1.2. Математические модели биологических осцилляторов

Существует обширная литература, в которой предлагается множество различных типов моделей генерации физиологических ритмов. Простейшей из них является релаксационная модель.

Рис. 1.6. Релаксационная модель. Активность возрастает до порога разряда и затем возвращается к нулю.

В таких моделях величина, называемая активностью, возрастает до порогового значения, приводящего к возникновению некоторого события. Затем активность возвращается к нижнему пороговому значению. Этот процесс представлен схематически на рис. 1.6. Если скорости нарастания и спада активности до пороговых

значений фиксированы и если фиксированы также пороговые значения, то генерируется периодическая последовательность событий, частоту которой легко определить.

Примером физиологической системы, моделью которой может служить релаксационная модель, является система регуляции рефлекса мочеиспускания. С течением времени мочевой пузырь наполняется и происходит мочеиспускание, затем цикл повторяется вновь. У здорового взрослого мочеиспускание происходит

Рис. 1.7. Моменты мочеиспускания и опорожняемый объем, записанные у пациента с карциномой мочевого пузыря. Данные из работы Abrams, Feneley and Torrens (1983).

6—10 раз в день, причем опорожняемый объем достигает 300 — 600 мл. Однако у беременных женщин и больных с серьезной патологией мочевого пузыря или простаты нередко наблюдается повышенная частота мочеиспускания, уменьшенный объем и ночное недержание мочи. На рис. 1.7 показана запись опорожняемого объема и времен мочеиспускания у больного с карциномой мочевого пузыря. Нам неизвестны подробные количественные исследования или теоретический анализ рефлекса мочеиспускания и его патологических вариантов. Релаксационные модели были использованы для моделирования многих других систем, и в этой книге часто будем пользоваться такими моделями.

Хотя релаксационные модели часто используются в физиологии, и мы обсудим их в нескольких последующих главах, обычно принято моделировать биологические осцилляторы нелинейными уравнениями. Колебания в таких системах чаще всего связаны с существованием предельного цикла и представляют собой такие колебания, которые устанавливаются после небольшого возмущающего воздействия. Необходимость использования нелинейных уравнений обусловлена тем, что они точно отражают сложную структуру физиологических систем.

В недавних работах показано, что математические модели физиологических систем, в которых может быть получена периодическая динамика, могут обнаруживать также нерегулярное хаотическое поведение в некотором интервале значений параметров. В качестве примера мы приводим на рис. 1.8 данные для девушки, страдающей хронической миелогенной лейкемией (XMЛ). XMЛ является результатом нарушения продукции кровяных клеток

(гемопоэза) и обычно характеризуется сильным увеличением содержания в крови белых клеток крови, называемых нейтрофилами. За прошедшие два десятилетия клиническими данными установлено существование интересного периодического процесса: число нейтрофилов периферической крови колеблется вокруг повышенного уровня с периодом 30—70 дней в зависимости от пациента.

Рис. 1.8. (а) Изменение числа циркулирующих белых кровяных клеток во времени у 12-летней девочки с диагнозом хронической граиулоцитарной лейкемии. Перерисовано из работы Gatti et al. (1973). (b) Хаотическая динамика, полученная численным интегрированием нелинейного дифференциального уравнения с задержкой, моделирующего регуляцию гемопоэза. По данным Mackey and Glass (1977).

Математическая модель системы регуляции гемопозза обнаруживает как периодическое, так и хаотическое динамическое поведение.

Пример хаотической динамики для этой системы показан на рис. 1.8b. В гл. 4 представлен обзор математических моделей биологических ритмов, использующих нелинейные уравнения. Мы показываем, что такие модели могут дать качественное, а иногда и количественное согласие с наблюдаемым колебательным поведением.

Мы не пытаемся дать систематический и подробный обзор всех исследований, касающихся ритмогенеза, потому что реальные механизмы ритмогенеза в конкретных системах, как правило, не вполне ясны и являются предметом дискуссий. Кроме того, многие из функционально важных характеристик конкретных систем — например, их ответ на возмущение и механизмы инициирования и прекращения колебаний — могут анализироваться в отсутствие точных знаний о механизмах, связанных с генерацией колебаний.