А.2. Разностные уравнения

Один из способов анализа дифференциальных уравнений большей размерности состоит в рассмотрении свойств отображений, которые представляют отображение сечения потока в себя. Такие отображения удобно записывать в виде разностных уравнений

где есть величина компоненты в момент времени t, а — нелинейная функция. Анализ устойчивости стационарных состояний в разностных уравнениях проводится так же, как и в случае дифференциальных уравнений. Предположим, что существует стационарное состояние которое определяется соотношением

Тогда линеаризация уравнения (А.24) в окрестности стационарного состояния дает

где А есть матрица N X N, элементы которой задаются в виде

Собственные значения А в этом случае также находятся решением характеристического уравнения

Стационарное состояние устойчиво, если все собственные значения лежат внутри единичной окружности. (Комплексное число а + ib лежит внутри единичной окружности, если Бифуркация Хопфа возникает в томтлучае, когда два комплексносопряженных собственных значения одновременно пересекают единичную окружность.

В одномерном и двумерном случаях разностные уравнения обладают гораздо большим богатством динамического поведения, чем обыкновенные дифференциальные уравнения. Это объясняется тем, что решения дифференциальных уравнений должны быть непрерывными по времени, и это препятствует возникновению циклов или хаоса в одномерных дифференциальных уравнениях и хаоса в двумерных дифференциальных уравнениях. Однако как циклы, так и хаос могут быть получены решением одномерных разностных уравнений. Как мы уже отмечали, одномерные разностные уравнения находят частое применение в качестве математических моделей в биологии и других естественных науках. Более того, сравнительно простые одномерные разностные уравнения дают чрезвычайно большое разнообразие бифуркаций при изменении параметров, и в некоторых случаях оказывается возможным детальный математический анализ таких бифуркаций. Оставшуюся часть приложения мы посвятим исключительно обсуждению динамики одномерных разностных уравнений. Для удобства мы будем в дальнейшем последовательные шаги итераций помечать нижними индексами.

В качестве простого примера рассмотрим линейное разностное уравнение

Итерируя это уравнение, находим

Следовательно, если то итерации будут стремиться к 0 при Однако, если значения будут неограниченно расти при

В случае одномерных разностных уравнений часто оказывается удобным итерировать уравнение графически. Такая графическая итерация может использоваться для определения поведения решений во времени даже при тех обстоятельствах, при которых алгебраическое вычисление невозможно. На рис. А.5 показана итерация уравнения (А.29) для случая, в котором а также для случая Геометрический характер уменьшения и роста очевиден.

Другой способ рассмотрения уравнения основан на допущении о том, что это уравнение возникает в результате линеаризации в окрестности стационарного состояния Это стационарное состояние устойчиво при и неустойчиво при в соответствии с критериями устойчивости, обсуждавшимися ранее для общего случая размерности

В одномерном разностном уравнении общего вида

стационарное состояние, будет устойчивым, если и неустойчивым, если Причина этого ясна и связана с линейным продолжением функции в стационарном состоянии или, иначе, с величиной собственного значения линеаризованного уравнения в стационарном состоянии.

Рис. А.5. Графическая итерация разностного уравнения

Исходя из начального условия можно итерирввать уравнения получая последовательность Периодическая орбита периода возникает, если при Пусть

Устойчивость периодической орбиты определяется значением при орбита устойчива, а при она неустойчива. При происходит бифуркация. В результате возможны бифуркации двух видов, в зависимости от знака . Предположим, что зависит от параметра и что при При для значений близких к либо не существует периодической орбиты (скажем, для ), либо имеются две орбиты периода : одна устойчивая, а другая неустойчивая (скажем, для ). В таком случае говорят, что существует касательная бифуркация при Это означает, что при прохождении

через критическое значение, кроме новой устойчивой периодической орбиты, появляется неустойчивая периодическая орбита.

При существует либо устойчивая орбита периода , либо устойчивая орбита периода и неустойчивая орбита периода , в зависимости от знака при малых Точка где есть точка бифуркации удвоения периода. Это означает, что при прохождении через критическое значение период устойчивых (и, следовательно, наблюдаемых) колебаний удваивается.

Пример 8. Для уравнения

требуется определить все стационарные состояния, область значений а, при которых каждое стационарное состояние устойчиво, и тип бифуркации, возникающей при потере устойчивости стационарного состояния.

Решение. Задавая и решая получающееся квадратное уравнение, находим, что стационарное состояние существует при для всех значений а и при для .

Производная отображения в стационарном состоянии равна а, откуда следует, что есть устойчивое стационарное состояние при и неустойчивое стационарное состояние при При происходит бифуркация, но, несмотря на то, что производная в стационарном состоянии равна 1, эта бифуркация не является касательной, так как она не изменяет числа стационарных состояний: как при так и при имеются два стационарных состояния (одно устойчивое, а другое неустойчивое, если рассматривать стационарное состояние при . В стационарном состоянии производная равна . Таким образом, это стационарное состояние устойчиво при и неустойчиво при При производная равна —1 и возникает бифуркация удвоения периода с устойчивым циклом периода 2 по мере увеличения а до значения

Пример 9. Для уравнения

требуется определить все стационарные состояния, область значений b, при которых каждое стационарное значение устойчиво, и тип бифуркации, возникающей при потере устойчивости стационарного состояния.

Решение. Легко заметить, что стационарные состояния существуют при Производная отображения в стационарном состоянии равна что означает, что

это стационарное состояние всегда неустойчиво при Производная в стационарном состоянии равна Это стационарное состояние теряет устойчивость в результате бифуркации удвоения периода при

Одно из замечательных свойств разностных уравнений состоит в том, что они иногда дают сложные последовательности бифуркаций, которые зависят от общих геометрических свойств функций в правых частях уравнений. Таким образом были идентифицированы различные классы уравнений, обладающих хорошо определенными геометрическими свойствами и проанализированы их бифуркации. Рассмотрим теперь последовательности бифуркаций, которые обнаруживаются в двух классах уравнений: (1) одногорбые отображения отрезка и (2) круговые отображения, которые являются отображениями точек окружности в себя.

В главе 2 мы уже обсудили некоторые из свойств одногорбых функций, таких как квадратичное отображение (А.33). При увеличении параметра а возникают каскады удвоения периода. Значение а при первой и второй бифуркациях удвоения периода может быть вычислено аналитически. Последовательность орбит, возникающих при удвоении периода сходится к величине а для величин больших этой могут быть обнаружены новые периодические орбиты, не принадлежащие к этой последовательности.

Однако последовательность периодических орбит, возникающая по мере дальнейшего увеличения а, хорошо изучена и была названа -последовательностью (от universal) в работе Metropolis, Stein and Stein (1973). Вплоть до орбит периода -последовательность есть 1,2,4,6,5,3,6,5,6,4,6,5,6. При увеличении периода орбиты число интервалов а, в которых эта орбита может быть найдена, также увеличивается, так что возникает бесконечное множество отрезков невообразимо (для биолога) малого размера, в которых могут обнаруживаться устойчивые периодические орбиты. Кроме того, существуют такие значения а, при которых может быть показана «хаотическая» динамика в смысле принятого технического определения хаоса. С практической точки зрения, очень малая величина интервалов, внутри которых появляются устойчивые периодические циклы, создает трудности при наблюдении высокочастотных колебаний в экспериментах, кроме тех случаев, когда существует возможность борьбы с шумом. В физических экспериментах наблюдались последовательности удвоения периода и -последовательности в различных системах, таких как неустойчивые гидродинамические потоки и химические колебания. В биологии такое поведение наблюдалось в различных математических моделях (например, ем. гл. 4), но экспериментальные наблюдения удвоений периода и хаоса более редки (см. гл. 7).

Кроме отображений отрезка с одним экстремумом, имеется также хорошо разработанный метод теоретического описания глобальной организации бифуркаций в разностных уравнениях, которые отображают точки окружности в себя. Такие функции естественно возникают в биологических системах — например, во время периодической стимуляции биологического осциллятора (см. гл. 7). Круговое отображение имеет вид

где есть точка на единичной окружности —функция, которая может быть нелинейной. Если круговое отображение непрерывно, оно может быть охарактеризовано числом, называемым топологической степенью и равным числу прохождений по единичной окружности за то время, за которое обходит ее один раз.

Рис. А.6. (а) Тор. Положение любой точки на плоскости может быть указано двумя координатами, Траектория на поверхности тора. Показано сечение потока. Отображение Пуанкаре дает как функцию Число оборотов определяет число вращений по координате для каждого вращения по координате 0.

Важность понятия топологической степени состоит в том, что при периодическом возмущении автоколебаний с сильно притягивающим предельным циклом динамика часто описывается круговыми отображениями топологической степени 1 или 0 (разд. 7.4). Динамика, описываемая уравнением может быть частично охарактеризована числом оборотов. Обозначив

определим число оборотов как

Если разностное уравнение имеет периодическое решение, число оборотов является рациональным числом.

Понимание некоторых свойств числа оборотов может быть достигнуто рассмотрением дифференциальных уравнений, определенных на торе (рис. А.6). При условии отсутствия неподвижных точек в потоке можно анализировать динамическое поведение, рассматривая сечение потока. Отображение, переводящее секущую поверхность в себя посредством траекторий динамической системы, называется отображением Пуанкаре для этой системы. Поскольку топологически секущая является окружностью, отображение Пуанкаре представляет собой отображение окружности. Более того, так как траектории не могут пересекаться, отображение Пуанкаре является взаимно однозначным и обратимым. Число оборотов представляет собой усредненное вращение по координате

для одного вращения по координате 0 (см. рис. А.6). Число оборотов для любых начальных условий на секущей должно быть одинаковым. Периодическое возмущение нелинейных колебаний стимулами малой амплитуды часто описывается обратимыми круговыми отображениями. В этом случае обнаруживается структура, показанная на рис. 7.5 и называемая языками Арнольда.

Рис. А.7. Области локально устойчивого захвата фазы для синусоидального отображения в уравнении Линия, проведенная на уровне отделяет область, в которой отображение взаимно-однозначно и обратимо от области, в которой оно необратимо . Ширина некоторых областей захвата настолько уменьшается при увеличении b, что границы слнваются в одну линию. Там, где две зоны перекрываются, наблюдается бистабильность. Неотмеченные области являются областями захвата фазы, квазипериодической и хаотической динамики. Из работы Glass et al. (1983).

Однако при увеличении амплитуды стимуляции эта простая структура языков Арнольда разрушается, и имеют место чрезвычайно сложные бифуркации, которые еще не получили достаточно полного объяснения.

Для иллюстрации того, что здесь происходит, рассмотрим модельное уравнение

где b их — константы. Отображение (А.37) непрерывно для всех значений b. Однако при отображение становится немонотонным. Таким образом, для отображение больше не является взаимно-однозначным обратимым отображением окружности, хотя продолжает сохранять топологическую степень, равную 1.

График зависимости зон захвата фазы от b и показан на рис. А.7. Для структура языков Арнольда, показанная на рис. 7.5, сохраняется. В области значений , в которой отображение является необратимым, структура оказывается совсем иной. Каждый язык Арнольда, существующий в области значений , вытягивается в область , расщепляясь на две ветви.

Следовательно, продолжения языков Арнольда могут пересекаться, и возникает ситуация, в которой обнаруживаются две различные периодические орбиты с различными числами оборотов при одних и тех же значениях параметра. Другое важное свойство состоит в том, что существуют сложные последовательности бифуркаций в У-образных областях, образованных продолжениями всех языков Арнольда. Каждый из языков Арнольда имеет сложное геометрическое устройство бифуркаций удвоения периода, обнаруживающих самоподобие, которое схематически представлено на рис. А.8. За точками сходимости последовательностей удвоения периода начинается хаотическое движение. В 1982 г. Glass и Perez высказали предположение, что топологическая структура, представленная на рис. А.8, присутствует в каждом из языков Арнольда. В некотором смысле эта структура является разверткой (unfolding) бифуркаций в отображениях с одним параметром и одним экстремумом до отображений с двумя параметрами и двумя экстремумами. Этот пример представляет интерес, так как в нем проявляется аналогия с периодически возмущаемыми клетками сердца куриного эмбриона (гл. 7).

Подробный анализ бифуркаций круговых отображений с топологической степенью, отличной от 1, не проводился. Однако главным мотивом для исследования этой проблемы до сих пор служила возможность применения ее к биологическим системам, в которых отображения с топологической степенью 0 возникают естественным образом благодаря существованию явления фазовых сдвигов у биологических осцилляторов, которые были обнаружены экспериментально (гл. 6). Такие же последовательности удвоения периода, как те, что показаны на рис. А.8, наблюдаются также в отображениях со степенью 0.

Большая часть результатов, касающихся глобальной организации бифуркаций, была получена с использованием численных методов в соединении с хорошо разработанными топологическими методами. Проблемы, поддающиеся простому аналитическому

Рис. А.8. Схематическое изображение зон бифуркаций удвоения периода в отображениях с двумя квадратичными экстремумами. Такая схема была обнаружена в кубических отображениях отрезка и в круговых отображениях. Из работы Belair and Glass (1985).

решению, встречаются нечасто. Следующие две задачи иллюстрируют некоторые особенности теории.

Пример 10. Рассмотрим круговое отображение топологической степени 0,

Для какого значения b существует цикл периода, проходящий через два экстремума?

Решение. Этот случай показан на рис. А.9. Экстремумы находятся в точках . Полагая имеем , откуда сразу же получаем

Пример 11. Рассмотрим круговое отображение

Требуется вычислить границы области, в которой существует устойчивая периодическая орбита периода 1 с числом оборотов 1, и охарактеризовать бифуркации на этих границах.

Рис. А.9. Круговое отображение топологической степени 0 с устойчивой орбитой периода 2, проходящей через два экстремума (см. пример 10).

Рис. А.10. Зона устойчивого захвата фазы для кругового отображения в примере 11.

Решение. Пусть имеется неподвижная точка Тогда для орбиты периода 1 с числом оборотов, равным 1, мы должны иметь

При условии это уравнение будет иметь решение вида Положение касательной бифуркации можно определить, потребовав, чтобы Отсюда мы вычисляем и когда b увеличивается при фиксированном , имеет место касательная бифуркация вдоль линий По мере дальнейшего увеличения b решение с периодом 1 теряет устойчивость в результате бифуркации удвоения периода. Это происходит, когда . В этом случае вычисляем, что — Подстановкой значения находим, что бифуркация удвоения периода имеет место вдоль гиперболы Область, в которой существует

устойчивое решение периода 1 с числом оборотов, равным 1, показана на рис. А. 10.