Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Векторное уравнение движения материальной точки (11.3) можно записать в координатной форме: Одно векторное уравнение (11.3) эквивалентно трем числовым уравнениям (14.1). Все эти уравнения являются дифференциальными, а потому их недостаточно для однозначного определения движения материальной точки. Каждое из них есть уравнение второго порядка. (Порядок дифференциального уравнения определяется производной высшего порядка, входящей в это уравнение). По этой причине для однозначного определения движения точки к уравнениям движения надо присоединить дополнительные данные, определяющие значения двух векторных или шести числовых постоянных. В качестве таковых обычно берут значения радиуса-вектора $\mathbf{r}$ и скорости $\mathbf{v}$ или каких-либо двух функций их в момент времени $t=0$. Эти значения называются начальными условиями. Выясним этот вопрос на примере свободного движения материальной точки в поле тяжести Земли. На тело в поле тяжести Земли действует сила $\mathbf{F}=m \mathbf{g}$, а потому уравнение движения (11.8) переходит в уравнение Мы пренебрегли всеми силами и учли только силу тяжести. Зависимостью $g$ от географической широты и высоты над земной поверхностью также будем пренебрегать. Итак, ускорение $g$ будем считать постоянным. Уравнение (14.2) эквивалентно двум уравнениям: Простым дифференцированием нетрудно убедиться, что этим уравнениям удовлетворяют следующие решения: при произвольных значениях постоянных векторов $\mathbf{r}_{0}$ и $\mathbf{v}_{0}$. Решение (14.4) является общим. Это значит, что любое решение уравнения (14.2) может быть представлено в виде (14.4). Общее решение это, в сущности, не одно решение, а целое семейство решений, зависящее от двух произвольных векторных постоянных $\mathbf{r}_{0}$ и $\mathbf{v}_{0}$. Придавая этим постоянным какие-либо конкретные значения, мы выделяем из этого семейства определенное частное решение. Постоянная $\mathbf{v}_{0}$ есть начальная скорость движущейся точки, $\mathbf{r}_{0}$ радиус-вектор ее в начальный момент времени. В этом легко убедиться, если с помощью формул (14.4) найти значения $\mathbf{v}$ и $\mathbf{r}$ при $t=0$. Постоянные $\mathbf{r}_{0}$ и $\mathbf{v}_{0}$ нельзя определить из дифференциального уравнения движения (14.2), так как при любых значениях этих постоянных выражения (14.4) являются решениями этого уравнения. Величины $\mathbf{r}_{0}$ и $\mathbf{v}_{0}$ определяются начальными условиями. В зависимости от значений $\mathbf{r}_{0}$ и $\mathbf{v}_{0}$ движения могут сильно отличаться друг от друга. Тело может подниматься вверх или опускаться вниз по прямой линии; оно может описывать параболу, достигая или не достигая ее вершины; дуга параболы может быть изогнута сильнее или Решение. Точку земной поверхности, откуда брошено тело, примем за начало координат ( $\mathbf{r}_{0}=0$ ). Тогда, как видно из (14.4), движение будет происходить в вертикальной плоскости, в которой лежат векторы $\mathbf{g}$ и $\mathbf{v}_{0}$. Примем ее за координатную плоскость $X Y$, направив ось $X$ горизонтально в сторону движения, а ось $Y$ — вертикально вверх. Запишем уравнение (14.4) в проекциях на координатные оси, Исключая из последних двух уравнений время $t$, найдем уравнение траектории Это уравнение параболы. Отсюда находим дальность полета и максимальную высоту поднятия Максимальная дальность достигается при $\alpha=45^{\circ}$ и равна
|
1 |
Оглавление
|