6.5. Трудности в применении топологической теории

Рассмотрим простой нелинейный осциллятор (рис. 2.3), ответ которого на одиночные стимулы показан на рис. 6.7. Стационарное состояние неустойчиво, поэтому возмущения, приложенные сколь угодно близко к этой точке, будут возрастать. с течением времени, и колебания восстановятся. Следовательно, даже если бы существовал такой стимул, который может вызвать прекращение колебаний, в любой практической ситуации, было бы невозможно приложить его точно, и колебания восстановились бы. Кроме того, в конкретных случаях существующие в системе флуктуации выводили бы ее из неустойчивых стационарных состояний. Таким образом, можно ожидать, что на практике будут возникать такие ситуации, в которых невозможно экспериментально устранить колебания одиночным стимулом — даже в случае автоколебаний. Как обсуждалось в разд. 5.4, в том случае, когда существует устойчивое стационарное состояние, прекращение текущих колебаний возможно.

Применение топологической теории на практике представляет определенные трудности. Одна из основных идей, принадлежащих Winfree, сводится к тому, чтобы использовать наличие фазового сдвига типа 1 при небольшой силе стимула для получения информации о фазовых сдвигах при промежуточных значениях величины стимула. Трудности возникают из-за того, что без дальнейших экспериментов или без значительного количества дополнительных данных о топологической структуре нелинейного осциллятора трудно сделать точные предсказания о фазовом сдвиге при стимулах промежуточной силы. Последующие рассуждения могут показаться сложными, но они важны для всех исследователей, желающих применить топологическую теорию для решения конкретных проблем.

Ключевое понятие, необходимое для применения топологических результатов к конкретным ситуациям, вытекает из следующих

свойств непрерывности нелинейных автоколебаний. Если (1) в основе биологического осциллятора лежат устойчивые автоколебания и (2) все возмущения колебаний, имеющие фиксированную силу, но различные фазы, сдвигают представляющую точку в фазовом пространстве в некоторую другую точку, которая остается в области притяжения колебаний, то после завершения всех переходных процессов график зависимости новой фазы от прежней фазы при фиксированной силе стимула представляет собой непрерывную функцию, которая отображает единичную окружность в себя (см., например, зависимость от на рис. 6.7).

Рис. 6.11. Данные по фазовым сдвигам, полученные на спонтанно сокращающихся агрегатах сердечных клеток из желудочков куриного эмбриона. Импульсы стимулирующего тока имели амплитуду 37 нА и длительность 20 мс. Цифры на рисунке слева указывают интервал от начала потенциала действия до момента приложения стимула в мс. Виден разрывный ответ (см. обсуждение в тексте). Из работы Guevara, Shrier and Glass (1986).

Во многих случаях зависимость новой фазы от прежней фазы, по-видимому, не является непрерывной. Примером могут служить ранее упомянутые исследования фазового сдвига в агрегатах спонтанно пульсирующих клеток сердца куриного эмбриона. При малых силах стимула наблюдалась зависимость новой фазы от прежней

фазы типа 1, а при больших силах стимула — типа 0. При промежуточных значениях силы стимула преобладала другая ситуация (рис. 6.11). Последовательность стимулов, приложенных спустя после потенциала действия, вызывала увеличение длительности возмущенного цикла, но те же самые стимулы, приложенные спустя приводили к укорочению длительности возмущенного цикла. Стимулы, приложенные спустя вызывали один из двух типов ответа — либо удлинение, либо укорочение длительности возмущенного цикла. Если позволить колебаниям продолжаться в течение нескольких циклов, становится ясно, что огибающие потенциалов действия после удлинения и укорочения различны (т. е. они не накладываются друг на друга, как следовало бы ожидать, если бы кривая зависимости новой фазы от прежней фазы была непрерывной).

Данные, представленные на рис. 6.11, ставят фундаментальную проблему. При данной силе стимула не было обнаружено возмущений, которые выводили бы колебания из области притяжения аттрактора. Следовательно, если функция, описывающая фазовый сдвиг, разрывна, что, по-видимому, соответствует действительности, то основной ритм не может быть представлен движением по предельному циклу. На основании анализа дифференциальных уравнений, моделирующих ионный поток через физиологические мембраны, можно предположить, что, хотя кривые фазовых сдвигов выглядят разрывными, в действительности они могут быть непрерывны. Моделирование показало, что эти ионные модели могут давать чрезвычайно крутые функции фазовых сдвигов, которые было бы трудно наблюдать экспериментально. Экспериментальная проверка свойств непрерывности, которая требует временного разрешения менее — необходимость этого вытекает из моделей — оказыиается невозможной из-за шума и технических ограничений. Таким образом, для всех практических целей экспериментально измеренные функции фазовых переходов оказываются разрывными при условии, что предсказания модели так же точны в этом случае, как и во многих других. Если КФП разрывна при некоторых силах стимула, то топологические рассуждения, основанные на непрерывности функции, не могут быть применены. Следовательно, использование соображений о непрерывности функции, описывающей КФП, всегда спорно в тех случаях, когда ее не удается явно показать.

Точно так же важно напомнить, что непрерывные феноменологические ионные модели дают усредненные величины флуктуирующих потоков через ионные каналы. Следовательно, теоретические интерпретации, основанные на непрерывных дифференциальных уравнениях, могут иметь силу только в случае, если шаги по времени и току достаточно велики, чтобы флуктуациями в отдельных каналах можно было пренебречь. При очень малых приращениях,

которые использовались при обсуждении фазовых сдвигов в ионных моделях, флуктуации в каналах важны и могут приводить к кажущейся разрывности в экспериментах.