Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках $O$ и $A$. Ради краткости будем называть сами оси осями также $O$ и $A$. Разобьем мысленно тело на элементарные массы $d m$. Радиусы-векторы одной из них, проведенные от осей $O$ и $A$ параллельно плоскости рисунка, обозначим через $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$ соответственно. (На рис. 63 изображен такой случай, когда элементарная масса $d m$ лежит в плоскости рисунка.) Тогда $\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}-\mathbf{a}$, где $\mathbf{a}$ означает радиус-вектор $\overrightarrow{O A}$. Следовательно, $r^{\prime 2}=r^{2}+a^{2}-2(\mathbf{a r})$,
\[
\int r^{\prime 2} d m=\int r^{2} d m+a^{2} \int d m-2\left(\mathbf{a} \int \mathbf{r} d m\right) .
\]

Интеграл слева есть момент инерции $I_{A}$ тела относительно оси $A$, первый интеграл справа — момент инерции относительно оси $O$. Последний интеграл можно представить в виде $\int \mathbf{r} d m=m \mathbf{R}_{C}$, где $\mathbf{R}_{C}$ — радиус-вектор центра масс $C$ тела относительно оси $O$ (точнее, $\mathbf{R}_{C}$ есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,
\[
I_{A}=I_{O}+m a^{2}-2 m\left(\mathbf{a R}_{C}\right) .
\]

Допустим, что ось $O$ проходит через центр масс $C$ тела. Тогда $\mathbf{R}_{C}=0$, и предыдущая формула упрощается, принимая вид
\[
I_{A}=I_{C}+m a^{2} .
\]

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса-Штейнера (Якоб Штейнер (1796-1863) — швейцарский геометр). Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерии его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной $\mathrm{ma}^{2}$, где а — расстояние между осями.