7.2. Математические концепции

Изучение вынужденных нелинейных колебаний имеет богатую историю, и в этой области все еще продолжается активная работа. Действие периодической внешней силы на нелинейные осцилляторы изучалось в 20-х годах Ван-дер-Полем и Ван-дер-Марком. Они высказали предположение, что активность сердца можно моделировать тремя нелинейными осцилляторами, соответствующими синусовому узлу, предсердиям и желудочкам. Между синусовым и предсердным осцилляторами существует однонаправленная связь, и такая же связь существует между предсердным и желудочковым осцилляторами. Уменьшая связь между предсердным и желудочковым осцилляторами, они обнаружили, что можно получить ряд различных ритмов с захватом фазы, которые качественно соответствуют классу сердечных аритмий, называемых атриовентрикулярной (АВ) блокадой сердца. Однако многие исследователи в области сердечно-сосудистой физиологии приписывают АВ-блокаду сердца блокированию проведения в АВ узле, а не отсутствию синхронизации между предсердными и желудочковыми осцилляторами (см. разд. 8.1).

Простое дифференциальное уравнение второго порядка, предложенное Ван-дер-Полем для моделирования нелинейных автоколебаний, сыграло важную роль в прикладной математике. Изучение влияния периодического синусоидального воздействия на решение этого уравнения было впервые предпринято Ван-дер-Полем и продолжается в наши дни. Уравнение Ван-дер-Поля с вынуждающим членом может быть записано в виде

При существуют только устойчивые автоколебания. При изменении v и В возникают области захвата частоты, показанные на рис. 7.3. В сороковых годах Cartwright и Littlewood, а затем Levinson сделали замечательное наблюдение, которое заключалось в том, что при некоторых значениях параметров возможно существование апериодических орбит для некоторого набора начальных условий. В терминах современной нелинейной динамики эти апериодические орбиты соответствуют хаотическому динамическому поведению нелинейных осцилляторов, на которые действует периодическая внешняя сила. В знаменитой статье, опубликованной в 1967, Смейл (Smale), придерживавшийся концепции Левинсона, открыл математическую конструкцию (подкова Смейла), демонстрирующую существование бесконечного числа периодических, а также апериодических орбит в особом классе двумерных разностных уравнений (диффеоморфизмов плоскости).

Для ознакомления с математическим анализом вынужденных

нелинейных колебаний рассмотрим гипотетическую ситуацию, в которой некоторый биологический осциллятор подвергается периодической стимуляции. Чтобы рассмотреть вынужденные колебания на конкретном примере, представим себе, что спонтанно осциллирующий нейрон подвергается возмущению синусоидальным электрическим током. Примем, что период синусоидальных колебаний равен и допустим, что период колебаний нервной клетки отличен от Будем вести запись последовательных моментов времени, в которые происходит разряд нервной клетки.

Рис. 7.3. Области захвата фазы осциллятора Ван-дер-Поля (уравнение (7.1)) синусоидальным колебанием, полученные с помощью аналогового компьютера. Указаны отношения между циклами возмущаемого осциллятора и вынуждающей функцией. Динамика в заштрихованных областях была названа «биениями» (в настоящее время используется термин «квазипериодичность»). Из работы Hayashi (1964).

В предельном случае отсутствия связи между нейроном и возмущением синусоидальная стимуляция не оказывает никакого влияния. Этот случай сводится к тривиальной задаче вычисления времени следующего разряда нейронного осциллятора. Если — время разряда, то

Если нас интересует только фаза синусоидального стимула, в которой происходит разряд нейрона, то достаточно рассмотреть только дробную часть значений Найдем дробную часть по модулю 1) и назовем результирующую фазу разряда (рис. 7.4 а). Например, если положить , то График этой функции показан на рис. 7.4b. В более общем случае (при наличии связи) синусоидальный стимул оказывает

Рис. 7.4. (а) Схематическое изображение фазы двух последовательных разрядов нейронного осциллятора в синусоидальном цикле при допущении об отсутствии влияния одного разряда на другой. (Ь) График соответствующего разностного уравнения.

влияние на разряд нейрона. Однако если связь сравнительно слабая, отличие от предельного случая с нулевой связью будет невелико. В этом случае уравнение (7.2) можно переписать в виде

где функция есть в общем случае нелинейная функция, которая зависит от силы связи b. В пределе, при нулевой связи, .

Уравнение (7.3) представляет собой другой пример разностного уравнения (см. разд. 2.5). Если нелинейная функция известна,

то можно рассчитать динамику для всех моментов времени в будущем. Однако в отличие от квадратичного отображения (уравнение (2.6)) уравнение (7.3) содержит два параметра b и Моменты разрядов , (по модулю 1) могут быть представлены в виде точек, лежащих на окружности единичной длины. Тогда итерацией уравнения (7.3) одна точка окружности переносится в другую точку. Такая функция называется круговым отображением. Чтобы понять влияние возмущений, важно понимать изменения в динамике (бифуркации), которые возникают при изменении параметров кругового отображения.

При условии, что нелинейная функция не слишком велика, бифуркации этого уравнения хорошо объяснимы.

Рис. 7.5. Схематическая диаграмма языков Арнольда. В заштрихованных областях существует устойчивый захват фазы при взаимодействии между спонтанно осциллирующей системой и вынуждающей периодической стимуляцией. Между любыми двумя зонами устойчивого захвата фазы всегда существуют другие зоны. Ордината соответствует амплитуде, а абсцисса — периоду вынуждающей периодической функции.

Точное математическое определение выражения «не слишком велика» означает, что должно существовать взаимно однозначное соответствие между Ф и . То есть для любого значения должно существовать одно и только одно значение , а для каждого значения должно существовать одно и только одно значение Такие отображения называются обратимыми.

Анализ бифуркаций обратимых круговых отображений был предпринят в прошлом веке Пуанкаре и до сих пор привлекает большое внимание. Основные результаты были получены советским математиком В. И. Арнольдом. Результаты его исследований показаны схематически на рис. 7.5. В плоскости параметров имеются хорошо различимые области, называемые языками (или рогами) Арнольда, которые соответствуют устойчивому захвату фазы кратности циклов стимулятора и М циклов нейронного осциллятора). Языки Арнольда существуют для всех рациональных отношений где N и М — взаимно простые числа (т. е. не имеющие общего делителя). Это означает, что существует бесконечное число языков Арнольда, соответствующих всем возможным

отношениям частот стимулятора и возмущаемого осциллятора. Видно, что структура, показанная на рис. 7.5, присутствует также на рис. 7.2 и 7.3, по крайней мере в некоторой области пространства параметров.

В обратимых круговых отображениях при всех значениях параметров внутри языка Арнольда, соответствующего захвату фазы все начальные условия асимптотически приближаются к устойчивому захвату фазы Мы неформально определяем число оборотов как отношение между числом циклов стимулятора и числом циклов возмущенного осциллятора. Таким образом, при захвате фазы , число оборотов (см. также математическое приложение).

Возможны ли какие-нибудь комбинации амплитуды и частоты стимула, которые не приводят к устойчивому захвату? Иначе говоря, каково динамическое поведение в областях между языками Арнольда? Существуют такие значения параметров, при которых устойчивый захват не наблюдается ни при каких начальных условиях. В этом случае динамика называется квазипериодической. Проще всего можно представить себе такую динамику, рассмотрев случай, в котором два ритма полностью независимы. С течением времени фазовые отношения между двумя ритмами будут непрерывно изменяться, но в общем случае, если отношение частот иррационально, никогда не повторятся. Если каждое новое значение отложить на окружности, то в пределе при окружность будет плотно покрыта точками (это означает, что любая точка на окружности находится как угодно близко к другой точке последовательности ). Динамика является апериодической, но не хаотической, поскольку два близких начальных условия остаются близкими при последующих итерациях.

Такая динамика иногда называется колебательным свободным пробегом, или относительной координацией. Типичный случай квазипериодической динамики показан на рис. 7.1 на врезке, соответствующей области параметров, лежащей между зонами ритмов Хотя можно ожидать, что будет трудно найти области значений параметров, в которых возникает квазипериодичность, существует конечная вероятность того, что квазипериодичность будет наблюдаться при случайном выборе параметров обратимых круговых отображений. Действительно, в тех экспериментальных исследованиях, где используется слабая стимуляция, обычно наблюдается квазипериодичность, а не захват фазы.

До сих пор мы ограничивались рассмотрением ситуации, в которой сила связи (и, следовательно, нелинейность) не слишком велика, и динамика может быть представлена с помощью обратимых круговых отображений. В некоторых экспериментальных системах и в математических моделях при увеличении силы периодического возмущения такое представление динамики оказывается

невозможным, и тогда относительно простая и хорошо понятная структура языков Арнольда не наблюдается. Рассмотрим теперь несколько способов, с помощью которых структура языков Арнольда может быть разрушена в случае периодического действия внешней силы на колебания в релаксационных моделях и в моделях с предельным циклом.