Главная > ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ Том I МЕХАНИКА (Сивухин Д. В.)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Силы, действующие в жидкости, как и во всякой другой сплошной среде, обычно разделяются на силы массовые (объемные) и силы поверхностные. Массовая сила пропорциональна массе $\mathrm{dm}$, а с ней и объему $d V$ элемента жидкости, на который она действует. Эту силу можно обозначить как $\mathbf{f} d V$, называя $\mathbf{f}$ обгемной плотностью массовых сил. Важнейшими примерами массовых сил являются сила тяжести и силы инерции (когда движение рассматривают в неинерциальных системах отсчета). В случае силы тяжести $\mathbf{f}=\rho \mathbf{g}$, где $\rho$ – плотность жидкости, a $\mathbf{g}$ – ускорение свободного падения. Поверхностные силы – это такие силы, которым подвергается каждый объем жидкости благодаря нормальным и касательным напряжениям, действующим на его поверхности со стороны окружающих частей жидкости.
2. Рассмотрим случай, когда касательных напряжений нет, а есть только силы нормального давления. В идеальной жидкости это будет всегда, т. е. при любых движениях. В остальных случаях тогда, когда жидкость покоится, т. е. в гидростатике. Определим равнодействующую сил давления, действующих на бесконечно малый элемент объема жидкости $d V$. Сначала найдем проекцию этой равнодействующей на направление координатной оси $X$. Возьмем в качестве элемента $d V$ бесконечно малый цилиндр с площадью оснований $d S$ и длиной $d x$ (рис. 230), ориентированный вдоль оси $X$. Абсциссы оснований цилиндра обозначим соответственно через $x$ и $x+d x$. Сила давления, действующая на первое основание, равна $P(x) d S$, на второе $-P(x+d x) d S$. В скобках у $P$ указано значение аргумента $x$, от которого $P$ зависит. Конечно, $P$ может зависеть и от координат $y, z$, а также от времени $t$. Но все эти аргументы не меняются при переходе от одного основания цилиндра к другому, а потому в рассматриваемом нами вопросе могут считаться постоянными. При желании поперечные размеры цилиндра можно взять бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с длиной $d x$. А тогда $y$ и $z$ могут рассматриваться постоянными не только при смещениях вдоль цилиндра, но и поперек. Силы давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны к оси $X$, а Рис. 230 потому при вычислении составляющих вдоль этой оси роли не играют. Итак, проекция сил давления на ось $X$, действующих на рассматриваемый элемент объема жидкости, равна
\[
[P(x)-P(x+d x)] d S .
\]

Бесконечно малую разность в квадратных скобках можно заменить дифференциалом функции $P$ :
\[
\begin{array}{l}
P(x+d x)-P(x)=d P_{\substack{y=\text { const } \\
z=\text { const }}}=\left(\frac{d P}{d x}\right)_{y=\text { const }} d x . \\
\begin{array}{ll}
t=\text { const } & z=\text { const } \\
& t=\text { const }
\end{array} \\
\end{array}
\]

Дополнительные условия $y=\mathrm{const}, z=\mathrm{const}, t=\mathrm{const}$ указывают на то, что при взятии производной $\frac{d P}{d x}$ и дифференциала $d P$ координаты $y, z$ и время $t$ должны рассматриваться как постоянные. Производная функции $P(x, y, z, t)$, взятая при таких дополнительных условиях, как известно, называется частной производной и обозначается через $\frac{\partial P}{\partial x}$. Используя это обозначение, получаем для вычисляемой проекции силы
\[
-\frac{\partial P}{\partial x} d S d x=-\frac{\partial P}{\partial x} d V,
\]

так как $d S d x=d V$. Эта проекция, таким образом, пропорциональна элементу объема $d V$, и ее можно обозначить как $s_{x} d V$. Величина $s_{x}$ есть $x$-составляющая силы, действующей на единицу объема жидкости, которая возникает из-за изменения нормального давления $P$ в пространстве. По самому смыслу она не может зависеть от формы элемента $d V$. Мы взяли $d V$ в виде цилиндра только потому, что таким путем достигается наибольшая простота и наглядность вычисления. Можно таким же путем найти проекции $s_{y}$ и $s_{z}$, выбирая в качестве $d V$ элементарные цилиндры, ориентированные параллельно координатным осям $Y$ и $Z$. В результате найдем, что на единицу объема жидкости действует сила $s$, обусловленная поверхностными силами давления, точнее, их изменениями в пространстве. Ее проекции равны
\[
s_{x}=-\frac{\partial P}{\partial x}, \quad s_{y}=-\frac{\partial P}{\partial y}, \quad s_{z}=-\frac{\partial P}{\partial z} .
\]

Сам вектор $\mathrm{s}$ равен
\[
\mathbf{s}=-\frac{\partial P}{\partial x} \mathbf{i}-\frac{\partial P}{\partial y} \mathbf{j}-\frac{\partial P}{\partial z} \mathbf{k},
\]

или сокращенно
\[
\mathbf{s}=-\operatorname{grad} P .
\]

Мы ввели обозначение
\[
\operatorname{grad} P \equiv \frac{\partial P}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial P}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial P}{\partial z} \mathbf{k} .
\]

Этот вектор называется градиентом скаляра $P$ (см. также § 29). Таким образом, обгемная плотность $\mathbf{S}$ результирующей сил давления, действующих на элементы объема жидкости, равна градиенту $P$, взятому с противоположным знаком. Мы видим, что сила $\mathbf{s}$ обусловлена не значением давления $P$, а его пространственными изменениями. Величина $P$ также существенна. Она определяет степень сжатия жидкости в рассматриваемой точке пространства.
3. В состоянии равновесия сила $\mathrm{s}$ должна уравновешиваться массовой силой f. Это приводит к уравнению
\[
\operatorname{grad} P=\mathbf{f},
\]

которое является основным уравнением гидростатики. В координатной форме оно имеет вид
\[
\frac{\partial P}{\partial x}=f_{x}, \frac{\partial P}{\partial y}=f_{y}, \frac{\partial P}{\partial z}=f_{z} .
\]

Можно написать и основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости. В этом случае формула (90.3) также применима, а потому мы получаем
\[
\rho \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}-\operatorname{grad} P,
\]

где $\mathbf{v}$ – скорость, а $\frac{d \mathbf{v}}{d t}$ – ускорение жидкости в рассматриваемой точке. Уравнение (90.7) называется уравнением Эйлера.
4. Уравнение (90.5) показывает, что при равновесии жидкости сила $\mathbf{f}$ (точнее, плотность силы или сила, действующая на единицу объема жидкости) должна выражаться градиентом однозначной скалярной функции. Это есть необходимое и достаточное условие того, чтобы сила f была консервативной (см. § 29). Таким образом, для равновесия жидкости необходимо, чтобы силовое поле, в котором она находится, было консервативным. В неконсервативных силовых полях равновесие невозможно.

Примером может служить проводящая жидкость, помещенная в магнитное поле, когда через нее проходит электрический ток. В этом случае со стороны магнитного поля на жидкость действует сила $\mathbf{f}=C[\mathbf{j B}]$, где $\mathbf{B}-$ индукция магнитного поля, $\mathbf{j}$ – плотность тока, а $C$ – числовой коэффициент, значение которого зависит от выбора единиц. Поместим цилиндрический сосуд с раствором электролита (например, $\mathrm{CuSO}_{4}$ ) над одним из полюсов сильного электромагнита (рис. 231). Вдоль оси цилиндра расположен цилиндрический проводник. Между ним и боковой стенкой сосуда наложим электрическое напряжение в несколько вольт. В электролите вдоль

Рис. 231 радиусов цилиндра потечет электрический ток.
Сила $\mathbf{f}=C[\mathbf{j} \mathbf{B}]$ будет направлена по касательным к окружностям с центрами на оси цилиндра. Она вызовет вращение жидкости вокруг указанной оси. Вращение будет ускоряться до тех пор, пока силы, действующие со стороны магнитного поля, не уравновесятся силами вязкости.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru