3.3. Выявление хаоса

Широкое признание в последнее время того факта, что встречающиеся в природе системы (физические, химические и биологические) способны к хаотическому поведению, привело к попыткам идентификации «хаоса» в лабораторных условиях и in situ. На эту тему опубликованы сотни статей, в основном после 1980 г. Однако на практике обнаружить хаос нелегко. В экспериментальных системах шум взаимодействует с динамическими процессами, подчиняющимися уравнениям движения, определяющим эволюцию системы. Таким образом, экспериментальные системы по определению подвержены стохастическим возмущениям и поэтому трудны для теоретического рассмотрения. Возможность считать детерминированно хаотичными те процессы, которые ранее классифицировались как шум. ограничивается наличием шума в изучаемой системе (в том числе в измерительном приборе). Более того, даже в теории детерминированных уравнений дается ряд различных формальных определений для хаоса, и важно осознавать, что определение хаоса часто изменяется от статьи к статье. Ввиду наличия трудностей в этой области мы кратко опишем несколько различных способов идентификации хаоса, которые используются в настоящее время.

Спектр мощности

Одной из наиболее хорошо известных и наиболее часто используемых статистических характеристик временных последовательностей является спектр мощности, который позволяет представить сложную временную последовательность в виде наложенных друг на друга синусоидальных колебаний различной частоты. Спектр мощности на данной частоте пропорционален квадрату коэффициента Фурье для этой частоты.

Спектры мощности были получены для многочисленных физиологических переменных, таких как частота пульса, кровяное давление, объем вдоха-выдоха, электроэнцефалографические показатели и тремор. Типичный спектр мощности имеет один или более пиков, которые соответствуют главным частотам, присутствующим в сигнале. В дополнение к этим главным пикам могут существовать другие частоты, но при меньших амплитудах, и очень часто мощность распределена по широкой полосе частот.

Широкополосные спектры мощности, возможно, с налагающимися друг на друга пиками, часто связаны с хаотической динамикой. К сожалению, «шум» также связан с широкополосными спектрами, и, следовательно, присутствие широкополосного спектра недостаточно для того, чтобы отличить хаос от шума.

Отображение Пуанкаре

В гл. 2 мы обсуждали моделирование нелинейной динамики дифференциальными уравнениями. Интегрирование этих уравнений дает траектории в фазовом пространстве. Отображение Пуанкаре получается при пересечении траекторий в фазовом пространстве гиперповерхностью, размерность которой на 1 меньше, чем размерность фазового пространства (например, линией, если фазовое пространство двумерно). Функция, которая дает возврат к этой поверхности при последующих пересечениях, является решением разностного уравнения, которое иногда называется отображением последования, или отображением Пуанкаре.

Отображение Пуанкаре, построенное для системы с непрерывным временем, может использоваться для анализа динамического поведения. Отображение Пуанкаре, соответствующее динамической системе, позволяет судить о наличии хаоса в экспериментальной системе. Данные на рис. 1.11 соответствуют отображению Пуанкаре для периодически стимулируемого агрегата сердечных клеток (см. гл. 7). В некоторых системах, в которых трудно или невозможно проследить эволюцию всех переменных во времени, иногда измеряется только одна переменная и определяется зависимость этой переменной от ее значения в некоторый предыдущий момент времени, а затем определяется отображение Пуанкаре в этом двумерном представлении временной последовательности.

Пути к хаосу

Мы описали последовательность бифуркаций в квадратичном отображении при изменении параметра а. В некоторых случаях можно было наблюдать те же самые последовательности бифуркаций даже в ситуациях, для которых нет хорошо разработанной теории. Например, наблюдение бифуркаций удвоения периода, сопровождающихся возникновением нерегулярной динамики, рассматривается как указание на то, что нерегулярная динамика представляет собой хаотический процесс.

Наиболее убедительные доказательства существования хаотического поведения возникают в теоретическом исследовании тех случаев, в которых при изменении параметров наблюдается как периодическая, так и хаотическая динамика. Соответствие между экспериментальными данными и теоретически предсказанным динамическим поведением, включая нерегулярную динамику экспериментальной системы при значениях параметров, приводящих к возникновению хаоса в детерминированных уравнениях, позволяет сделать вывод о том, что экспериментально наблюдаемый процесс является хаотическим. Эксперименты с периодически стимулируемыми сердечными клетками представляют один из случаев, в которых такой анализ оказался возможным (см. гл. 7).

Число Ляпунова и размерность

В последних работах по нелинейной динамике разработаны количественные меры для характеристики сложного динамического поведения. Чаще всего используются число Ляпунова и размерность, которые являются мерами регулярности и геометрии движения соответственно. Хотя полное описание этих мер технически сложно, мы кратко обсудим их в следующем разделе ввиду все возрастающей важности этих величин для характеристики нелинейной динамики.