующие названия:

Случай 1. Фокус, — комплексно-сопряженные корни с ненулевыми вещественными частями:

Случай 2. Узел, — вещественные корни одного знака:

Случай 3. Седло, вещественные корни с противоположными знаками:

Узлы и фокусы могут быть либо устойчивыми, либо неустойчивыми. Седловые точки всегда неустойчивы.

Как отмечалось в гл. 2, эволюция системы во времени обычно изображается построением траекторий в фазовом пространстве для различных начальных условий. На рис. мы приводим фазовые портреты фокусов, узлов и седловых точек.

Рис. А.2. Три основных типа стационарных состояний в решениях обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Показаны устойчивые узлы и фокусы. В случае неустойчивых узлов и фокусов траектории направлены наружу от стационарного состояния.

Бифуркации связаны с изменениями в числе и/или устойчивости стационарных состояний или других предельных множеств. Например, бифуркация Хопфа связана с двумя комплексными собственными значениями, пересекающими мнимую ось. Определение того, соответствует ли это закритической или докритической бифуркации (гл. 5), может (в принципе) быть выполнено алгебраически, хотя вычисления могут быть ужасно сложными. Другой вид простых бифуркаций связан с расщеплением единственного устойчивого стационарного состояния на три стационарных состояния — седловую точку и два устойчивых стационарных состояния.

Число и типы стационарных состояний ограничиваются геометрией фазового пространства. Важный топологический результат, полученный Пуанкаре, накладывает ограничения на стационарные состояния в двумерных векторных полях. В практических ситуациях динамика ограничивается конечной связной областью фазового пространства, и траектории на границе области направлены внутрь области. Если обозначить через число узлов, фокусов и седловых точек соответственно, то в этом двумерном случае, согласно теореме Пуанкаре об индексе,

Возможно распространение этого результата на фазовые пространства более высокой размерности и фазовые пространства с другой топологией.

Пример 4. Система, в которой существует взаимное ингибирование (см. гл. 4), может быть описана дифференциальными уравнениями

Если существует стационарное состояние Требуется рассмотреть бифуркации и нарисовать потоки траекторий в фазовой плоскости для разных .

Решение. Характеристическое уравнение для стационарного состояния легко получается из уравнения

Собственные значения этого уравнения суть Стационарное состояние представляет собой устойчивый узел для и седловую точку для

Рис. А.З. Схематическое изображение фазовой плоскости для случая взаимного ингибирования, (а) При существует единственное устойчивое стационарное состояние. (b) При имеется три стационарных состояния, седло и два устойчивых узла. В зависимости от начальных условий при достигается тот или иной узел.

Траектории в двумерном фазовом пространстве могут быть схематически изображены, как показано на рис. А.З. При происходит бифуркация, при которой единственное стационарное состояние расщепляется на седловую точку и два устойчивых стационарных состояния.

Пример 5. Осциллятор Ван-дер-Поля описывается уравнениями

Требуется описать бифуркации как функцию и изобразить фазовую плоскость для случая

Решение. При существует единственное стационарное состояние. Из характеристического уравнения вида

легко могут быть вычислены собственные значения

Следовательно, при существует неустойчивый фокус, а при — неустойчивый узел. При существует предельный цикл, как показано на рис.

Примеры и расчеты были связаны главным образом с анализом устойчивости и бифуркаций стационарных состояний.

Рис. А.4. Схематическое изображение фазовой плоскости для уравнения Ван-дер-Поля при Устанавливается устойчивый предельный цикл. Переход с одной ветви кубической параболы на другую происходит скачком.

К сожалению, за исключением одномерных обыкновенных дифференциальных уравнений, знания о числе и устойчивости стационарных состояний недостаточны для полного описания глобальной топологической организации движения. Действительно, часто очень трудно найти доказательства сравнительно простых топологических

свойств, таких как единственность и устойчивость автоколебаний в двумерном и трехмерном случаях, и в основном полагаются на численные методы изучения нелинейной динамики.

В отличие от обычных дифференциальных уравнений, в которых правые части являются функцией текущих значений переменных, в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом правая часть может зависеть от значений переменных в некоторый момент времени в прошлом. В физиологических системах с обратной связью временные задержки возникают из-за того, что требуется некоторое время для передачи информации от рецепторов к эффекторным органам (см. разд. 4.5 и 4.6). Анализ динамики в уравнениях с временной задержкой ставит много теоретических проблем, представляющих большой интерес. Здесь мы уделяем основное внимание относительно простой задаче анализа локальной устойчивости.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом

где Отметим, что для этого уравнения, в отличие от обычных дифференциальных уравнений, начальные условия должны быть указаны в виде начальных функций

и что дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, несмотря на их кажущуюся простоту, в действительности являются системами бесконечной размерности.

Как обычно, стационарные состояния х уравнения определяются с помощью неявной функции Таким образом, используя разложение уравнения в ряд Тейлора в окрестности стационарного состояния х и рассматривая только члены первого порядка, получаем

где

Исследование локальной устойчивости уравнения в окрестности стационарного состояния х эквивалентно проверке решений уравнения на локальную устойчивость в точке Таким образом, заменяя z на из уравнения (А.13) получаем

В общем случае собственное число X является комплексным, и для того, чтобы точка была локально устойчива, мы должны иметь

В 1950 г. Hayes проделал полный анализ условий, при которых эти условия могут быть записаны следующим образом:

или

где берется главное значение . Это условие определяет ситуацию, при которой стационарное состояние х уравнения (А. 12) будет локально устойчивым. Хотя такой анализ довольно сложен, частичное понимание предложенных критериев может быть достигнуто на основании следующих соображений.

Вернемся к уравнению (А. 15) и рассмотрим случай чисто мнимого значения X, т. е. или Это и есть условие нейтральной устойчивости. Подстановка в уравнение (А. 15) дает

что эквивалентно

Расписывая уравнение (А. 18) для вещественной и мнимой частей по отдельности, получаем два уравнения,

и

которые необходимо решить относительно . Возведение обоих уравнений в квадрат и сложение дает

Далее, из уравнения следует, что ); следовательно, выражение

дает точное значение запаздывания , при котором если заданы значения А и В. Сравнение уравнений (А.20) и (А.21) с критериями Hayes в уравнении (А.16) демонстрирует связь между ними. Часто, но не всегда, в результате изменения параметра в

уравнении приводящего к потере устойчивости стационарного состояния [нарушаются условия в уравнении имеет место бифуркация Хопфа, при которой пара комплексно-сопряженных собственных значений переходит из левой в правую полуплоскость комплексной плоскости. Какие из неравенств окажутся справедливы, можно определить только при более полном анализе.

Уравнения позволяют оценить период колебаний при потере устойчивости. При точных значениях параметров , определяемых уравнением уравнение имеет решение в котором угловая частота задается уравнением Так как угловая частота и период Т связаны соотношением уравнение может быть записано в ином виде,

Отсюда легко заметить, что если А и В имеют один и тот же знак, то

в то время как при разных знаках

Следовательно, в уравнении с запаздывающим аргументом можно наложить ограничения на период колебаний в точке неустойчивости.

Пример 7. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом

описывает систему с отрицательной обратной связью, в которой вещество распадается экспоненциально, а его образование описывается монотонно убывающей функцией (характеризующей обратную связь), которая зависит от величины х в момент времени в прошлом. Требуется определить критерий устойчивости для Каковы критерии устойчивости и каков период колебаний в неустойчивом состоянии при

Решение. При данном значении параметра существует стационарное состояние Продолжая решение в окрестности этой точки разложением в степенной ряд и полагая мы имеем с точностью до членов первого порядка

Применяя критерии Hayes [уравнение (А. 16)], находим, что стационарное состояние устойчиво, если

или

При больших значениях решение будет устойчивым при условии . В точке неустойчивости период равен Это указывает на то, что стационарные состояния в системах с временными задержками в петле отрицательной обратной связи дестабилизируются при увеличении усиления обратной связи (здесь ) или временной задержки . Заметим, что мы не получили аналитического доказательства того, что это есть закритическая бифуркация Хопфа, но дальнейшие аналитические исследования показывают, что это как раз такой случай.