1. До сих пор мы ничего не говорили о размерности физических величин. Мы пользовались этим понятием, предполагая, что читатель имеет некоторое представление об относящихся сюда вопросах. В задачах, которые мы рассматривали, этого было достаточно. $M e$ тод размерности весьма эффективен в более сложных вопросах, например в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка затруднительна. С привлечением добавочных соображений весьма общего характера или опытных данных он приводит, и притом быстро и просто, к важным результатам, дающим предварительную, хотя и неполную, ориентировку в рассматриваемом круге явлений. Поэтому необходимо познакомиться с этим методом.
Понятие размерности возникает в связи с построением систем единиц. В принципе можно было бы (так и поступали раньше) для каждой физической величины установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин. Но тогда в уравнения, выражающие физические законы, вошло бы множество числовых коэффициентов. Их значения не укладывались бы ни в какую простую и легко запоминаемую схему, а определялись бы случайным выбором единиц. Такое множество числовых коэффициентов весьма сильно усложняло бы формулы. Запоминание их было бы нелегкой и в сущности бесполезной нагрузкой для памяти. Во избежание этого в физике уже давно отказались от независимого выбора единиц для всех физических величин, а стали применять системы единиц, построенные по определенному принципу.
2. Принцип этот заключается в следующем. Некоторые физические величины условно принимаются за основные или первичные, т. е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и независимо. Так, например, в механике применяется система LMT, в которой за основные величины принимаются длина (L), масса (M) и время (T). Выбор основных величин и их число произвольны. Это – вопрос соглашения. Например, в технической механике до недавнего времени применялась система LFT. Основными величинами в ней были длина (L), сила (F) и время (T). В так называемой Международной системе единии (сокращенно СИ) за основные приняты семь величин: длина, масса, время, температура, сила электрического тока, сила света и количества вещества. Величины, не являющиеся основными, называются производными или вторичными. Для них единицы устанавливаются из требования, чтобы числовые коэффициенты, входящие в физические законы или формулы, служащие определением рассматриваемых величин, принимали определенные, заранее выбранные значения. Например, скорость равномерно движущейся материальной точки есть величина особого рода, пропорциональная пройденному пути $s$ и обратно пропорциональная времени $t$, затрачиваемому на прохождение этого пути. При независимом выборе единиц для $s, t$ и $v$ следует писать $v=C s / t$, где $C$ – числовой коэффициент, значение которого определяется выбором единиц. Если фиксировать значение этого коэффициента, то единицы для $s, t$ и $v$ перестанут быть независимыми. Для простоты полагают $C=1$ и пишут $v=s / t$. Если за основные величины принять путь $s$ и время $t$, то скорость $v$ становится величиной производной. За единицу скорости мы обязаны принять скорость такого равномерного движения, когда за единицу времени проходится единица длины. Говорят, что скорость имеет размерность длины, деленной на время. Символически это записывается так: $[v]=\mathrm{LT}^{-1}$. Аналогично пока единицы выбираются независимо для ускорения $a$ можно написать $a=C \frac{d v}{d t}$. Полагая $C=1$, мы делаем ускорение $a$ величиной производной, имеющей размерность скорости, деленной на время, или размерность длины, деленной на квадрат времени. После этого за единицу ускорения мы обязаны принять ускорение такого равномерно ускоренного движения, когда за каждую единицу времени скорость возрастает на единицу. В произвольных единицах второй закон Ньютона пишется в виде $F=C m a$. Фиксируя числовой коэффициент $C$, мы делаем силу $F$ величиной производной и устанавливаем для нее единицу. Например, при $C=1$ получаем $F=m a$. После этого сила получает размерность массы, умноженной на ускорение: $[F]=[m a]=\mathrm{MLT}^{-2}$. Формула $F=$ ma обязывает нас за единицу силы принять такую силу, которая массе в одну единицу сообщает ускорение, равное единице.
3. Размерность физической величины еще не определяет, как велика ее единица. Она устанавливает только связь между единицами различных физических величин. Размерность дает правило, позволяющее определить, как меняется единиц производной физической величины при изменении масштабов основных величин. Это правило, выраженное в виде математической формулы, называется формулой размерности. Допустим, например, что за единицу длины принят километр, а за единицу времени – минута. Единицей ускорения в такой системе единиц будет км/мин ${ }^{2}$. Спрашивается, как изменится единица ускорения, если за единицу длины принять сантиметр, а за единицу времени – секунду. Формула размерности позволяет быстро ответить на этот вопрос. Мы пишем прежде всего 1 км $=10^{5} \mathrm{cм}, 1$ мин $=60$ с и далее
\[
1 \mathrm{KM} / \mathrm{MUH}^{2}=\frac{10^{5} \mathrm{~cm}}{60^{2} \mathrm{c}^{2}}=\frac{1000}{36} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2} .
\]
Отсюда видно, что единица ускорения 1 км/мин ${ }^{2}$ крупнее единицы $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$ в $1000 / 36$ раз. В соответствии с этим числовое значение ускорения, измеренное в км $/$ мин $^{2}$, окажется меньше числового значения того же ускорения в $1000 / 36$ раз, если его измерить в см/ $\mathrm{c}^{2}$.
