1. Если на систему действуют только консервативные и гироскопические силы, то для такой системы можно ввести понятие потенциальной энергии. Примем какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно за нулевое. Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия системы $U$ является функцей только ее координат.

Значение потенциальной энергии зависит от того, какое положение системы условно принято за нулевое. Если за нулевое принять положение 0 (рис. 43 a), то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией $U=A_{10}$, равной работе консервативных сил при переходе системы из положения $l$ в положение 0 . Если же за нулевое принять положение $0^{\prime}$, то потенциальная энергия будет равна $U^{\prime}=A_{10}$. Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути $10^{\prime}$ равна работе вдоль пути $100^{\prime}: A_{10^{\prime}}=A_{10}+A_{00^{\prime}}$, или $U^{\prime}=U+A_{00^{\prime}}$. Работа $A_{00}$, постоянна, т. е. не зависит от координат системы в рассматриваемом состоянии 1 . Она полностью определяется выбором нулевых положений 0 и $0^{\prime}$. Мы видим, что при замене одного
Рис. 43

нулевого положения другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину. Неопределенность можно усилить еще больше, если условиться считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю, а какому-либо постоянному произвольному значению. Тогда в приведенном выше определении вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух положениях. Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого в нулевое положение. Таким образом, потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразиться на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от абсолютных значений самой потенциальной энергии, а лишь от ее разностей в различных состояниях. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят.

Пусть система перешла из положения $I$ в положение 2 по какому-либо пути 12 (рис. 43 б). Работу $A_{12}$, совершенную консервативными силами при таком переходе, можно выразить через потенциальные энергии $U_{1}$ и $U_{2}$ в состояниях $I$ и 2 . С этой целью вообразим, что переход осуществлен через нулевое положение 0 , т. е. по пути 102. Так как силы консервативны, то $A_{12}=A_{102}=$ $=A_{10}+A_{02}=A_{10}-A_{20}$. По определению потенциальной энергии $U_{1}=A_{10}+C, U_{2}=A_{20}+C$, где $C$ — одна и та же аддитивная постоянная. Таким образом,
\[
A_{12}=U_{1}-U_{2},
\]
т. е. работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.
2. Та же работа $A_{12}$, как было показано, может быть выражена через приращение кинетической энергии по формуле (22.9). Приравнивая выражения (22.9) и (25.1), получим $K_{2}-K_{1}=U_{1}-U_{2}$, откуда
\[
K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2} .
\]

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной энергией $E$. Таким образом, $E_{1}=E_{2}$, или
\[
E \equiv K+U=\text { const. }
\]

В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
3. Вычислим потенциальную энергию в некоторых простейших случаях.
a. Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести. Если материальная точка, находящаяся на высоте $h$, упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого $h=0)$, то сила тяжести совершит работу $A=m g h$. Поэтому на высоте $h$ материальная точка обладает потенциальной энергией $U=m g h+C$. За нулевой можно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная $C$ равна потенциальной энергии на нулевом уровне. Полагая ее равной нулю, получим
\[
U=m g h .
\]
б. Потенциальная энергия растянутой пружины. Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины. Ее называют упругой энергией. Обозначим через $x$ растяжение пружины, т. е. разность $x=l-l_{0}$ длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях. Упругая сила $F$ зависит только от растяжения. Если растяжение $x$ не очень велико, то сила пропорциональна ему: $F=k x$ (закон Гука, см. §11). При возращении пружины из деформированного в недеформированное состояние сила $F$ совершает работу
\[
A=\int_{0}^{x} F d x=k \int_{0}^{x} x d x=\frac{1}{2} k x^{2} .
\]

Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то
\[
U=\frac{1}{2} k x^{2} .
\]
в. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорциональна произведению их масс $M m$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
\[
F=G \frac{M m}{r^{2}},
\]

где $G$ — гравитационная постоянная. Силы гравитационного притяжения, как силы центральные, являются консервативными. Для них имеет смысл говорить о потенциальной энергии. При вычислении этой энергии одну из масс, например $M$, можно считать неподвижной, а другую — перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы $m$ из бесконечности гравитационные поля совершают работу
\[
A=\int_{r}^{\infty} G \frac{M m}{r^{2}} d r=G \frac{M m}{r},
\]

где $r$ — расстояние между массами $M$ и $m$ в конечном состоянии. Эта работа равна убыли потенциальной энергии:
\[
A=U_{\infty}-U(r) .
\]

Обычно потенциальную энергию в бесконечности $U_{\infty}$ принимают равной нулю. При таком соглашении
\[
U=-G \frac{M m}{r} .
\]

Величина (25.6) отрицательна. Это имеет простое объяснение. Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна.
4. Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными и гироскопическими силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил $A_{12}$ при переходе системы из положения $l$ в положение 2 по-прежнему равна приращению ее кинетической энергии $K_{2}-K_{1}$. Но в рассматриваемом случае эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил $A_{12}^{\text {кон }}$ и работы диссипативных сил $A_{12}^{\text {дис }}$. Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы: $A_{12}^{\text {кон }}=U_{1}-U_{2}$. Поэтому
\[
A_{12}=U_{1}-U_{2}+A_{12}^{\text {дис }} .
\]

Приравнивая это выражение приращению кинетической энергии, получим
\[
K_{2}-K_{1}=U_{1}-U_{2}+A_{12}^{\text {дис }},
\]

или
\[
E_{2}-E_{1}=A_{12}^{\text {дис }},
\]

где $E=K+U$ — полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом случае механическая энергия $E$ системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил $A_{12}^{\text {дис }}$ отрицательна.

Уравнение (25.7) можно обобщить. Разделим все действующие силы на две группы. $\mathrm{K}$ первой группе отнесем силы, учитываемые посредством потенциальной энергии $U$, ко второй — все остальные силы, как внутренние, так и внешние, действующие в системе. Обозначим через $A_{12}$ работу сил второй группы. Тогда, рассуждая так же, как и при выводе формулы (25.7), получим
\[
E_{2}-E_{1}=A_{12} .
\]
5. Допустим снова, что диссипативные силы в системе не действуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (25.2). Поскольку кинетическая энергия $K$ по своему смыслу не может быть отрицательной, из формулы (25.2) следует, что $E \geqslant U$. Этим соотношением определяется область изменения всех координат системы, в которой она может находиться при заданной полной энергии $E$. В область, где $U>E$, система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную.

Рассмотрим в качестве примера одномерное движение частицы, когда она движется вдоль определенной прямой линии. Примем эту линию за координатную ось $X$. На оси $X$ величина $U$ будет функцией только $x: \quad U=U(x)$. Если $E-$ полная энергия частицы, то частица может находиться только в тех местах оси $X$, где $U(x) \leqslant E$. Допустим, что график функции $U(x)$ имеет вид, изображенный на рис. 44. Проведем на этом рисунке горизонтальную прямую $U=E_{1}$, где $E_{1}-$ каРис. 44 кая-то постоянная. Пусть эта прямая пересекает «потенциальную кривую» $U=U(x)$ в трех точках $A, B, C$ с координатами $x_{A}, x_{B}, x_{C}$. Сразу видно, что частица с полной энергией $E_{1}$ не может находиться в областях I и III. Она может двигаться либо в области II, либо в области IV. Переходить из области II в область IV или обратно частица не может. Этому препятствует «потенциальный барьер» $B N C$ на потенциальной кривой. В области II частица с полной энергией $E_{1}$ будет совершать так называемое финитное движение, т. е. движение, происходящее в ограниченной части пространства. Она окажется запертой в «потенциальной яме» $A M B$ и будет совершать колебания между крайними точками $x_{A}$ и $x_{B}$, называемыми точками поворота. Если же частица находится в области IV и движется налево, то она, достигнув точки $x_{C}$, повернет обратно и далее будет «уходить на бесконечность». Такое движение называется инфинитным. Пусть теперь частица обладает большей энергией $E_{2}>E_{1}$, и горизонтальная прямая $U=E_{2}$ пересекает потенциальную кривую в единственной точке $D$ с абсциссой $x_{D}$. Тогда для частицы окажется доступной вся область пространства правее точки $x_{D}$, и движение в этой области будет инфинитным.

Допустим, что потенциальная яма имеет характер кривой, изображенной на рис. 45. По обе стороны от точки $M$ обе ветви потенциальной кривой монотонно поднимаются вверх. Пусть при $x= \pm \infty$ функция $U(x)$ обращается в нуль, т. е. ось абсцисс является для потенциальной кривой асимптотой. Тогда можно утверждать, что движение частицы будет финитным, если ее полная энергия отрицательна, и инфинитным, если она положительна.

Для уяснения качественного характера движения частицы в силовом поле с потенциальной энергией $U(x)$ полезна следующая иллюстрация. Изготовим идеально твердую и идеально гладкую дорожку, форма которой точно совпадает с профилем потенциальной кривой $U=U(x)$ (например, кривой, изображенной на рис. 44). Поместим такую дорожку в однородном поле тяжести и положим на нее на некоторой высоте маленький шарик. Тогда движение шарика под действие силы тяжести будет почти точно воспроизводить движение материальной точки в рассматриваемом силовом поле $U=U(x)$, если только надлежащим образом подобрать ее полную энергию. Некоторая неточность иллюстрации связана с тем, что при движении шарика по дорожке возникает вращение, на что расходуется часть энергии. Иллюстрация совершенно точно передавала бы все черты искомого движения, если бы шарик не катился по дорожке, а скользил по ней без трения. Если такой шарик поместить без начальной скорости в точку $A$ (рис. 44), то он будет совершать колебания по дуге $A M B$ между крайними точками $A$ и $B$. Если его поместить в точку $D$, то он сможет преодолеть потенциальный барьер $B N C$ и «уйти на бесконечность».
6. Для финитных движений справедлива так называемая теорема вириaла, имеющая многочисленные применения в различных отделах физики. Она была сформулирована и доказана немецким физиком Рудольфом Клаузиусом ( $1822-1888$ ). Для произвольной системы материальных точек можно написать
\[
\frac{d}{d t} \sum \mathrm{pr}=\sum \mathbf{r F}+\sum \mathbf{p v},
\]

так как $\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F}, \dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}$ (суммирование ведется по всем материальным точкам системы). Последнее слагаемое в правой части есть удвоенная кинетическая энергия системы: $2 K=\sum \mathbf{p v}=\sum m v^{2}$, и предыдущее соотношение можно переписать в виде
\[
K=-\frac{1}{2} \sum \mathbf{r F}+\frac{d}{d t} \sum \frac{1}{2}(\mathbf{p r}) .
\]

Величина $-\frac{1}{2} \sum \mathbf{r F}$ называется вириалом сил, действующих в системе.
Назовем средним по времени значением функции $f(t)$ на временном интервале $(t, t+T)$ величину, определяемую выражением
\[
\overline{(t)}=\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Если функция $f(t)$ периодична, то в качестве времени $T$ обычно берут ее период. Если же $f(t)$ не периодична, но ограничена, то время $T$ берут достаточно большим и переходят к пределу
\[
\bar{f}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

предполагая, конечно, что предел существует. Если $f(t)$ есть производная ограниченной функции по времени; $f=\frac{d \varphi}{d t}$, то $\bar{f}=0$. Действительно,
\[
\bar{f}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} \frac{d \varphi}{d t^{\prime}} d t^{\prime}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\varphi(t+T)-\varphi(t)}{T} .
\]

Имея это в виду, усредним соотношение (25.9) по времени, устремляя $T$ к бесконечности. Тогда для финитного движения последнее слагаемое в (25.9) даст нуль, и мы получим
\[
\bar{K}=-\frac{1}{2} \overline{\sum \mathrm{rF}} .
\]

В случае финитных движений среднее по времени значение кинетической энергии системы равно среднему по времени значению вириала сил, действующих в системе. Это и есть теорема вириала Клаузиуса.
ЗАДАЧИ
1. Определить отношение потенциальных энергий деформации $U_{1}$ и $U_{2}$ двух пружин с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ в двух случаях: а) пружины соединены последовательно и растягиваются грузом $P$ (рис. 46 a); б) пружины висят параллельно, причем груз $P$ подвешен в такой точке, что обе пружины растягиваются на одну и ту же величину (рис. 46 б). Деформацией пружин под действием собственного веса пренебречь.
Oтвет:
a) $U_{1} / U_{2}=k_{2} / k_{1}$
$U_{1} / U_{2}=k_{1} / k_{2}$.
Когда одна из пружин очень жесткая по сравнению с другой, практически вся потенциальная энергия в случае а) будет запасена в более мягкой, а в случае б) — в более Рис. 46 жесткой пружинах.
Рис. 46
2. Два протона с энергией $E=0,5$ МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают лобовое столкновение. Как близко они могут сойтись, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними?

Ответ. $r=e^{2} / 2 E$, где $e-$ заряд протона. Для вычислений формулу целесообразно преобразовать, положив $E=e V$. Тогда $r=e / 2 V=$ $=1,4 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm}\left(2 V=10^{6} \mathrm{~B}\right)$. Опыты по рассеянию ядерных частиц показали, что радиус действия ядерных сил по порядку величины равен $10^{-13} \mathrm{~cm}$. Поэтому при расчете столкновения протонов, энергии которых превосходят примерно $0,5 \mathrm{M}$, помимо электростатических сил надо учитывать также ядерные силы.
3. Три электрона в состоянии покоя находятся в вершинах правильного треугольника со стороной $a=1 \mathrm{~cm}$. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей.
Ответ. $v=\sqrt{2 e^{2} / m a}=2,2 \cdot 10^{4} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
4. Решить задачу 3 для релятивистских скоростей. При каких расстояниях $a$ можно пользоваться нерелятивистским приближением?
\[
\text { Ответ. } v=c \frac{\sqrt{2 m_{0} c^{2} e^{2} / a+e^{4} / a^{2}}}{m_{0} c^{2}+e^{2} / a} .
\]

Нерелятивистское приближение справедливо при
\[
a \gg \frac{e^{2}}{m_{0} c^{2}}=2,8 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm} .
\]
5. Исходя из того требования, что произведение импульса частицы $m v$ на расстояние $a$ велико по сравнению с $L$, определить, при каких расстояниях $a$ в задаче 3 квантовые поправки не играют роли.
Ответ. При $a \gg \frac{h^{2}}{2 m e^{2}} \approx 10^{-7} \mathrm{~cm}$.
6. Четыре электрона в состоянии покоя находятся в вершине квадрата со стороной $a=1$ см. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей.
Ответ. $v=\sqrt{\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{e^{2}}{m a}}=2,6 \cdot 10^{4} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
7. Материальная точка совершает одномерное финитное движение в потенциальном силовом поле между точками поворота $x_{A}$ и $x_{B}$ (см. рис. 45). Показать, что время движения ее от точки $x_{A}$ к точке $x_{B}$ равно времени обратного движения от точки $x_{B}$ к точке $x_{A}$.
8. Материальная точка (например, шарик на пружине) под действием квазиупугой силы $F=-k x$ совершает колебания вдоль оси $X$ вокруг положения равновесия. Пользуясь теоремой вириала, показать, что средние по времени значения кинетической и потенциальной энергий при таком колебании одинаковы.
9. Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в однородном поле тяжести, отражаясь от поля по законам упругого удара. Найти связь между средними по времени значениями его кинетической $\bar{K}$ и потенциальной $\bar{U}$ энергий.

Решение. Поместим начало координат в одной из точек пола, направив ось $X$ вертикально вверх. Тогда сила давления пола на шарик не будет влиять на значение вириала, так как она действует только в таких положениях шарика, когда $x=0$. Надо учитывать только силу тяжести $F=-m g$ (минус потому, что сила $F$ действует вниз, т. е. в отрицательном направлении оси $X$ ). Вириал этой силы равен $-1 / 2 F x=1 / 2 m g x=1 / 2 U$. По теореме вириала находим
\[
\bar{K}=\frac{1}{2} \bar{U}
\]