1. Если на систему действуют только консервативные и гироскопические силы, то для такой системы можно ввести понятие потенциальной энергии. Примем какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно за нулевое. Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия системы $U$ является функцей только ее координат.

Значение потенциальной энергии зависит от того, какое положение системы условно принято за нулевое. Если за нулевое принять положение 0 (рис. 43 a), то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией $U=A_{10}$, равной работе консервативных сил при переходе системы из положения $l$ в положение 0 . Если же за нулевое принять положение $0^{\prime }$, то потенциальная энергия будет равна $U^{\prime }=A_{10}$. Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути ${10}^{\prime }$ равна работе вдоль пути ${100}^{\prime }:A_{{10}^{\prime }}=A_{10}+A_{{00}^{\prime }}$, или $U^{\prime }=U+A_{{00}^{\prime }}$. Работа $A_{00}$, постоянна, т. е. не зависит от координат системы в рассматриваемом состоянии 1 . Она полностью определяется выбором нулевых положений 0 и $0^{\prime }$. Мы видим, что при замене одного
Рис. 43

нулевого положения другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину. Неопределенность можно усилить еще больше, если условиться считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю, а какому-либо постоянному произвольному значению. Тогда в приведенном выше определении вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух положениях. Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого в нулевое положение. Таким образом, потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразиться на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от абсолютных значений самой потенциальной энергии, а лишь от ее разностей в различных состояниях. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят.

Пусть система перешла из положения $I$ в положение 2 по какому-либо пути 12 (рис. 43 б). Работу $A_{12}$, совершенную консервативными силами при таком переходе, можно выразить через потенциальные энергии $U_1$ и $U_2$ в состояниях $I$ и 2 . С этой целью вообразим, что переход осуществлен через нулевое положение 0 , т. е. по пути 102. Так как силы консервативны, то $A_{12}=A_{102}=$ $=A_{10}+A_{02}=A_{10}-A_{20}$. По определению потенциальной энергии $U_1=A_{10}+C,U_2=A_{20}+C$, где $C$ — одна и та же аддитивная постоянная. Таким образом,
$$A_{12}=U_1-U_2,$$
т. е. работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.
2. Та же работа $A_{12}$, как было показано, может быть выражена через приращение кинетической энергии по формуле (22.9). Приравнивая выражения (22.9) и (25.1), получим $K_2-K_1=U_1-U_2$, откуда
$$K_1+U_1=K_2+U_2.$$

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной энергией $E$. Таким образом, $E_1=E_2$, или
$$E\equiv K+U=\text{ const. }$$

В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
3. Вычислим потенциальную энергию в некоторых простейших случаях.
a. Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести. Если материальная точка, находящаяся на высоте $h$, упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого $h=0)$, то сила тяжести совершит работу $A=mgh$. Поэтому на высоте $h$ материальная точка обладает потенциальной энергией $U=mgh+C$. За нулевой можно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная $C$ равна потенциальной энергии на нулевом уровне. Полагая ее равной нулю, получим
$$U=mgh.$$
б. Потенциальная энергия растянутой пружины. Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины. Ее называют упругой энергией. Обозначим через $x$ растяжение пружины, т. е. разность $x=l-l_0$ длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях. Упругая сила $F$ зависит только от растяжения. Если растяжение $x$ не очень велико, то сила пропорциональна ему: $F=kx$ (закон Гука, см. §11). При возращении пружины из деформированного в недеформированное состояние сила $F$ совершает работу
$$A={\int }_0^{x}Fdx=k{\int }_0^{x}xdx=\frac{1}{2}k{x}^2.$$

Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то
$$U=\frac{1}{2}k{x}^2.$$
в. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорциональна произведению их масс $Mm$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
$$F=G\frac{Mm}{r^2},$$

где $G$ — гравитационная постоянная. Силы гравитационного притяжения, как силы центральные, являются консервативными. Для них имеет смысл говорить о потенциальной энергии. При вычислении этой энергии одну из масс, например $M$, можно считать неподвижной, а другую — перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы $m$ из бесконечности гравитационные поля совершают работу
$$A={\int }_r^{\mathrm{\infty }}G\frac{Mm}{r^2}dr=G\frac{Mm}{r},$$

где $r$ — расстояние между массами $M$ и $m$ в конечном состоянии. Эта работа равна убыли потенциальной энергии:
$$A=U_{\mathrm{\infty }}-U(r).$$

Обычно потенциальную энергию в бесконечности $U_{\mathrm{\infty }}$ принимают равной нулю. При таком соглашении
$$U=-G\frac{Mm}{r}.$$

Величина (25.6) отрицательна. Это имеет простое объяснение. Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна.
4. Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными и гироскопическими силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил $A_{12}$ при переходе системы из положения $l$ в положение 2 по-прежнему равна приращению ее кинетической энергии $K_2-K_1$. Но в рассматриваемом случае эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил $A_{12}^{\text{кон }}$ и работы диссипативных сил $A_{12}^{\text{дис }}$. Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы: $A_{12}^{\text{кон }}=U_1-U_2$. Поэтому
$$A_{12}=U_1-U_2+A_{12}^{\text{дис }}.$$

Приравнивая это выражение приращению кинетической энергии, получим
$$K_2-K_1=U_1-U_2+A_{12}^{\text{дис }},$$

или
$$E_2-E_1=A_{12}^{\text{дис }},$$

где $E=K+U$ — полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом случае механическая энергия $E$ системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил $A_{12}^{\text{дис }}$ отрицательна.

Уравнение (25.7) можно обобщить. Разделим все действующие силы на две группы. $\mathrm{K}$ первой группе отнесем силы, учитываемые посредством потенциальной энергии $U$, ко второй — все остальные силы, как внутренние, так и внешние, действующие в системе. Обозначим через $A_{12}$ работу сил второй группы. Тогда, рассуждая так же, как и при выводе формулы (25.7), получим
$$E_2-E_1=A_{12}.$$
5. Допустим снова, что диссипативные силы в системе не действуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (25.2). Поскольку кинетическая энергия $K$ по своему смыслу не может быть отрицательной, из формулы (25.2) следует, что $E⩾U$. Этим соотношением определяется область изменения всех координат системы, в которой она может находиться при заданной полной энергии $E$. В область, где $U>E$, система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную.

Рассмотрим в качестве примера одномерное движение частицы, когда она движется вдоль определенной прямой линии. Примем эту линию за координатную ось $X$. На оси $X$ величина $U$ будет функцией только $x:U=U(x)$. Если $E-$ полная энергия частицы, то частица может находиться только в тех местах оси $X$, где $U(x)⩽E$. Допустим, что график функции $U(x)$ имеет вид, изображенный на рис. 44. Проведем на этом рисунке горизонтальную прямую $U=E_1$, где $E_1-$ каРис. 44 кая-то постоянная. Пусть эта прямая пересекает «потенциальную кривую» $U=U(x)$ в трех точках $A,B,C$ с координатами $x_A,x_B,x_C$. Сразу видно, что частица с полной энергией $E_1$ не может находиться в областях I и III. Она может двигаться либо в области II, либо в области IV. Переходить из области II в область IV или обратно частица не может. Этому препятствует «потенциальный барьер» $BNC$ на потенциальной кривой. В области II частица с полной энергией $E_1$ будет совершать так называемое финитное движение, т. е. движение, происходящее в ограниченной части пространства. Она окажется запертой в «потенциальной яме» $AMB$ и будет совершать колебания между крайними точками $x_A$ и $x_B$, называемыми точками поворота. Если же частица находится в области IV и движется налево, то она, достигнув точки $x_C$, повернет обратно и далее будет «уходить на бесконечность». Такое движение называется инфинитным. Пусть теперь частица обладает большей энергией $E_2>E_1$, и горизонтальная прямая $U=E_2$ пересекает потенциальную кривую в единственной точке $D$ с абсциссой $x_D$. Тогда для частицы окажется доступной вся область пространства правее точки $x_D$, и движение в этой области будет инфинитным.

Допустим, что потенциальная яма имеет характер кривой, изображенной на рис. 45. По обе стороны от точки $M$ обе ветви потенциальной кривой монотонно поднимаются вверх. Пусть при $x=\pm \mathrm{\infty }$ функция $U(x)$ обращается в нуль, т. е. ось абсцисс является для потенциальной кривой асимптотой. Тогда можно утверждать, что движение частицы будет финитным, если ее полная энергия отрицательна, и инфинитным, если она положительна.

Для уяснения качественного характера движения частицы в силовом поле с потенциальной энергией $U(x)$ полезна следующая иллюстрация. Изготовим идеально твердую и идеально гладкую дорожку, форма которой точно совпадает с профилем потенциальной кривой $U=U(x)$ (например, кривой, изображенной на рис. 44). Поместим такую дорожку в однородном поле тяжести и положим на нее на некоторой высоте маленький шарик. Тогда движение шарика под действие силы тяжести будет почти точно воспроизводить движение материальной точки в рассматриваемом силовом поле $U=U(x)$, если только надлежащим образом подобрать ее полную энергию. Некоторая неточность иллюстрации связана с тем, что при движении шарика по дорожке возникает вращение, на что расходуется часть энергии. Иллюстрация совершенно точно передавала бы все черты искомого движения, если бы шарик не катился по дорожке, а скользил по ней без трения. Если такой шарик поместить без начальной скорости в точку $A$ (рис. 44), то он будет совершать колебания по дуге $AMB$ между крайними точками $A$ и $B$. Если его поместить в точку $D$, то он сможет преодолеть потенциальный барьер $BNC$ и «уйти на бесконечность».
6. Для финитных движений справедлива так называемая теорема вириaла, имеющая многочисленные применения в различных отделах физики. Она была сформулирована и доказана немецким физиком Рудольфом Клаузиусом ( $1822-1888$ ). Для произвольной системы материальных точек можно написать
$$\frac{d}{dt}\sum \mathrm{pr}=\sum \mathbf{r}\mathbf{F}+\sum \mathbf{p}\mathbf{v},$$

так как $\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F},\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}$ (суммирование ведется по всем материальным точкам системы). Последнее слагаемое в правой части есть удвоенная кинетическая энергия системы: $2K=\sum \mathbf{p}\mathbf{v}=\sum m{v}^2$, и предыдущее соотношение можно переписать в виде
$$K=-\frac{1}{2}\sum \mathbf{r}\mathbf{F}+\frac{d}{dt}\sum \frac{1}{2}(\mathbf{p}\mathbf{r}).$$

Величина $-\frac{1}{2}\sum \mathbf{r}\mathbf{F}$ называется вириалом сил, действующих в системе.
Назовем средним по времени значением функции $f(t)$ на временном интервале $(t,t+T)$ величину, определяемую выражением
$$\overline{(t)}=\frac{1}{T}{\int }_t^{t+T}f\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime }.$$

Если функция $f(t)$ периодична, то в качестве времени $T$ обычно берут ее период. Если же $f(t)$ не периодична, но ограничена, то время $T$ берут достаточно большим и переходят к пределу
$$\overline{f}=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_t^{t+T}f\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime },$$

предполагая, конечно, что предел существует. Если $f(t)$ есть производная ограниченной функции по времени; $f=\frac{d\phi }{dt}$, то $\overline{f}=0$. Действительно,
$$\overline{f}=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_t^{t+T}\frac{d\phi }{d{t}^{\prime }}d{t}^{\prime }=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\phi (t+T)-\phi (t)}{T}.$$

Имея это в виду, усредним соотношение (25.9) по времени, устремляя $T$ к бесконечности. Тогда для финитного движения последнее слагаемое в (25.9) даст нуль, и мы получим
$$\overline{K}=-\frac{1}{2}\overline{\sum \mathrm{rF}}.$$

В случае финитных движений среднее по времени значение кинетической энергии системы равно среднему по времени значению вириала сил, действующих в системе. Это и есть теорема вириала Клаузиуса.
ЗАДАЧИ
1. Определить отношение потенциальных энергий деформации $U_1$ и $U_2$ двух пружин с жесткостями $k_1$ и $k_2$ в двух случаях: а) пружины соединены последовательно и растягиваются грузом $P$ (рис. 46 a); б) пружины висят параллельно, причем груз $P$ подвешен в такой точке, что обе пружины растягиваются на одну и ту же величину (рис. 46 б). Деформацией пружин под действием собственного веса пренебречь.
Oтвет:
a) $U_1/U_2=k_2/k_1$
$U_1/U_2=k_1/k_2$.
Когда одна из пружин очень жесткая по сравнению с другой, практически вся потенциальная энергия в случае а) будет запасена в более мягкой, а в случае б) — в более Рис. 46 жесткой пружинах.
Рис. 46
2. Два протона с энергией $E=0,5$ МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают лобовое столкновение. Как близко они могут сойтись, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними?

Ответ. $r=e^2/2E$, где $e-$ заряд протона. Для вычислений формулу целесообразно преобразовать, положив $E=eV$. Тогда $r=e/2V=$ $=1,4\cdot {10}^{-13}\mathrm{cm}(2V={10}^6\mathrm{B})$. Опыты по рассеянию ядерных частиц показали, что радиус действия ядерных сил по порядку величины равен ${10}^{-13}\mathrm{cm}$. Поэтому при расчете столкновения протонов, энергии которых превосходят примерно $0,5\mathrm{M}$, помимо электростатических сил надо учитывать также ядерные силы.
3. Три электрона в состоянии покоя находятся в вершинах правильного треугольника со стороной $a=1\mathrm{cm}$. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей.
Ответ. $v=\sqrt{2e^2/ma}=2,2\cdot {10}^4\mathrm{cm}/\mathrm{c}$.
4. Решить задачу 3 для релятивистских скоростей. При каких расстояниях $a$ можно пользоваться нерелятивистским приближением?
$$\text{ Ответ. }v=c\frac{\sqrt{2m_0{c}^2{e}^2/a+e^4/a^2}}{m_0{c}^2+e^2/a}.$$

Нерелятивистское приближение справедливо при
$$a\gg \frac{e^2}{m_0{c}^2}=2,8\cdot {10}^{-13}\mathrm{cm}.$$
5. Исходя из того требования, что произведение импульса частицы $mv$ на расстояние $a$ велико по сравнению с $L$, определить, при каких расстояниях $a$ в задаче 3 квантовые поправки не играют роли.
Ответ. При $a\gg \frac{h^2}{2m{e}^2}\approx {10}^{-7}\mathrm{cm}$.
6. Четыре электрона в состоянии покоя находятся в вершине квадрата со стороной $a=1$ см. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей.
Ответ. $v=\sqrt{(2+\frac{\sqrt{2}}{2})\frac{e^2}{ma}}=2,6\cdot {10}^4\mathrm{cm}/\mathrm{c}$.
7. Материальная точка совершает одномерное финитное движение в потенциальном силовом поле между точками поворота $x_A$ и $x_B$ (см. рис. 45). Показать, что время движения ее от точки $x_A$ к точке $x_B$ равно времени обратного движения от точки $x_B$ к точке $x_A$.
8. Материальная точка (например, шарик на пружине) под действием квазиупугой силы $F=-kx$ совершает колебания вдоль оси $X$ вокруг положения равновесия. Пользуясь теоремой вириала, показать, что средние по времени значения кинетической и потенциальной энергий при таком колебании одинаковы.
9. Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в однородном поле тяжести, отражаясь от поля по законам упругого удара. Найти связь между средними по времени значениями его кинетической $\overline{K}$ и потенциальной $\overline{U}$ энергий.

Решение. Поместим начало координат в одной из точек пола, направив ось $X$ вертикально вверх. Тогда сила давления пола на шарик не будет влиять на значение вириала, так как она действует только в таких положениях шарика, когда $x=0$. Надо учитывать только силу тяжести $F=-mg$ (минус потому, что сила $F$ действует вниз, т. е. в отрицательном направлении оси $X$ ). Вириал этой силы равен $-1/2Fx=1/2mgx=1/2U$. По теореме вириала находим
$$\overline{K}=\frac{1}{2}\overline{U}$$