Примечания и литература, глава 8

8.1. Распространение волн в одномерной среде

Сердечные ритмы, при которых возникает частичный блок проведения по соседству с предсердно-желудочным узлом, приводящий к групповому биению, теперь называются ритмами Венкебаха в честь их открывателя (Wenckebach (1904)). Первые попытки проанализировать механизмы ритмов Венкебаха были предприняты Mines (1913), Mobitz (1924), а также Lewis and Master (1925), которые установили, что во многих случаях интервал Р—R является убывающей функцией его предшествующего значения. Mobitz (1924) и позднее некоторые другие (Decherd and Ruskin (1946); Levy et al. (1974a, b); Glass, Guevara and Shrier (1987); Shrier et al. (1987)) показали, что кривая восстановления в случае атриовентрикулярной блокады может использоваться для расчета эффектов периодической стимуляции в зависимости от частоты периодических стимулов. Подобную теоретическую модель атриовентрикулярной блокады предложил Keener (1981), который установил роль бифуркаций в разностных уравнениях, моделирующих аритмию (Keener (1980, 1981)). Более подробное обсуждение ритмов Венкебаха см. у Bellett (1971), Zipes (1979) and Marriott и Conover (1983). Ритмы, подобные ритмам Венкебаха, наблюдаются также в других тканях, таких как мочеточник (Weiss, Wagner and Hoffmann (1968)).

Ритмы типа альтернансов, при которых происходит чередование формы потенциалов действия, также наблюдались в различных тканях, таких как мочеточник (Prosser, С.Е. Smith and Melton (1955)), круговая мышца антрального отдела желудка у собак (Publicover and Sanders (1986)), клетки сердца куриного эмбриона (Guevara et al. (1984)). Эти экспериментальные наблюдения могут быть связаны с явлением электрического альтернанса, наблюдавшимсяв электрокардиологии (Bellett (1971)). Теоретический анализ альтернанса с использованием итерационной процедуры был впервые предпринят Nolasco and Dahlen (1968), и наши собственные

исследования ведутся в этом же направлении (Guevara et al. 1984). Кривая восстановления электрического состояния рассматривается в работе Boyett and Jewel (1978).

В этой главе мы не обсуждаем подробно распространение волн от точечного источника в одномерных возбудимых средах, происходящее с тем же периодом, что и период пейсмекера. Такие случаи были подробно проанализированы, особенно в статьях Rinzel и сотр. (Rinzel (1980, 1981); Rinzel and Miller (1980); Rinzel andMa-ginu (1984)). Другие важные теоретические результаты по распространению волн в одномерной среде можно найти у Carpenter (1979) и Feroe (1983). В этих ссылках можно найти подробности и полное цитирование более ранних работ. Хотя численное моделирование проведения в реалистичных моделях проводящей системы сердца было выполнено (Joyner et al. (1983)), аналитические результаты пока отсутствуют.

В других теоретических исследованяих, специально посвященных работе кишечника, частотный градиент связанных нелинейных осцилляторов моделировался несколькими группами осцилляторов, и оказалось возможным продемонстрировать наличие частотного плато в математических моделях (Diamant, Rose and Davison (1970); Sarna, Daniel andKingma (1971); B.H. Brown et al. (1975); Patton and Linkens (1978); Sarna (1985)). Недавно исследования упрощенной математической модели активности тонкой кишки успешно завершились получением аналитических результатов, касающихся плато (Kopell and Ermentrout (1983)). Распространение воли, лежащее в основе локомоции у рыб (Kopell (1986)) и миног (Rand, А.Н. Cohen and Holmes (1988)), также моделировалось связанными осцилляторами.

8.2. Распространение волн в кольце ткани

Исследования на кольцах ткани из мантии медузы были впервые проведены в начале этого века (Mayer (1908)). Вскоре после этого было исследовано распространение волн в сердечной ткани (Mines (1913, 1914); Garrey (1914, 1924)).

Мысль о том, что блок проведения, обусловленный увеличением рефрактерного периода, может также приводить к установлению кругового движения, принадлежит Lewis (1920); см. также Krinskii (1968); Marriott and Conover (1983).

Wiener and Rosenblueth (1946) рассмотрели модель ткани, гомогенной по рефрактерному периоду, особенно в контексте ткани, имеющей отверстие или непроводящую область. Lewis (1920, 1925) показал с помощью картирования сердечных потенциалов действия на поверхности сердца собаки, что устойчивая циркуляция волн может происходить вокруг отверстий больших вен на правом предсердии и предположил, что такие волны могут быть

связаны с трепетанием предсердий. Другой пример кругового движения получен на людях с синдромом Вольфа—Паркинсона — Уайта, у которых имеется дополнительный путь проведения возбуждения между предсердиями и желудочками (Marriot and Conover (1983); Gallagher (1985)). Долгосрочное излечение тахикардии у таких людей может быть достигнуто хирургическим иссечением дополнительного пути, при котором разрушается петля риентри (Wallace et al. (1974)). Наконец, некоторые тахикардии, по-видимому, возникают благодаря круговому движению вокруг аневризмы или зоны инфаркта (Josephson et al. (1985)).

8.3. Волны и спирали в двумерной среде

У Winfree (1980, 1987b) можно найти гораздо более полный обзор основных работ по двумерному распространению волн в физиологии.

Наблюдения Garrey (1914, 1924), Mines (1913, 1914) u Lewis (1920, 1925) послужили основой для первого теоретического изучения риентри и фибрилляции (Wiener and Rosenblueth (1946)). Selfridge (1948), работая с той же самой моделью, смог показать, что она неспособна дать устойчивое круговое движение в отсутствие препятствия.

Устойчивые спиральные волны в неживых возбудимых системах были, по-видимому, впервые замечены Nagumo, Suzuki and Sato (1963). Обсуждение результатов этой работы (которую трудно найти) и полное обсуждение спиральных волн в реакции Белоусова—Жаботинского содержится у Winfree (1980, 1987b). Дополнительные данные по спиральным волнам в этой реакции приводятся у Agladze and Krinsky (1982) и Muller, Plesser and Hess (1985). Устойчивые спиральные волны наблюдаются в агрегирующих клетках слизевиков, как описано у Gerisch (1965) и позднее у Durston (1973). Изучение кругового движения в предсердиях кролика проводилось Allessie, Bonke and Schopman (1977).

Спиральные волны наблюдались во многих работах, связанных с изучением динамики клеточных автоматов (Farley and Clark (1961); Reshodko and Bures (1975); J.M. Greenberg, Hassard and Hastings (1978); Madore and Frieedman (1983)). Исследования клеточных автоматов в качестве моделей распространения потенциалов действия в сердце можно найти у Мое, Rheinboldt and Abied-skov (1964), а также у J.M. Smith and R.J. Cohen (1984).

Спиральные волны получены в численных исследованиях и при теоретическом анализе непрерывных нелинейных систем. Численные результаты были получены Гулько и Петровым (1972) в модели возбудимых биологических систем, и в работах Winfree (1974) и Miura and Plant (1981) на упрощенной модели кинетики возбудимых систем. Спиральные волны наблюдались также в

математических моделях колебательных химических реакций (Ег-neux and Herschkowitz-Kaufman (1975); D.S. Cohen,Neu and Rosales (1978)). Был получен ряд аналитических данных, касающихся существования и устойчивости спиральных волн в двумерных средах (Kopell and Howard (1981); Hagan (1982); Михайлов и Крин-ский (1983)); Keener (1986)).

8.4. Организующие центры в трехмерной среде

Первое описание вихревой волны (Winfree (1973а)) принесло 10 лет спустя прекрасные плоды в детально разработанной теории пространственной организации трехмерных возбудимых сред (Winfree and Strogatz (1983а, b, с; 1984а, b), которая изложена в доступном виде у Winfree (1987b). Пока представляется преждевременным оценивать практическую важность этих теоретических результатов. Однако существование простой трехмерной геометрии, соответствующей теоретическим ожиданиям, было показано на реакции Белоусова—Жаботинского (Welsh, Gomatam and Burgess (1983)).

8.5. Фибрилляция и другие нарушения

Mines (1914) и Garrey (1914, 1924) обнаружили глубокое понимание происхождения тахикардии и фибрилляции. Самые первые экспериментальные исследования фибрилляции, индуцированной электрической стимуляцией миокарда, были выполнены Mines {1914) и Wiggers and Wegria (1940). Роль преждевременных сокращений предсердий в индуцировании предсердной фибрилляции обсуждается у Bennett and Pentecost (1970), а роль преждевременных сокращений желудочков в индуцировании желудочковой фибрилляции и внезапной смерти (явление наложения R на Т) рассматривается у Nikolic el al. (1982) и Hohnloser et al. (1984). Современная точка зрения на причины внезапной смерти изложена у Lown (1979). Предположение, высказанное (Winfree (1983) о том, что Mines случайно убил себя в 1914 г., выполняя на собственном сердце эксперименты по фазовым сдвигам, получило широкое хождение. Однако было обнаружено документальное свидетельство, явно не согласующееся с этим предположением, оно хранится в настоящее время в библиотеке Ослера в университете Мак-Гилла (см. также Winfree (1987b)).

Гипотеза о том, что фибрилляция обусловлена блужданием множества небольших волн, возникающих из-за непостоянства рефрактерного периода в миокарде, принадлежит Мое и сотр. (Мое and Abildskov (1959), Мое et al. (1964)). Недавно она была пересмотрена J.M. Smith and R.J. Cohen (1984), а также Allesie et al. (1985). Ritzenberg et al. (1984) показали, что в этих моделях ответы на стимул, напоминающие фибрилляцию, обусловлены изменением

проведения вокруг и через области с большим рефрактерным периодом. Альтернанс в форме Г-зубца, связанный с понижением порога желудочковой фибрилляции у собак, был показан Adam et al. (1984). Подобные же идеи, но подчеркивающие важность «ревербераторов», получили широкое распространение среди советских исследователей (Кринский (1968)).

Прямое картирование электрической активности во время аритмии является многообещающим средством для понимания того, что происходит во время тахикардии и фибрилляции (Allesie et al. (1977); Allesie et al. (1985); Downar et al. (1984); El-Sherif (1985)). Ideker and Shibata (1986) недавно использовали метод картирования для проверки гипотезы о происхождении тахикардии и фибрилляции, которая была предложена Winfree (1983b, 1985, 1987b), и получили согласие с теоретическими предсказаниями. В частности, они наблюдали возникновение противоположно вращающихся волн в ответ на одиночный удар, нанесенный в критической фазе сердечного цикла. Действие стимула на возбудимую, но неколеблющуюся среду представляет трудности для теоретического объяснения (Winfree (1987b)).

Нестационарность фибрилляции обсуждалась в работах Wig-gers (1940) и Goldberger et al. (1986). Вычисления спектров мощности желудочковой фибрилляции проводили Herbschleb et al. (1979) и Goldberger et al. (1986); автокорреляционная функция предсердной фибрилляции была определена Battersby (1965).

Вопрос о том, является ли фибрилляция «хаотичной», вызывает разногласия (Battersby (1965); J.M. Smith and R.J. Cohen (1984); Goldberger et al. (1986)). Поскольку не существует общепринятых рабочих определений фибрилляции и хаоса, этот вопрос может дебатироваться бесконечно.

Круговое движение в коре головного мозга крысы описано Shibata and Bures (1972), а в сетчатке глаза курицы Martins—Ferreira et al. (1974). Первые наблюдения волн распространяющейся кортикальной депрессии после воздействия хлоридом калия описаны Leao (1944). Сообщение о тахигастрии см. у You et al. (1981).