3.4. Странные аттракторы, размерность и числа Ляпунова

К математическим концепциям, связанным с характеристикой хаоса, можно подходить с позиций дифференциальных уравнений или разностных уравнений. Здесь мы ограничимся рамками дифференциальных уравнений, но отметим возможность выхода из этих рамок и перехода к разностным уравнениям. Аттрактор есть множество точек S, таких, что траектории почти всех точек в окрестности S стремятся к S при , стремящемся к бесконечности. Таким образом, устойчивые стационарные состояния и устойчивые предельные циклы, обсуждавшиеся в главах 1 и 2, являются аттракторами. Такие аттракторы имеют очень простую геометрическую структуру (рис. 3.8). В частности, устойчивое стационарное состояние представляет собой точку (размерность 0), а устойчивый предельный цикл — замкнутую кривую (без самопересечений) (размерность 1). Возможен также двумерный аттрактор, примером которого служит тор (т. е. поверхность бублика). В этом случае траектория может наматываться на тор бесконечное число раз, заполняя его поверхность, но никогда не пересекает себя (рис. 3.8). Этот случай, называемый квазипериодичностью, рассматривается в гл. 7.

В рассмотренных выше примерах аттракторы имеют простую геометрию с размерностью, определяемой целым числом. Это не «странные» аттракторы. Однако в настоящее время стало общепризнанным существование аттракторов с непонятными геометрическими свойствами, которые Рюэль и Такенс (Ruelle, Takens) в 1971 г. предложили называть странными аттракторами. Поскольку различными авторами даются различные определения странных аттракторов, мы предпочитаем обойтись без их подробного обсуждения, представив вместо этого наглядные примеры, которые дают некоторое понимание того, что означает термин «странная» геометрия.

Получить представление о странных аттракторах можно, вообразив, что случится с маленьким шариком теста, погруженным

в остальную массу теста, как это происходит при изготовлении изделий из слоеного теста (классический pate feuilletee). Чтобы облегчить слежение за шариком теста, окрасим его мысленно в пурпурный цвет, но это не изменит его вкус в нашем «кулинарном» эксперименте. При изготовлении пирога тесто раскатывается в пласт, покрывается тонким слоем масла, затем складывается вдвое и снова раскатывается.

Рис. 3.8. Аттракторы с целочисленной размерностью. Для устойчивого стационарного состояния , для предельного цикла D = 1 и для квазипериодичности D = 2.

Рис. 3.9. Схематическое изображение странной геометрии, встречающейся при изготовлении слоеного теста (pate feuilletee). Когда тесто раскатывается и складывается, шарик теста, первоначально находившийся в центре, растягивается в свернутый лист.

Пурпурный шарик растягивается и закручивается, принимая сложную геометрическую форму даже после нескольких повторений процедуры раскатывания, смазывания маслом и складывания (рис. 3.9). Однако наблюдать эту геометрию трудно. Один из способов получить частичное представление о ней — это разрезать тесто, чтобы рассмотреть пурпурный слой в поперечном сечении. Если сделать это, то в поперечном сечении будут видны свернутые участки окрашенного теста.

Проводя аналогию с нелинейной динамикой, представим себе дифференциальные уравнения с тремя и более переменными. Если имеются N переменных, то любое начальное условие представляется точкой в этом -мерном фазовом пространстве, а эволюция

во времени представляется траекторией. Можно выделить в фазовом пространстве малый объем точек (аналогичный пурпурному шарику теста в вышеприведенном примере) и посмотреть, как точки шарика разворачиваются и размазываются с течением времени. В случае хаотичной динамической системы шарик, состоящий из точек, может в конце концов растянуться, покрывая часть аттрактора или весь аттрактор и может иметь странную геометрию.

Рис. 3.10. Стробоскопические графики, показывающие зависимость V и от фазы синусоидальной внешней силы, действующей на гигантский аксон кальмара. Ток равен 1,5 мкА, вынуждающая частота равна 270 Гц и собственная частота нейрона равна 200 Гц. По данным Aihara et al. (1986).

В отличие от случая со слоеным тестом, объем, занимаемый шариком, может уменьшаться (то, что происходит в диссипативных системах).

Последние экспериментальные данные показывают, что странная геометрия может встречаться в физиологических системах. Aihara с сотрудниками изучали действие периодической синусоидальной стимуляции на спонтанно осциллирующие гигантские аксоны кальмара. В определенных фазах гармонического возмущения записывалось напряжение V и его производная по времени При некоторых частотах и амплитудах стимуляции эти авторы наблюдали сложные складчатые геометрические формы, подобные тем, которые характерны для странных аттракторов в нелинейных дифференциальных уравнениях, обнаруживающих хаотическую динамику (рис. 3.10).

Несомненно, было бы хорошо иметь какой-нибудь количественный способ описания геометрии странных аттракторов. Один такой способ, предложенный недавно и находящийся сейчас в состоянии активного развития, — это использование мер типа размерности. Устойчивые состояния, предельные циклы и квазипериодические аттракторы связаны с целочисленной размерностью (рис. 3.8). Однако с начала этого века математики имели дело с патологическими множествами, связанными с нецелочисленной размерностью. Такие множества были названы фракталами Мандельбротом, который многократно указывал на их важность для понимания геометрических аспектов в естественных науках.

Рис. 3.11. Множество Кантора. Каждая ниже лежащая линия получена из предыдущей вырезанием средней части каждого сегмента. Размерность равна 0,6309... Из работы Mandelbrot (1982).

Чтобы проиллюстрировать, что означает термин «фрактал», мы должны принять определение размерности. Был предложен ряд различных определений размерности фрактальных множеств. Очевидно, простейшим из них является емкость. Рассмотрим множество точек в -мерном пространстве. Пусть — минимальное число -мерных кубов со стороной , необходимое для того, чтобы покрыть множество. Тогда размерность множества определяется как

Например, чтобы покрыть линию длиной L, потребуется кубов, откуда видно, что Подобным образом для квадрата со стороной L мы имеем Чтобы представить себе множество с дробной размерностью, рассмотрим конструкцию, показанную на рис. 3.11. Возьмем отрезок единичной длины. Удалим среднюю треть этого отрезка. Теперь вырежем среднюю треть двух оставшихся фрагментов. Множество точек, остающееся после того, как этот процесс будет повторен бесконечное

число раз, называется канторовским множеством. Чтобы вычислить его размерность, допустим, что есть число повторений процесса вырезания, так что . Если , то ; если , то если , то и, вообще, Используя уравнение (3.13), легко вычисляем

Нематематикам это обсуждение фракталов может показаться бессмысленной тарабарщиной. Однако теперь стало ясно, что в нелинейных системах могут существовать странные аттракторы, являющиеся фракталами. Более того, Мандельброт и др. высказали предположение о том, что такие анатомические структуры, как система кровообращения и легкие, могут иметь фрактальную геометрию. Анализ фрактальных аспектов анатомии и динамики только начинается и, несомненно, станет областью гораздо более интенсивного развития.

Другой количественной мерой, характеризующей странные аттракторы, является число Ляпунова, которое можно определить при рассмотрении эволюции в фазовом пространстве малого шара, состоящего из точек этого пространства. С течением времени малый шар (в Димерном пространстве) превращается в эллипс с главными осями . Числа Ляпунова определяются как

причем упорядочиваются по убыванию. Kaplan и Yorke пришли к выводу о том, что размерность странных аттракторов может быть определена с помощью чисел Ляпунова. До сих пор мы избегали обсуждения связей между хаосом, странными аттракторами, размерностью и числами Ляпунова. В использовании этих терминов иногда возникает путаница, и отмечаются расхождения между различными авторами. Наиболее четкими кажутся представления Grebogi и соавторов. Они используют термин «хаос» для описания динамики системы, а термин «странный аттрактор» — для характеристики геометрии аттрактора. Хаотическая система — это такая система, для которой типичные орбиты на аттракторе имеют положительную экспоненту Ляпунова. Странный аттрактор имеет необычные геометрические свойства, такие, как нецелочисленная размерность и недифференцируемость. Это отличие, по-видимому, является важным, так как, согласно принятым выше определениям, хаотическая динамическая система может иметь аттракторы, не являющиеся странными, и, наоборот, нехаотическая динамическая система может иметь странные аттракторы.

В настоящее время проводится активная работа по разработке практических алгоритмов, которые могут быть использованы для численного определения размерностей и чисел Ляпунова, если

известны значения некоторой переменной как функции времени. Область применения их в биологии включает анализ электроэнцефалограмм и электрокардиограмм. К сожалению, используемые алгоритмы имеют много потенциальных ловушек и их свойства сходимости в настоящее время недостаточно выяснены. В частности, два аспекта требуют тщательного теоретического анализа: (1) требования к размеру анализируемого массива данных и (2) влияние шума, старших производных и геометрии аттрактора. Из-за зтих сложностей однозначное истолкование публикуемых данных затруднено. Любое утверждение о существовании «хаоса», основанное исключительно на вычислении размерности или числа Ляпунова без дополнительных данных, таких, как хорошо описанные бифуркации или правдоподобная теория, может быть встречено с сильным скептицизмом.