1. Рассмотрим частный случай, когда все натяжения $T_{x}, T_{y}, T_{z}$ равны и отрицательны. В этом случае на параллелепипед со всех сторон действует постоянное давление $P=-T_{x}=-T_{y}=-T_{z}$. Как видно из формул (76.1), все три относительные деформации $\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y}, \varepsilon_{z}$ равны между собой и определяются выражением
\[
\varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=-\frac{P}{E}(1-2 \mu) .
\]
Их легко выразить через относительное изменение объема параллелепипеда при деформации. Действительно, взяв логарифмические производные от обеих частей равенства $V=x y z$, получим
\[
\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}+\frac{\Delta z}{z},
\]
или
\[
\frac{\Delta V}{V}=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z} .
\]
Поэтому формулу (77.1) можно представить в виде
\[
\frac{\Delta V}{V}=-\frac{P}{K},
\]
где постоянная $K$ определяется выражением
\[
K=\frac{E}{3(1-2 \mu)} .
\]
Эта постоянная называется модулем всестороннего сжатия. Формула (77.3) применима к телам произвольной, а не только прямоугольной формы. Для доказательства достаточно заметить, что произвольное тело можно мысленно разделить на малые части, каждая из которых имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Эти части находятся под постоянным внешним давлением. Относительные изменения их объемов, а следовательно, и относительное изменение объема всего тела одинаковы и определяются формулой (77.3).
Выражение (76.3) для плотности упругой энергии в случае деформации всестороннего сжатия переходит в
\[
u=\frac{3(1-2 \mu)}{2 E} P^{2}=\frac{P^{2}}{2 K} .
\]
Так как величина $и$ существенно положительна, то должно быть $1-2 \mu>0$, т. е.
\[
\mu<\frac{1}{2} .
\]
2. Рассмотрим другой важный случай – деформацию одностороннего растяжения или сжатия. Пусть однородный стержень может свободно растягиваться или сжиматься в направлении его оси (которую мы примем за координатную ось $X$ ), а его поперечные размеры изменяться не могут. Этот случай имеет важное значение в теории распространения продольных волн в неограниченной упругой среде (см. § 83). Можно мысленно вырезать часть среды, имеющую форму стержня, направленного вдоль распространения волн. Такой «стержень» может сжиматься или расширяться в продольном направлении. Однако изменениям его поперечных размеров препятствует окружающая среда. Форма поперечного сечения стержня не имеет значения. Возьмем стержень с прямоугольным поперечным сечением, чтобы можно было воспользоваться формулами (76.1). Пусть вдоль стержня действует постоянное натяжение $T_{x}$. Поперечные напряжения $T_{y}$ и $T_{z}$ найдутся из условия неизменности размеров стержня в направлениях координатных осей $Y$ и $Z$. Полагая в формулах (76.1) $\Delta y=\Delta z=0$, получим
\[
T_{y}-\mu\left(T_{z}+T_{x}\right)=0, T_{z}-\mu\left(T_{x}+T_{y}\right)=0 .
\]
Отсюда
\[
\begin{array}{l}
T_{y}=T_{z}=\frac{\mu}{1-\mu} T_{x}, \\
\varepsilon_{x}=\frac{T_{x}}{E}\left(1-\frac{2 \mu^{2}}{1-\mu}\right) .
\end{array}
\]
Введем обозначение
\[
E^{\prime}=E \frac{1-\mu}{1-\mu-2 \mu^{2}}=E \frac{1-\mu}{(1+\mu)(1-2 \mu)},
\]
или
\[
E^{\prime}=\left[\frac{2}{3(1+\mu)}+\frac{1}{3(1-2 \mu)}\right] E
\]
Тогда
\[
\frac{\Delta x}{x}=\frac{T_{x}}{E^{\prime}} .
\]
Это соотношение аналогично соотношениям (75.7). Постоянная $E^{\prime}$ называется модулем одностороннего растяжения.
ЗАДАЧА
Прямоугольная пластинка зажата между вертикальными плоскостями, перпендикулярными к оси $X$, так что в направлении этой оси частицы пластинки смещаться не могут (рис. 202). В направлении оси $Z$ пластинка подвергается равномерному одностороннему давлению $P$. Определить давление $P_{x}$, которому подвергается пластинка со стороны плоскостей, между которыми она зажата. Найти выражение для плотности упругой энергии $u$, а также относительное сжатие пластинки в направлении оси $Z$ и относительное расширение в направлении оси $Y$.
\[
\text { Ответ. } P_{x}=\mu P, \frac{\Delta y}{y}=\frac{\mu P}{E}(1+\mu), \frac{\Delta z}{z}=-\frac{P}{E}\left(1-\mu^{2}\right), u=\frac{P^{2}}{2 E}\left(1-\mu^{2}\right) \text {. }
\]
