Главная > ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ Том I МЕХАНИКА (Сивухин Д. В.)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Если на систему действуют только консервативные и гироскопические силы, то для такой системы можно ввести понятие потенциальной энергии. Примем какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно за нулевое. Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия системы $U$ является функцей только ее координат.

Значение потенциальной энергии зависит от того, какое положение системы условно принято за нулевое. Если за нулевое принять положение 0 (рис. 43 a), то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией $U=A_{10}$, равной работе консервативных сил при переходе системы из положения $l$ в положение 0 . Если же за нулевое принять положение $0^{\prime}$, то потенциальная энергия будет равна $U^{\prime}=A_{10}$. Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути $10^{\prime}$ равна работе вдоль пути $100^{\prime}: A_{10^{\prime}}=A_{10}+A_{00^{\prime}}$, или $U^{\prime}=U+A_{00^{\prime}}$. Работа $A_{00}$, постоянна, т. е. не зависит от координат системы в рассматриваемом состоянии 1 . Она полностью определяется выбором нулевых положений 0 и $0^{\prime}$. Мы видим, что при замене одного
Рис. 43

нулевого положения другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину. Неопределенность можно усилить еще больше, если условиться считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю, а какому-либо постоянному произвольному значению. Тогда в приведенном выше определении вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух положениях. Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого в нулевое положение. Таким образом, потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразиться на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от абсолютных значений самой потенциальной энергии, а лишь от ее разностей в различных состояниях. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят.

Пусть система перешла из положения $I$ в положение 2 по какому-либо пути 12 (рис. 43 б). Работу $A_{12}$, совершенную консервативными силами при таком переходе, можно выразить через потенциальные энергии $U_{1}$ и $U_{2}$ в состояниях $I$ и 2 . С этой целью вообразим, что переход осуществлен через нулевое положение 0 , т. е. по пути 102. Так как силы консервативны, то $A_{12}=A_{102}=$ $=A_{10}+A_{02}=A_{10}-A_{20}$. По определению потенциальной энергии $U_{1}=A_{10}+C, U_{2}=A_{20}+C$, где $C$ – одна и та же аддитивная постоянная. Таким образом,
\[
A_{12}=U_{1}-U_{2},
\]
т. е. работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.
2. Та же работа $A_{12}$, как было показано, может быть выражена через приращение кинетической энергии по формуле (22.9). Приравнивая выражения (22.9) и (25.1), получим $K_{2}-K_{1}=U_{1}-U_{2}$, откуда
\[
K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2} .
\]

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной энергией $E$. Таким образом, $E_{1}=E_{2}$, или
\[
E \equiv K+U=\text { const. }
\]

В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
3. Вычислим потенциальную энергию в некоторых простейших случаях.
a. Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести. Если материальная точка, находящаяся на высоте $h$, упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого $h=0)$, то сила тяжести совершит работу $A=m g h$. Поэтому на высоте $h$ материальная точка обладает потенциальной энергией $U=m g h+C$. За нулевой можно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная $C$ равна потенциальной энергии на нулевом уровне. Полагая ее равной нулю, получим
\[
U=m g h .
\]
б. Потенциальная энергия растянутой пружины. Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины. Ее называют упругой энергией. Обозначим через $x$ растяжение пружины, т. е. разность $x=l-l_{0}$ длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях. Упругая сила $F$ зависит только от растяжения. Если растяжение $x$ не очень велико, то сила пропорциональна ему: $F=k x$ (закон Гука, см. §11). При возращении пружины из деформированного в недеформированное состояние сила $F$ совершает работу
\[
A=\int_{0}^{x} F d x=k \int_{0}^{x} x d x=\frac{1}{2} k x^{2} .
\]

Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то
\[
U=\frac{1}{2} k x^{2} .
\]
в. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорциональна произведению их масс $M m$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
\[
F=G \frac{M m}{r^{2}},
\]

где $G$ – гравитационная постоянная. Силы гравитационного притяжения, как силы центральные, являются консервативными. Для них имеет смысл говорить о потенциальной энергии. При вычислении этой энергии одну из масс, например $M$, можно считать неподвижной, а другую – перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы $m$ из бесконечности гравитационные поля совершают работу
\[
A=\int_{r}^{\infty} G \frac{M m}{r^{2}} d r=G \frac{M m}{r},
\]

где $r$ – расстояние между массами $M$ и $m$ в конечном состоянии. Эта работа равна убыли потенциальной энергии:
\[
A=U_{\infty}-U(r) .
\]

Обычно потенциальную энергию в бесконечности $U_{\infty}$ принимают равной нулю. При таком соглашении
\[
U=-G \frac{M m}{r} .
\]

Величина (25.6) отрицательна. Это имеет простое объяснение. Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна.
4. Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными и гироскопическими силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил $A_{12}$ при переходе системы из положения $l$ в положение 2 по-прежнему равна приращению ее кинетической энергии $K_{2}-K_{1}$. Но в рассматриваемом случае эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил $A_{12}^{\text {кон }}$ и работы диссипативных сил $A_{12}^{\text {дис }}$. Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы: $A_{12}^{\text {кон }}=U_{1}-U_{2}$. Поэтому
\[
A_{12}=U_{1}-U_{2}+A_{12}^{\text {дис }} .
\]

Приравнивая это выражение приращению кинетической энергии, получим
\[
K_{2}-K_{1}=U_{1}-U_{2}+A_{12}^{\text {дис }},
\]

или
\[
E_{2}-E_{1}=A_{12}^{\text {дис }},
\]

где $E=K+U$ – полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом случае механическая энергия $E$ системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил $A_{12}^{\text {дис }}$ отрицательна.

Уравнение (25.7) можно обобщить. Разделим все действующие силы на две группы. $\mathrm{K}$ первой группе отнесем силы, учитываемые посредством потенциальной энергии $U$, ко второй – все остальные силы, как внутренние, так и внешние, действующие в системе. Обозначим через $A_{12}$ работу сил второй группы. Тогда, рассуждая так же, как и при выводе формулы (25.7), получим
\[
E_{2}-E_{1}=A_{12} .
\]
5. Допустим снова, что диссипативные силы в системе не действуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (25.2). Поскольку кинетическая энергия $K$ по своему смыслу не может быть отрицательной, из формулы (25.2) следует, что $E \geqslant U$. Этим соотношением определяется область изменения всех координат системы, в которой она может находиться при заданной полной энергии $E$. В область, где $U>E$, система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную.

Рассмотрим в качестве примера одномерное движение частицы, когда она движется вдоль определенной прямой линии. Примем эту линию за координатную ось $X$. На оси $X$ величина $U$ будет функцией только $x: \quad U=U(x)$. Если $E-$ полная энергия частицы, то частица может находиться только в тех местах оси $X$, где $U(x) \leqslant E$. Допустим, что график функции $U(x)$ имеет вид, изображенный на рис. 44. Проведем на этом рисунке горизонтальную прямую $U=E_{1}$, где $E_{1}-$ каРис. 44 кая-то постоянная. Пусть эта прямая пересекает «потенциальную кривую» $U=U(x)$ в трех точках $A, B, C$ с координатами $x_{A}, x_{B}, x_{C}$. Сразу видно, что частица с полной энергией $E_{1}$ не может находиться в областях I и III. Она может двигаться либо в области II, либо в области IV. Переходить из области II в область IV или обратно частица не может. Этому препятствует «потенциальный барьер» $B N C$ на потенциальной кривой. В области II частица с полной энергией $E_{1}$ будет совершать так называемое финитное движение, т. е. движение, происходящее в ограниченной части пространства. Она окажется запертой в «потенциальной яме» $A M B$ и будет совершать колебания между крайними точками $x_{A}$ и $x_{B}$, называемыми точками поворота. Если же частица находится в области IV и движется налево, то она, достигнув точки $x_{C}$, повернет обратно и далее будет «уходить на бесконечность». Такое движение называется инфинитным. Пусть теперь частица обладает большей энергией $E_{2}>E_{1}$, и горизонтальная прямая $U=E_{2}$ пересекает потенциальную кривую в единственной точке $D$ с абсциссой $x_{D}$. Тогда для частицы окажется доступной вся область пространства правее точки $x_{D}$, и движение в этой области будет инфинитным.

Допустим, что потенциальная яма имеет характер кривой, изображенной на рис. 45. По обе стороны от точки $M$ обе ветви потенциальной кривой монотонно поднимаются вверх. Пусть при $x= \pm \infty$ функция $U(x)$ обращается в нуль, т. е. ось абсцисс является для потенциальной кривой асимптотой. Тогда можно утверждать, что движение частицы будет финитным, если ее полная энергия отрицательна, и инфинитным, если она положительна.

Для уяснения качественного характера движения частицы в силовом поле с потенциальной энергией $U(x)$ полезна следующая иллюстрация. Изготовим идеально твердую и идеально гладкую дорожку, форма которой точно совпадает с профилем потенциальной кривой $U=U(x)$ (например, кривой, изображенной на рис. 44). Поместим такую дорожку в однородном поле тяжести и положим на нее на некоторой высоте маленький шарик. Тогда движение шарика под действие силы тяжести будет почти точно воспроизводить движение материальной точки в рассматриваемом силовом поле $U=U(x)$, если только надлежащим образом подобрать ее полную энергию. Некоторая неточность иллюстрации связана с тем, что при движении шарика по дорожке возникает вращение, на что расходуется часть энергии. Иллюстрация совершенно точно передавала бы все черты искомого движения, если бы шарик не катился по дорожке, а скользил по ней без трения. Если такой шарик поместить без начальной скорости в точку $A$ (рис. 44), то он будет совершать колебания по дуге $A M B$ между крайними точками $A$ и $B$. Если его поместить в точку $D$, то он сможет преодолеть потенциальный барьер $B N C$ и «уйти на бесконечность».
6. Для финитных движений справедлива так называемая теорема вириaла, имеющая многочисленные применения в различных отделах физики. Она была сформулирована и доказана немецким физиком Рудольфом Клаузиусом ( $1822-1888$ ). Для произвольной системы материальных точек можно написать
\[
\frac{d}{d t} \sum \mathrm{pr}=\sum \mathbf{r F}+\sum \mathbf{p v},
\]

так как $\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F}, \dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}$ (суммирование ведется по всем материальным точкам системы). Последнее слагаемое в правой части есть удвоенная кинетическая энергия системы: $2 K=\sum \mathbf{p v}=\sum m v^{2}$, и предыдущее соотношение можно переписать в виде
\[
K=-\frac{1}{2} \sum \mathbf{r F}+\frac{d}{d t} \sum \frac{1}{2}(\mathbf{p r}) .
\]

Величина $-\frac{1}{2} \sum \mathbf{r F}$ называется вириалом сил, действующих в системе.
Назовем средним по времени значением функции $f(t)$ на временном интервале $(t, t+T)$ величину, определяемую выражением
\[
\overline{(t)}=\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Если функция $f(t)$ периодична, то в качестве времени $T$ обычно берут ее период. Если же $f(t)$ не периодична, но ограничена, то время $T$ берут достаточно большим и переходят к пределу
\[
\bar{f}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

предполагая, конечно, что предел существует. Если $f(t)$ есть производная ограниченной функции по времени; $f=\frac{d \varphi}{d t}$, то $\bar{f}=0$. Действительно,
\[
\bar{f}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} \frac{d \varphi}{d t^{\prime}} d t^{\prime}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\varphi(t+T)-\varphi(t)}{T} .
\]

Имея это в виду, усредним соотношение (25.9) по времени, устремляя $T$ к бесконечности. Тогда для финитного движения последнее слагаемое в (25.9) даст нуль, и мы получим
\[
\bar{K}=-\frac{1}{2} \overline{\sum \mathrm{rF}} .
\]

В случае финитных движений среднее по времени значение кинетической энергии системы равно среднему по времени значению вириала сил, действующих в системе. Это и есть теорема вириала Клаузиуса.
ЗАДАЧИ
1. Определить отношение потенциальных энергий деформации $U_{1}$ и $U_{2}$ двух пружин с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ в двух случаях: а) пружины соединены последовательно и растягиваются грузом $P$ (рис. 46 a); б) пружины висят параллельно, причем груз $P$ подвешен в такой точке, что обе пружины растягиваются на одну и ту же величину (рис. 46 б). Деформацией пружин под действием собственного веса пренебречь.
Oтвет:
a) $U_{1} / U_{2}=k_{2} / k_{1}$
$U_{1} / U_{2}=k_{1} / k_{2}$.
Когда одна из пружин очень жесткая по сравнению с другой, практически вся потенциальная энергия в случае а) будет запасена в более мягкой, а в случае б) – в более Рис. 46 жесткой пружинах.
Рис. 46
2. Два протона с энергией $E=0,5$ МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают лобовое столкновение. Как близко они могут сойтись, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними?

Ответ. $r=e^{2} / 2 E$, где $e-$ заряд протона. Для вычислений формулу целесообразно преобразовать, положив $E=e V$. Тогда $r=e / 2 V=$ $=1,4 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm}\left(2 V=10^{6} \mathrm{~B}\right)$. Опыты по рассеянию ядерных частиц показали, что радиус действия ядерных сил по порядку величины равен $10^{-13} \mathrm{~cm}$. Поэтому при расчете столкновения протонов, энергии которых превосходят примерно $0,5 \mathrm{M}$, помимо электростатических сил надо учитывать также ядерные силы.
3. Три электрона в состоянии покоя находятся в вершинах правильного треугольника со стороной $a=1 \mathrm{~cm}$. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей.
Ответ. $v=\sqrt{2 e^{2} / m a}=2,2 \cdot 10^{4} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
4. Решить задачу 3 для релятивистских скоростей. При каких расстояниях $a$ можно пользоваться нерелятивистским приближением?
\[
\text { Ответ. } v=c \frac{\sqrt{2 m_{0} c^{2} e^{2} / a+e^{4} / a^{2}}}{m_{0} c^{2}+e^{2} / a} .
\]

Нерелятивистское приближение справедливо при
\[
a \gg \frac{e^{2}}{m_{0} c^{2}}=2,8 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm} .
\]
5. Исходя из того требования, что произведение импульса частицы $m v$ на расстояние $a$ велико по сравнению с $L$, определить, при каких расстояниях $a$ в задаче 3 квантовые поправки не играют роли.
Ответ. При $a \gg \frac{h^{2}}{2 m e^{2}} \approx 10^{-7} \mathrm{~cm}$.
6. Четыре электрона в состоянии покоя находятся в вершине квадрата со стороной $a=1$ см. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей.
Ответ. $v=\sqrt{\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{e^{2}}{m a}}=2,6 \cdot 10^{4} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
7. Материальная точка совершает одномерное финитное движение в потенциальном силовом поле между точками поворота $x_{A}$ и $x_{B}$ (см. рис. 45). Показать, что время движения ее от точки $x_{A}$ к точке $x_{B}$ равно времени обратного движения от точки $x_{B}$ к точке $x_{A}$.
8. Материальная точка (например, шарик на пружине) под действием квазиупугой силы $F=-k x$ совершает колебания вдоль оси $X$ вокруг положения равновесия. Пользуясь теоремой вириала, показать, что средние по времени значения кинетической и потенциальной энергий при таком колебании одинаковы.
9. Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в однородном поле тяжести, отражаясь от поля по законам упругого удара. Найти связь между средними по времени значениями его кинетической $\bar{K}$ и потенциальной $\bar{U}$ энергий.

Решение. Поместим начало координат в одной из точек пола, направив ось $X$ вертикально вверх. Тогда сила давления пола на шарик не будет влиять на значение вириала, так как она действует только в таких положениях шарика, когда $x=0$. Надо учитывать только силу тяжести $F=-m g$ (минус потому, что сила $F$ действует вниз, т. е. в отрицательном направлении оси $X$ ). Вириал этой силы равен $-1 / 2 F x=1 / 2 m g x=1 / 2 U$. По теореме вириала находим
\[
\bar{K}=\frac{1}{2} \bar{U}
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru