6.3. Сдвиг фазы автогенераторов

Многие математические модели, предложенные для объяснения механизма биологических колебаний, имеют устойчивые предельные циклы, например модели с нелинейной обратной связью, с последовательным деингибированием и модели пейсмекерных клеток, описанные в гл. 4. Интересно, что, как показал Winfree на обширном материале, ответы генераторов автоколебаний на прерывистые стимулы имеют несколько общих характеристик, независимых от конкретных математических уравнений, описывающих систему. В этом разделе мы суммируем главные результаты изучения фазовых сдвигов автогенераторов.

Сначала мы представим общую экспериментальную парадигму и дадим определения, используемые при изучении действия возмущений

Общая ситуация изображена на рис. 6.5. Темные полоски представляют события-маркеры в спонтанных колебаниях, имеющих собственный, или контрольный, период Такими маркирующими событиями могут быть, например, возникновение потенциала действия в нервном или сердечном препарате, начало вдоха или начало митоза в клетках, растущих в тканевой культуре. Фаза маркирующего события принимается равной нулю. Фаза в любой последующий момент времени определяется как Согласно данному определению, фаза изменяется от 0 до 1.

Рис. 6.5. Схема экспериментов по фазовым сдвигам. Возмущенная длительность цикла Топределяется в зависимости от фазы стимула , где есть длительность цикла в контроле.

При других обозначениях фаза выражается в градусах (фаза умножается на 360°) или в радианах (фаза умножается на ). Если стимул подается в момент времени 6 после маркирующего события, фаза приложения стимула равна

В этих экспериментах исследуется влияние стимула на цикл, во время которого он был приложен, и на последующие циклы. Обычно продолжительность цикла, во времы которого прикладывается стимул, изменяется. Ее назвывают длительностью возмущенного цикла (обозначена символом Т на рис. 6.5). Кроме того, может изменяться и продолжительность последующих циклов, но для простоты мы будем считать ее постоянной. Это допущение является обоснованным для многих систем, так как в них часто наблюдается быстрый возврат к контрольной величине длительности цикла после возмущения. Базовый эксперимент с использованием возмущающего стимула затем повторяется для различных значений фазы и величины стимула.

В результате возмущения цикла, во время которого был приложен стимул, и быстрого возвращения к нормальной длительности цикла, последующие события-маркеры происходят в моменты времени, отличные от тех, в которые они наблюдались бы в отсутствие возмущения. Разница между временем возникновения маркирующих событий часто описывается как нормализованная, или относительная разность фаз . В некоторых экспериментальных препаратах события, немедленно следующие за возмущением, могут не наблюдаться из-за экспериментального артефакта, поэтому разность фаз можно измерить только по истечении нескольких периодов автономного цикла.

Ясно, что в этой ситуации разность фаз определяется неоднозначно, так как асимптотические разности фаз, равные —0,1, 0,9, 1,9, было бы невозможно различить. Это является отражением того факта, что асимптотическое значение фазового сдвига можно измерить только по модулю 1. Эта неоднозначность в измерении фазового сдвига может вызывать недоразумения, и лучше избегать употребления термина «фазовый сдвиг» (хотя он часто используется), исключая случаи, в которых существует полная ясность в отношении его определения. Примем теперь, что цикл создается автоколебанием. Пусть начальные положения точки на цикле и точки вне цикла соответственно, координаты соответствующих траекторий в момент времени t. Если , где d — евклидово расстояние, то латентная фаза точки та же самая, что и фаза точки .

Геометрическое место точек с одной и той же латентной фазой называется изохроной. Изохрона — это гладкая кривая (для двумерных предельных циклов), пересекающая траектории в области притяжения предельного цикла. Представляющая точка на любой траектории в области притяжения предельного цикла проходит через все изохроны с одинаковой скоростью. Таким образом, изохроны сгущаются, когда производные по времени малы. В частности, изохроны могут быть расположены сколь угодно близко друг к другу в любой неподвижной точке и, следовательно, также вдоль любой сингулярной траектории, ведущей к фиксированной точке. Геометрическое место стационарных состояний и притягивающих многообразий зтих стационарных состояний называется бесфазовым множеством. За исключением бесфазового множества, одна и только одна изохрона проходит через каждую точку в области притяжения предельного цикла. Эти понятия иллюстрируются рисунком 6.6 а, на котором показаны изохроны для осциллятора Пуанкаре, описываемого уравнением (2.4) и представленного на рис. 2.3. В других, более сложных дифференциальных уравнениях изохроны обычно не являются прямыми линиями. Приводимые ниже рассуждения применимы также к этим более сложным случаям.

Действие стимула заключается в сдвиге точки предельного цикла, лежащей на некоторой изохроне в другую точку фазового пространства, лежащую на некоторой другой изохроне обычно вне предельного цикла. Допустим, что стимул представляет собой горизонтальное перемещение на величину b (рис. 6.6b). Тогда из тригонометрических соображений связаны соотношением

Рис. 6.6. (а) Изохроны для простого осциллятора с предельным циклом, полученного решением уравнения (2.4) и представленного на рис. 2.3. (b) Эффект возмущения. Стимул, приложенный в фазе , сдвигает фазу в причем Ф и связаны уравнением (6.1).

Функция, которая может быть использована для вычисления новой фазы после возмущения, называется кривой фазового перехода (КФП). КФП связана с длительностью возмущенного цикла формулой

где собственную продолжительность цикла мы положим равной 1.

Может оказаться полезной геометрическая интерпретация экспериментов по фазовому сдвигу (рис. 6.7). Если стимулы прикладываются во все фазы цикла, то геометрическое место новых состояний С, достигаемое сразу после приложения стимула, будет сдвинутым образом предельного цикла. Мы назовем эту замкнутую кривую, С, сдвинутым циклом. Вдоль С происходит непрерывное изменение фазы, за исключением того момента, когда С пересекает бесфазовое множество. Если кривая С непрерывна, можно сделать

(см. скан)

Рис. 6.7. Схематическое изображение эффектов возмущения осциллятора с предельным циклом, изображенным на рис. 6.6b. (а) Возмущение приводит к сдвигу цикла в положение С. Если сдвинутый цикл захватывает начало координат, происходит сдвиг фазы типа . В противном случае происходит сдвиг фазы типа Возмущенная длительность цикла при фазовом сдвиге типа 1 и типа . Графики зависимости новой фазы от предыдущей фазы для фазовых сдвигов типа и типа . Из работы Glass and Winfree (1984).

один оборот вдоль С, подсчитывая при этом общее число прохождений по циклу исходного осциллятора. Это число называется числом оборотов, или топологической степенью С. После достаточно слабого возмущения (в этом случае сдвинутый цикл С почти не отличается от предельного цикла от и степень С равна 1 (рис. 6.7). Мы назовем такой сдвиг фазовым сдвигом типа 1. Принято говорить, что возмущение, которое сводит число оборотов к 0, вызывает сдвиг типа 0. Из рассмотрения рис. 6.7 становится ясно, что, если возмущение достаточно велико можно ожидать сдвига фаз типа 0.

Рассмотрим теперь простой предельный цикл на рис. 6.6 в качестве концептуальной модели сердцебиений. Допустим, что всякий раз, когда фаза проходит через 0, это соответствует нарастанию потенциала действия в сердце (событие-маркер). Возмущением служит деполяризующий стимул. Результаты возмущения продолжительности цикла следует сравнить с экспериментальными данными на рис. 6.2. Существует поразительное качественное соответствие между возмущенной длительностью цикла в простой модели (рис. 6.7) и данными наблюдений, полученными в опытах по сдвигу фаз. Эта простая модель согласуется также с четырьмя главными экспериментальными наблюдениями, описанными в разд. 6.1. Поскольку в экспериментах определяется зависимость новой фазы цикла от фазы и амплитуды стимула, их результаты могут быть представлены в трехмерном изображении. Winfree дал этому трехмерному спиралевидному изображению название временной кристалл.

С теоретической точки зрения, анализ данных по сдвигу фаз, основанный на топологии предельных циклов, прост и изящен. Он дает качественное объяснение главным результатам экспериментов без многочисленных произвольных допущений релаксационной модели. Мы надеемся, что ввиду компактного характера и простоты топологической теории возмущения предельного цикла будут получены достаточно точные данные для других систем, так что длительность возмущенного цикла и КФП могут быть определены как функция фазы и амплитуды стимула.

Хотя топологическая теория сдвига фазы предельного цикла дает качественное объяснение некоторых особенностей экспериментов по фазовым сдвигам в ряде систем, иногда возникают трудности при выполнении детального анализа. Мы рассмотрим некоторые из них в разд. 6.5. Сначала, однако, изучим фазовые сдвиги в различных системах.