1. Найдем период малых колебаний бифилярного подвеса. Так называется устройство, состоящее из двух нитей $A B$ и $C D$ (рис. 89) одинаковой длины, на которых подвешено некоторое тело $B D$. Если тело повернуть вокруг вертикальной оси $O O^{\prime}$, то оно начнет совершать крутильные колебания вокруг этой оси. Бифилярный подвес есть система с одной степенью свободы. В качестве координаты, определяющей ее мгновенное положение, удобно взять угол поворота $\varphi$ тела $B D$ вокруг оси $O O^{\prime}$, отсчитывая этот угол от положения равновесия.
Кинетическая энергия системы равна $E_{\text {кин }}=1 / 2 I \varphi^{2}$, где $I-$ момент инерции ее относительно оси $O O^{\prime}$. Потенциальная энергия равна $E_{\text {пот }}=m g h$, где $h-$ высота поднятия тела $B D$, отсчитываемая от его нижнего положения. Пусть $l$ означает длину $O O^{\prime}$ в положении равновесия, $2 a$ – pacстояние между точками подвеса $C$ и $A, 2 b$ – расстояние $D B$. Предполагается, что система симметрична, так что точки $O$ и $O^{\prime}$ являются серединами отрезков $C A$ и $D B$. Высота $h$ найдется из условия нерастяжимости нитей $A B$ и $C D$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $O$, ось $X$ направим вдоль прямой $O A$, ось $Z-$ вниз вдоль прямой $O O^{\prime}$, ось $Y$ – перпендикулярно к ним. Координаты точки $A$ все время остаются постоянными и равны
\[
x_{A}=a, \quad y_{A}=0, \quad z_{A}=0 .
\]
Координаты точки $B$ в положении равновесия равны
\[
x_{B}^{(0)}=b, \quad y_{B}^{(0)}=0, \quad z_{B}^{(0)}=l .
\]
При повороте системы на угол $\varphi$ координаты той же точки становятся равными
\[
x_{B}=b \cos \varphi, \quad y_{B}=b \sin \varphi, z_{B}=l-h .
\]
Рис. 89
Условие постоянства длины нити $A B$ можно записать в виде
\[
\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}=\left(x_{B}^{0}-x_{A}^{0}\right)^{2}+\left(y_{B}^{0}-y_{A}^{0}\right)^{2}+\left(z_{B}^{0}-z_{A}^{0}\right)^{2},
\]
или
\[
(b \cos \varphi-a)^{2}+b^{2} \sin ^{2} \varphi+(l-h)^{2}=(b-a)^{2}+l^{2} .
\]
После простых преобразований отсюда находим
\[
h=\frac{2 a b(1-\cos \varphi)}{2 l+h}=\frac{4 a b}{2 l+h} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2} .
\]
При малых колебаниях можно положить $\sin (\varphi / 2)=\varphi / 2$. Кроме того, $h \ll 2 l$, и величиной $h$ в знаменателе можно пренебречь. В этом приближении
\[
h=\frac{a b}{2 l} \varphi^{2}, \quad E_{\text {пот }}=\frac{m g a b}{2 l} \varphi^{2} .
\]
Таким образом, потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (40.9), причем $\alpha=m g a b / l, \beta=I$. Следовательно, колебания системы будут гармоническими с периодом
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{I l}{m g a b}} .
\]
Период колебаний пропорционален корню квадратному из момента инерции и обратно пропорционален корню квадратному из массы системы. Возьмем в качестве тела $B D$ металлический стержень. Выведем его из положения равновесия и заставим совершать крутильные колебания. Они будут сравнительно медленными. Прикрепим затем в точке $O^{\prime}$ тяжелый груз и снова заставим систему колебаться. Колебания станут значительно более быстрыми. Дело в том, что груз прикреплен на оси вращения, а потому он, значительно увеличивая массу системы, практически не влияет на ее момент инерции. Уменьшение периода колебаний можно объяснить также следующим образом. В положение равновесия система возвращается под действием горизонтальных составляющих сил натяжения нитей. Подвешивая груз, мы сильно увеличиваем натяжение нитей, а момент инерции увеличивается незначительно. Это и приводит к тому, что колебания становятся более быстрыми.
2. Формулой (42.1) определяется также период колебаний трифилярного подвеса (трифиляра). Он схематически изображен на рис. 90. Точки подвеса $A, C$ и $M$ расположены на окружности радиусом $a$, точки $B$, $D, N-$ на окружности радиусом $b$. Нижний диск может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси $O O^{\prime}$. Вывод формулы (42.1) применим без всяких изменений и к трифилярному подвесу. Это видно уже из того, что при выводе было использовано условие постоянства длины только одной нити $A B$. Постоянство длины другой нити $C D$ при этом условии выполняется автоматически.
Трифилярный подвес дает удобный метод измерения моментов инерции тел. Сначала измеряется период колебаний $T_{0}$ ненагруженного трифиляра. По этому периоду вычисляется его момент инерции
\[
I_{0}=\frac{m_{0} g a b}{4 \pi^{2} l} T_{0}^{2} .
\]
Рис. 90
Затем на нижний диск трифиляра кладется тело массой $m$, момент инерции $I$ которого требуется измерить. Пусть $T$ – период крутильных колебаний нагруженного трифиляра. Тогда момент инерции системы относительно оси $O O^{\prime}$ будет
\[
I+I_{0}=\frac{\left(m+m_{0}\right) g a b}{4 \pi^{2} l} T^{2} .
\]
Вычитая отсюда предыдущее выражение, находим искомый момент инерции $I$.
3. Укажем другой метод измерения моментов инерции, который во многих случаях является более предпочтительным. Подвесим тело на стальной проволоке, чтобы оно могло совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки (рис. 91). При повороте тела на угол $\varphi$ проволока закручивается, и возникает момент сил $M$, стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Опыт показывает, что момент $M$ в довольно широких пределах пропорционален углу $\varphi$ : $M=-f \varphi$, где $f$ – постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. Поэтому
\[
I \ddot{\varphi}=-f \varphi .
\]
Это уравнение математически тождественно уравнению (40.1). Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом
Рис. 91
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{f}} .
\]
Сняв первое тело, подвесим на той же проволоке другое тело с моментом инерции $I^{\prime}$. Тогда период колебаний будет
\[
T^{\prime}=2 \pi \sqrt{\frac{I^{\prime}}{f}} .
\]
Исключая неизвестный модуль кручения $f$, найдем
\[
\frac{I}{I^{\prime}}=\left(\frac{T}{T^{\prime}}\right)^{2} .
\]
Если один из моментов инерции, например $I$, известен, то по этой формуле может быть вычислен момент инерции $I^{\prime}$ другого тела. Момент инерции $I$ можно вычислить теоретически по геометрическим размерам и массе тела. Для этого надо взять тело правильной геометрической формы, например цилиндр или шар. Формула (42.2) может быть использована также для экспериментального определения модуля кручения проволоки.
ЗАДАЧИ
1. Материальная точка движется в поле тяжести по хорде круга без начальной скорости (рис. 92). Показать, что время ее движения из точки $A$ в нижнее положение $B$ не зависит от положения точки $A$ на окружности. (Этот факт был использован Галилеем для установления законов малых колебаний математического маятника. Для нахождения периода колебаний маятника Галилей заменил малую дугу окружности $A D B$, по которой движется материальных точка, хордой $A B$ ). Вычислить период колебаний маятника в этом приближении и убедиться, что это приближение приводит к правильной зависимости периода колебаний от длины маятника $l$ и ускорения свободного падения $g$. Сравнить результат с правильной формулой (41.3).
Ответ. $T=8 \sqrt{\frac{l}{g}}$.
2. Через неподвижный блок с моментом инерции $I$ (рис. 93) и радиусом $r$ перекинута нить, к Рис. 92 одному концу которой подвешен груз массой $m$. Другой конец нити привязан к пружине с закрепленным нижним концом. Вычислить период колебаний груза, если жесткость пружины равна $k$, а нить не может скользить по поверхности блока.
Ответ. $T=2 \pi \sqrt{\frac{I / r^{2}+m}{k}}$.
3. Физический маятник представляет собой однородный стержень длиной $l$, подвешенный за один из его концов. Определить период колебаний такого маятника.
Ответ. $T=2 \pi \sqrt{\frac{2 l}{3 g}}$.
4. Тело вращения радиусом $a$ с моментом инерции I (относительно геометрической оси) и массой $m$ катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра радиуса $R$, совершая малые колебания около положения равновесия (рис. 94). Найти период этих колебаний.
Решение. Рассматривая движение тела как вращение вокруг мгновенной оси (см. § 45) с угловой скоростью $\omega$, напишем для скорости его центра $v=\omega a$. Ту же скорость можно представить в виде $v=(R-a) \dot{\varphi}$.
Рис. 93
Приравнивая оба выражения, находим
\[
\omega=\frac{R-a}{a} \dot{\varphi} .
\]
Кинетическая энергия по теореме Кёнига
\[
K=\frac{1}{2} I \omega^{2}+\frac{1}{2} m(R-a)^{2} \dot{\varphi}^{2}=\frac{1}{2}\left(m+\frac{I}{a^{2}}\right)(R-a)^{2} \dot{\varphi}^{2} .
\]
Потенциальная же энергия
\[
U=m g(R-a)(1-\cos \varphi) \approx \frac{1}{2} m g(R-a) \varphi^{2} .
\]
Применяя общий метод, изложенный в § 40, находим
Рис. 94
\[
T=2 \pi \sqrt{\left(1+\frac{I}{m a^{2}}\right) \frac{R-a}{g}} .
\]
В частности, для сплошного цилиндра и сплошного шара
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{3}{2} \frac{R-a}{g}}, \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{7}{5} \frac{R-a}{g}} .
\]
5. На горизонтальной плоскости лежит цилиндр с моментом инерции $I$ (относительно продольной геометрической оси), массой $m$ и радиусом $r$. К оси цилиндра прикреплены две одинаковые горизонтально расположенные спиральные пружины, другие концы которых закреплены в стене (рис.95, вид сверху). Жесткость каждой пружины равна $k$, пружины могут работать как на растяжение, так и на сжатие. Найти период малых колебаний цилиндра, которые возникнут, если вывести его из положения равновесия и дать возможность кататься без скольжений по горизонтальной плоскости.
Ответ. $T=\frac{2 \pi}{r} \sqrt{\frac{I+m r^{2}}{2 k}}$. Для сплошного цилиндра $T=\pi \sqrt{3 m / k}$.
6. Однородная квадратная плита подвешена за свои углы к потолку зала на четырех парал-
Рис. 95 лельных веревках, длина каждой из которых равна $l$. Определить период малых крутильных колебаний плиты, которые возникнут, если повернуть ее на малый угол вокруг вертикальной оси.
Ответ. $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{3 g}}$.
В более общем случае, когда плита не однородна, но центр масс ее совпадает с геометрическим центром плиты,
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{2 I l}{M g a^{2}}},
\]
где $I$ – момент инерции плиты относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр, а а – длина одной из сторон плиты.
7. Три однородных стержня длиной $l$ каждый соединены короткими нитями, как указано на рис. 96. Нижний стержень поворачивают на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через центр системы, и отпускают. Найти период возникших при этом малых колебаний, если массы стержней одинаковы.
Ответ. $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{2 g}}$.
Рис. 96
8. Шарик массой $m$ подвешен на двух последовательно соединенных пружинках с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ (рис. 97). Определить период его вертикальных колебаний.
Ответ. $T=2 \pi \sqrt{m\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}\right)}$.
Указание. Показать, что при растяжениях и сжатиях пружины ведут себя как одна пружина с жесткостью, определяемой соотношением
\[
\frac{1}{k}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}} .
\]
9. Найти период крутильных колебаний диска, плотно насаженного на составной стержень, состоящий из двух различных последовательно соединенных стержней (рис. 98). Верхний конец $A$ стержня неподвижно закреплен.
Рис. 97
Рис. 98
Рис. 99
Если бы диск был насажен только на первый стержень, то период колебаний был бы равен $T_{1}$. Если бы он был насажен только на второй стержень, то период колебаний оказался бы равным $T_{2}$.
Ответ. $T=\sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}$.
10. Найти период малых колебаний физического маятника массой $m$, к центру масс $C$ которого прикреплена горизонтальная спиральная пружина с жесткостью $k$. Другой конец пружины закреплен в неподвижной стенке (рис. 99). Момент инерции маятника относительно точки подвеса равен $I$, расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника равно $a$. В положении равновесия пружина не деформирована.
Ответ. $T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{m g a+k a^{2}}}$.
11. Колебательная система состоит из однородного стержня длиной $l$ и массой $m$, который может вращаться вокруг горизонтальной оси $O$, проходящей через его конец и перпендикулярной к продольной оси стержня (рис. 100). Другой конец стержня подвешен на пружине с жесткостью $k$. Расстояние между центром масс стержня и осью вращения $C O=a$. Момент инерции стержня относительно оси $O$ равен I. Найти удлинение пружины $x_{0}$ (по сравнению с ее длиной в недеформированном состоянии) в положении равновесия, если в этом положении стержень горизонтален. Определить также период малых колебаний стержня около положения равновесия.
Ответ. $x_{0}=\frac{m g a}{k l}, T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{k l^{2}}}$.
Рис. 100
12. К концу однородного стержня длиной $l$ и массой $m$ прикреплена короткая упругая пластинка. Пластинку зажимают в тисках один раз так, что стержень оказывается внизу, а другой раз – вверху (рис. 101). Определить отношение периодов малых колебаний стержня в этих случаях. Момент упругих сил пластинки пропорционален углу отклонения стержня от положения равновесия, причем коэффициент пропорциональности равен $k$.
Ответ. $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\sqrt{\frac{2 k-m g l}{2 k+m g l}}$.
13. Два незакрепленных шарика с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены друг с другом спиральной пружинкой с жесткостью $k$. Определить период колебаний шариков относительно центра масс системы, которые возникнут при растяжении пружинки.
\[
\text { Ответ. } T=2 \pi \sqrt{\frac{m_{1} m_{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right) k}} .
\]
14. Два диска с моментами инерции $I_{1}$ и $I_{2}$ насажена на общую ось, проходящую через их центры. Осью являются стержень с модулем кручения $f$. Определить период крутильных колебаний одного диска относительно другого в предположении, что систе-
Рис. 102 ма свободна. Массой стержня пренебречь.
Ответ. $T=2 \pi \sqrt{\frac{I_{1} I_{2}}{f\left(I_{1}+I_{2}\right)}}$.
15. Два сплошных однородных цилиндра с одинаковым радиусом $R$ и массами $m_{1}$ и $m_{2}$ лежат на горизонтальном столе и связаны с помощью двух одинаковых пружин с жесткостью $k$ каждая, как показано на рис. 102 (вид сверху). Определить период малых колебаний, которые возникнут, если растянуть пружины и предоставить систему самой себе, не сообщая ей дополнительной скорости. Цилиндры катаются по столу без проскальзывания. Пружины могут работать как на растяжение, так и на сжатие.
Ответ. $T=\pi \sqrt{\frac{3 m_{1} m_{2}}{k\left(m_{1}+m_{2}\right)}}$.
16. Колебания обычного математического маятника изохронны (точнее, приблизительно изохронны) только тогда, когда их амплитуды малы. Гюйгенс задался целью построить маятник, который совершал бы строго изохронные колебания при любых амплитудах. Он показал, что таковым является циклоидальный маятник. Циклоидальный математический маятник представляет собой материальную точку, совершающую колебания, двигаясь под действием силы тяжести по дуге циклоиды. Показать, что колебания циклоидального маятника изохронны, и вывести формулу для его периода.
Решение. Как известно, циклоида представляет собой кривую, описываемую одной из точек окружности, катящейся по неподвижной прямой. Для наших целей надо взять циклоиду, обращенную выпуклостью вниз. В соответствии с этим примем, что окружность расположена ниже горизонтальной прямой, по которой она катится (эта прямая на рис. 103 изображена штриховой линией). За ось $X$ примем параллельную ей прямую, смещенную вниз на диаметр окружности 2a. Пусть точка $A$ на катящейся окружности, описывающая циклоиду, в исходном положении находится на оси $Y$ в наивысшей точке. Если окружность при качении поРис. 103 вернется на угол $\varphi$, то ее центр $C$ переместится вправо на расстояние ач. При этом точка $A$ сместится относительно центра влево на расстояние $a \sin \varphi$ и вниз на расстояние $a(1-\cos \varphi)$. Поэтому прямоугольные координаты точки $A$ станут
\[
x=a(\varphi-\sin \varphi), \quad y=a(1+\cos \varphi) .
\]
Это – уравнение циклоиды в параметрической форме. Пусть теперь $x$ и $y$ означают координаты материальной точки, совершающей циклоидальные колебания под действием силы тяжести. Параметр ч становится функцией времени. Потенциальная энергия точки будет $U=m g y$, кинетическая $K=1 / 2 m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)$. Найдя производные $\dot{x}, \dot{y}$ и выполнив элементарные преобразования, получим
\[
U=2 m g a \cos ^{2} \frac{\varphi}{2}, \quad K=2 m a^{2} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2} \cdot \dot{\varphi}^{2} .
\]
Введем обозначение $q=\cos \frac{\varphi}{2}$. Тогда $\dot{q}=-\frac{1}{2} \sin \frac{\varphi}{2} \cdot \dot{\varphi}$. Величина $q$ может быть принята за координату, определяющую положение колеблющейся точки, а ее производная $\dot{q}-$ за соответствующую обобщенную скорость. В этих обозначениях
\[
U=2 m g a q^{2}, \quad K=8 m a^{2} \dot{q}^{2} .
\]
Потенциальная энергия является квадратичной функцией координаты $q$, а кинетическая – производной $\dot{q}$ с постоянными коэффициентами. Отсюда
делаем вывод, что при любых амплитудах колебания циклоидального маятника будут изохронными и гармоническими с периодом
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{4 a}{g}} .
\]
17. Маятник подвешен на резинке, растянутой настолько сильно, что ее первоначальной длиной можно пренебречь. Возможны ли горизонтальные гармонические изохронные колебания маятника сколь угодно большой амплитуды? Если возможны, то определить период этих колебаний. Возможны ли круговые движения маятника в вертикальной плоскости? Каково будет движение при любых начальных условиях?
Ответ. И те и другие движения возможны. Их период
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}},
\]
где $m$ – масса маятника, $k$ – жесткость резинки. При произвольных начальных условиях движение маятника будет происходить по эллипсу с периодом обращения $T$.
18. По штанге, вращающейся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью $\omega$, может скользить без трения груз массой $m$, удерживаемый на некотором расстоянии от оси вращения пружиной с жесткостью $k$ и начальной длиной $r_{0}$. Найти движение груза, которое возникнет, если штангу мгновенно остановить.
Ответ. $r=r_{0}\left(1+\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \cos \omega_{0} t\right)$, где $\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$.
При этом должно быть $\omega<\omega_{0}$. В противном случае равновесие груза на вращающейся штанге в области применимости закона Гука было бы невозможно.
19. На горизонтальной пружине укреплено тело массой $M=10$ кг, лежащее на гладком столе, по которому оно может скользить без трения (рис. 104). В это тело попадает и застревает в нем пуля массой $m=10$ г, летящая с горизонтальной скоростью $v=500 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, направленной вдоль оси пружины. Тело вместе с застрявшей в нем пулей отклоняется от положения Рис. 104 равновесия и начинает колебаться относительно него с амплитудой $a=10$ см. Найти период колебаний тела.
Ответ. $T=2 \pi \frac{M+m}{m v} a \approx 1,26$ с.
20. На тонкую стальную спицу надет шарик. Противоположный конец спицы неподвижно закреплен. Показать, что если масса спицы пренебрежимо мала по сравнению с массой шарика, то период малых колебаний, возникающих при отклонении шарика в сторону, пропорционален расстоянию $l$ между шариком и точкой закрепления спицы.
Указание. Рассмотрим вспомогательную однородную спицу, согнутую в кольцо. Если ее разрезать в одном месте и к концам прикрепить шарики $A$ и $B$, то появятся упругие радикальные силы $F$, приложенные к шарикам, стремящиеся распрямить спицу (рис. 105). Силы эти не зависят от места, где произведен разрез. Заметив это, вернемся теперь к нашей задаче. Если шарик сместить в сторону, то спица деформируется. При малых деформациях участок ее между шариком и точкой закрепления спицы можно в первом приближении считать дугой окружности. На основании предыдущего замечания можно утверждать, что при смещении шарика по этому деформированному участку действующая на него сила будет меняться. Пользуясь этим, нетрудно показать, что жесткость $k$ спицы будет обратно пропорРис. 105 циональна квадрату длины $l$.
21. Найти период колебаний физического маятника в зависимости от угловой амплитуды.
Решение. Закон сохранения энергии дает
\[
\frac{I}{2} \dot{\varphi}^{2}=m g a\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right),
\]
где $\varphi-$ угол отклонения маятника из положения равновесия, а $\varphi_{0}$ – максимальное его значение (угловая амплитуда колебаний). Введя приведенную длину маятника (41.4) и выполнив несложные преобразования, получим
\[
\frac{d \varphi}{d t}=2 \sqrt{\frac{g}{l}} \sqrt{\sin ^{2} \frac{\varphi_{0}}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}} .
\]
Разрешив это уравнение относительно $d t$ и интегрируя по $\varphi$, найдем период колебаний маятника $T$ как учетверенное время прохождения интервала углов от $\varphi=0$ до $\varphi=\varphi_{0}$. При интегрировании удобно ввести новую переменную интегрирования $u=\sin (\varphi / 2) / \sin \left(\varphi_{0} / 2\right)$. В результате получим
\[
T=4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d u}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} u}}
\]
где введено обозначение $k \equiv \sin \left(\varphi_{0} / 2\right.$ ). Входящий сюда интеграл не берется в элементарных функциях. Он называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Его можно представить в виде бесконечного ряда. Так как $|k \sin u|<1$, то подынтегральное выражение можно разложить в ряд по формуле бинома Ньютона:
\[
\left(1-k^{2} \sin ^{2} u\right)^{-1 / 2}=1+\frac{1}{2} k^{2} \sin ^{2} u+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} k^{4} \sin ^{4} u+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} k^{6} \sin ^{6} u+\ldots
\]
Этот ряд равномерно сходится, а потому его можно интегрировать почленно. Сделав это, получим
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left[1+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\varphi_{0}}{2}+\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^{2} \sin ^{4} \frac{\varphi_{0}}{2}+\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^{2} \sin ^{6} \frac{\varphi_{0}}{2}+\ldots\right] .
\]
При малых амплитудах $\varphi_{0}$ эта формула переходит в (41.3).
