Примечания и литература, математическое приложение

В последние годы возник большой интерес к нелинейной математике и появился ряд учебников, относящихся к этой области. К учебникам с ориентацией на физику, которые включают многочисленные примеры применения теории в физических науках, но не содержат строгой математики, относятся книги Berge, Pameau and Vidal (1984), Schuster (1984), Thompson and Stewart (1986). Математически ориентированными учебниками, основанными на более строгом подходе, являются Арнольд (1978), Guckenheimer and Holmes (1983) и Devaney (1986). Исследование хаотической динамики с точки зрения эргодической теории проведено в работе Lasota and Mackey (1985). Математическое рассмотрение включенных здесь тем можно найти в последних книгах по математической биологии (Segel (1984); Murray (1988)).

А.1. Дифференциальные уравнения

Прекрасный учебник по качественной теории дифференциальных уравнений написан двумя выдающимися математиками (Hirsch and Smale (1974)). В нем содержатся элементарное рассмотрение теоремы о бифуркации Хопфа и доказательство единственности и

устойчивости предельных циклов, описываемых уравнением Ван-дер-Поля. Дополнительные работы по бифуркации Хопфа содержатся в книге Marsden and McCracken (1979). Теорема Пуанкаре об индексе обычно рассматривается на высоком уровне математической подготовки. Обсуждение ее применения к векторным полям различной размерности и топологии содержится в книге Guillemin and Pollack (1974) (ищите теорему Хопфа — Пуанкаре, но не подумайте, что это тот же самый Хопф, имя которого носит бифуркация, потому что это не так). Применения теоремы Хопфа—Пуанкаре об индексе в биологии и химии содержатся в работе Glass (1975).

Фазовый портрет, построенный для случая взаимного ингибирования (рис. А.З), отражает топологию принципа конкурентного вытеснения в экологии (May (1973)) и служит моделью взаимного ингибирования в биохимических и нейронных сетях (Glass and Kauffman (1973); Shymko and Glass (1974); Glass and Young 1979). Динамическое поведение сетей, в которых существует взаимная активация (см. вышеприведенные ссылки, а также недавние исследования Hopfield (1984)), характеризуется той же самой топологией. Первые важные примеры описания хаоса нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями можно найти в работах Lorenz (1963) and Rossler (1979).

Уравнения с запаздывающим аргументом в качестве моделей регуляции с обратной связью в физиологии широко использовались (Mackey and Glass (1977); an der Heiden (1979, 1985); Mackey (1978); Glass and Mackey (1979a); Mackey (1979 a,b); Mackey and an der Heiden (1984); an der Heiden and Mackey (1982, 1988)).

A.2. Разностные уравнения

Рассмотрение бифуркаций в квадратичном отображении (уравнение А.33) можно найти у разных авторов, но особенно рекомендуются Devaney (1986) и Thompson and Stewart (1986). Хороший обзор свойств обратимых круговых отображений содержится в книге Devaney (1986). В последние годы возник интерес к переходу от обратимости к необратимости (Feigenbaum, Kadanoff and Shenker (1982)); Ostlund et al. (1983); M.H. Jensen, Bak and Bohr (1984)). С биологической точки зрения представляет интерес изучение динамики при значениях параметров, при которых отображение необратимо (см. разд. 7.4). Изучение бифуркаций такого отображения в области, где возникает необратимость, было предпринято в связи с биологическими проблемами (R. Perez and Glass (1982); Glass and Perez (1982)) и выполнялось впоследствии многими другими авторами (Schell, Fraser and Kapral (1983); Boyland (1986); Fraser and Kapral (1984); Belair and Glass (1985); Mackay and Tresser (1986)).