Примечания и литература, глава 2

2.1. Переменные, уравнения и качественный анализ

Hodgkin и Huxley (1952) своими изящными исследованиями процесса возбуждения в гигантском аксоне кальмара, заслужившими Нобелевскую премию, привлекли внимание электрофизиологов к важности математического моделирования, а внимание математиков — к разнообразию нелинейных проблем, обнаруживаемых в биологии. Их исследования опирались на численное интегрирование дифференциального уравнения в частных производных с использованием арифмометра. Подобные модельные подходы (но уже с использованием цифровых компьютеров) были применены для выяснения ионных механизмов во многих других тканях —

например, процесса возбуждения в сердечной ткани (McAllister, Noble и Tsien 1975; Noble 1983, 1984) и гормональной секреции в р-клетках поджелудочной железы (Chay и Rinzel 1985). Повсюду в этой книге мы приводим много дополнительных примеров нелинейных моделей в физиологии.

2.3. Предельные циклы и фазовая плоскость

Наше современное понимание возникновения и поведения предельных циклов основывается на оригинальной работе Poincare (1981, 1982. 1954). посвященной изучению дифференциальных уравнений с двумя переменными. Системы, которые мы назвали осцилляторами Пуанкаре, называются также -системами (Kopell и Howard 1973). Конкретный пример осциллятора Пуанкаре в уравнении (2.4), названный радиальными изохронными часами (Hoppensteadt и Keener 1982), использовался в моделировании рядом исследователей (Winfree 1975, 1980; Guevara и Glass 1982; Hoppensteadt и Keener 1982; Keener и Glass 1984).

Препарат сердца эмбриона цыпленка, первоначально изучавшийся DeHaan (1967), использовался в качестве модельной системы для изучения сердечных колебаний различными исследователями (DeHaan и Fozzard 1975; Scott 1979; Guevara, Glass и Shrier 1981; Van Meerwijk и др. 1983; Clay, Guevara и Shrier 1984).

2.4. Локальная устойчивость, бифуркации и структурная устойчивость

Эти концепции подробно рассмотрены в работе Hirsch и Smale (1974). Интересное и живое обсуждение возможности применения концепции структурной устойчивости в биологии содержится в работе Thom (1970). Данные о возможной потере жесткости структурной устойчивости с увеличением размерности могут быть найдены у Арнольда (1983) и в цитируемых там работах.

2.5. Бифуркация и хаос в разностных уравнениях

Термин «хаос» в его современном значении был введен Li and Jorke (1975). Однако значение такого поведения в естественных науках было признано ранее; работа Lorenz (1963) в метеорологии была особенно глубокой. Ссылки на ранние исследования квадратичного отображения можно найти у May (1976). Как Grossman и Thomae (1977), так и Feigenbaum (1978) установили геометрическую сходимость последовательности удвоений периода и численно определили, что пределом в уравнении (2.9) является число 4.6692016... Аналитическая оценка этого числа дается у May и Oster (1976, 1980). Универсальная (U) последовательность была впервые описана Metropolis, Stein и Stein (1973).