1. Понятие массы было введено нами с помощью закона сохранения импульса. В основе этого понятия лежат инерционные свойства тел. Поэтому так определенную массу называют инертной массой и иногда обозначают через $m^{(i)}$. Однако тела обладают не только свойствами инериии, но и способностью возбуждать в окружающем пространстве гравитационные поля. В этом отношении они аналогичны электрически заряженным телам, создающим вокруг себя электрическое поле. Инерция тел и их способность возбуждать в окружающем пространстве гравитационные поля не должны априори рассматриваться как взаимосвязанные и тем более тождественные свойства тел. Можно думать, что тела являются источниками гравитационных полей не потому, что они обладают инертными массами, а потому, что они несут особые заряды, аналогичные электрическим зарядам. Такие заряды называются гравитационными зарядами или гравитационными массами. Силь взаимодействия гравитационных масс, как показывает опыт, изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для количественного определения гравитационных масс можно поступить так же, как поступают с электрическими зарядами в электростатике. Именно, обозначим гравитационные массы взаимодействующих точечных тел через $m_{1}^{(g)}$ и $m_{2}^{(g)}$. Тогда для силы их гравитационного притяжения можно написать
\[
F=C \frac{m_{1}^{(g)} m_{2}^{(g)}}{r^{2}},
\]

где $C$ – числовой коэффициент, зависящий только от выбора единиц. Этому коэффициенту можно приписать произвольную размерность и произвольное числовое значение. Тогда, считая единицы для $r$ и $F$ установленными, мы установим также единицу гравитационной массы и ее размерность, а формула (70.1) даст принципиальный способ измерения гравитационных масс.

Пропорциональность силы гравитационного взаимодействия тел их гравитационным массам не является физическим законом. Мы так вводим понятие гравитационной массы, что указанная пропорциональность соблюдается по определению. Физический закон, установленный Ньютоном, состоит в том, что сила гравитационного взаимодействия тел пропорциональна их инертным массам. Отсюда следует, что инертная масса тела пропорииональна его гравитационной массе. Единицы этих масс можно выбрать так, чтобы они были не только пропорциональны, но и численно равны между собой. Поэтому этот фундаментальный физический закон называется законом равенства или эквивалентности инертной и гравитационной масс. Посмотрим, каковы его опытные основания и физические следствия.
2. Рассмотрим сначала свободное падение тел в поле тяжести Земли. По второму закону Ньютона $m^{(i)} \mathbf{a}=\mathbf{F}$, где $\mathbf{F}-$ сила тяжести. По смыслу под $m^{(i)}$ следует понимать инертную массу тела. Сила же тяжести может быть представлена в виде $\mathbf{F}=m^{(g)} \mathbf{g}$, где $m^{(g)}$ – гравитационная масса того же тела. Заметим, что сейчас мы рассматриваем движение относительно инерциальной системы отсчета и поэтому не вводим никаких сил инерции. Все силы являются «реальными» в ньютоновском смысле. В частности, сила тяжести $\mathbf{F}$ в нашем теперешнем рассмотрении есть сила только гравитационного притяжения между телом и Землей (центробежная сила в нее не входит). Второй закон Ньютона дает $m^{(i)} \mathbf{a}=m^{(g)} \mathbf{g}$, откуда
\[
\mathbf{a}=\frac{m^{(g)}}{m^{(t)}} \mathbf{g} .
\]

Так как инертная и гравитационная массы равны, то $\mathbf{a}=\mathbf{g}$. Все тела в поле тяжести падают с одним и тем же ускорением. Это экспериментальный факт, установленный впервые Галилеем, является подтверждением закона о равенстве инертной и гравитационной масс. Он справедлив и для любого гравитационного поля. $B$ одном и том же гравитационном поле все тела при свободном падении приобретают одинаковое ускорение. Этим положением под названием обобщенного закона Галилея мы широко пользовались, начиная с § 65. Мы видим, что обобщенный закон Галилея по своему содержанию совершенно эквивалентен принципу равенства инертной и гравитационной масс.

Опыты Галилея имели малую точность. Значительно большей точности достигли Ньютон, а затем Бессель (1784-1846) в опытах с колебаниями маятника. Для периода малых колебаний математического маятника мы вывели формулу
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

Если бы инертная и гравитационная массы не были равны между собой, то в этой формуле величину $g$ следовало бы заменить на ускорение $a$, определяемое выражением (70.2). Тогда мы получили бы
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g} \frac{m^{(t)}}{m^{(g)}}} .
\]

Только при $m^{(i)}=m^{(g)}$ формула (70.4) переходит в формулу (70.3). В опытах Ньютона и Бесселя было установлено, что период колебаний математического маятника не зависит от материала, из которого он изготовлен. Это подтверждает закон равенства инертной и гравитационной масс. Относительная точность, с какой это равенство было установлено в опытах Бесселя, составляет 1/60 000.
3. Однако рекордными по точности долгое время оставались исследования венгерского физика Роланда Этвеша (1848-1919), начатые в 1887 г. и продолжавшиеся до конца его жизни. Этвеш установил равенство инертной и гравитационной масс с относительной точностью $5 \cdot 10^{-9}$. По сравнению с опытами Ньютона точность была повышена примерно в сто тысяч, а по сравнению с опытами Фридриха Бесселя (1784-1846) – более чем в десять тысяч раз. Идея опытов Этнеша заключается в следующем. Вес тела складывается из двух различных сил: силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции. Первая сила пропорциональна гравитационной массе, вторая равна $m^{(i)} \omega^{2} \mathbf{r}_{\perp}$, т. е. пропорциональна инертной массе $m^{(i)}$. Если бы инертная и гравитационная массы не были строго пропорциональны друг другу, то направление отвеса зависело бы от материала тела. Опыты Этвеша имели целью обнаружение этого эффекта. С указанной выше точностью они привели к отрицательному результату, что является доказательством справедливости закона равенства инертной и гравитационной масс. Чтобы достигнуть такой точности, надо было оценивать изменения направления отвеса в $1,5 \cdot 10^{-6}$ дуговой секунды. Под таким углом был бы виден земному наблюдателю предмет в 3 мм, лежащий на поверхности Луны. Такой точности Этвешу и его сотрудникам удалось достигнуть при помощи крутильных весов и гравитационных вариометров. Хотя основные опыты были выполнены с гравитационными вариометрами, но мы опишем (конечно, схематически) опыты с крутильными весами, так как в идейном отношении они более просты.

На длинной тонкой нити подвешивался стержень, к концам которого можно было прикреплять грузы 1 и 2 (рис. 194 б), изготовленные из различных материалов, например из платины и меди. Стержень устанавливался перпендикулярно к меридиану рассматриваемого места. Пусть $\mathbf{g}$ означает напряженность земного гравитациРис. 194

онного поля, т. е. силу, с которой это поле действует на единицу гравитационной массы. На груз будут действовать две силы: гравитационная $m^{(g)} \mathbf{g}$ и центробежная $m^{(i)} \omega^{2} \mathbf{r}_{\perp}$. Последняя имеет вертикальную составляющую $m^{(i)} \omega^{2} \mathbf{r}_{\perp} \cos \vartheta$ (рис. 194 a), где $\vartheta-$ географическая широта рассматриваемого места. Поэтому если стержень (рычаг) равноплечий, то одно из условий равновесия грузов будет
\[
m_{1}^{(g)} g-m_{\mathrm{I}}^{(i)} \omega^{2} r_{\perp} \cos \vartheta=m_{2}^{(g)} g-m_{2}^{(i)} \omega^{2} r_{\perp} \cos \vartheta,
\]

или
\[
m_{1}^{(i)}\left(\alpha_{1} g-\omega^{2} r_{\perp} \cos \vartheta\right)=m_{2}^{(i)}\left(\alpha_{2} g-\omega^{2} r_{\perp} \cos \vartheta\right),
\]

где $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ – отношение гравитационных масс к инертным для грузов 1 и 2 соответственно. Если бы $\alpha_{1}
eq \alpha_{2}$, то из полученного соотношения следовало бы, что $m_{1}^{(i)}
eq m_{2}^{(i)}$. В этом случае центробежные силы, действующие на грузы, а с ними и их горизонтальные составляющие, направленные к югу (рис. 194 б и в), не были бы одинаковыми; появился бы вращающий момент
\[
M_{1}=\left(m_{1}^{(i)}-m_{2}^{(i)}\right) \frac{l}{2} \omega^{2} r_{\perp} \sin \vartheta
\]
( $l$ – длина стержня), стремящийся закрутить нить. В состоянии равновесия угол кручения $\varphi_{1}=(1 / f) M_{1}$, где $f$ – модуль кручения. Если весь прибор повернуть на $180^{\circ}$, т. е. перейти из положения б в положение в (рис. 194), то вращающий момент и угол кручения изменят знаки ( $M_{2}=-M_{1}, \varphi_{2}=-\varphi_{1}$ ). При этом нить закрутится на угол $\varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}=-(2 / f) M_{1}$. Опыт Этвеша привел к отрицательному результату, т. е. он показал, что $\varphi=0$, каковы бы ни были материалы, из которых изготовлены грузы. Следовательно, $\alpha_{1}=\alpha_{2}$, что и доказывает равенство инертной и гравитационной масс.
4. Одним из фундаментальных следствий теории относительности яоляется связь между энергией и массой $E=m c^{2}$. Здесь $m$ означает инертную массу. Таким образом, всякая энергия обладает инертной массой. Закон эквивалентности инертной и гравитационной масс позволяет распространить это утверждение и на гравитационную массу. Всякая энергия должна обладать также и гравитационной массой. Высокая чувствительность опыта Этвеша позволила подвергнуть это заключение экспериментальной проверке. С этой целью Саузернс повторил опыт Этвеша с радиоактивными веществами. Опыт дал тот же результат: никакого различия между гравитационной и инертной массами обнаружено не было. Так как при радиоактивных превращениях энергия и инертная масса уменьшаются, то отсюда следует, что пропорционально уменьшается также и гравитационная масса. Таким образом, равенство инертной и гравитационной масс все время соблюдается.
5. Опыт Этвеша в усовершенствованном виде был повторен американским физиком Робертом Дикке (р. 1916) и его сотрудниками в 1961-1964 гг. Им удалось повысить точность результатов Этвеша более чем в 100 раз. Сравнивались грузы из меди и свинца, из золота и алюминия. С относительной точностью $3 \cdot 10^{-11}$ авторы констатировали равенство коэффициентов пропорциональности между гравитационной и инертной массами для этих материалов.

В идейном отношении опыт Дикке проще опыта Этвеша. В опыте Этвеша речь шла об эффектах, определяющихся совокупным действием гравитационного притяжения Земли и сил инерции, возникающих из-за ее осевого вращения. В опытах Дикке вместо Земли использовалось Солнце. Сравниваемые грузы 1 и 2 по-прежнему закреплялись на концах прямолинейного коромысла, подвешенного на тонкой нити (рис. 195 a). Для максимального уменьшения влияния посторонних возмущающих факторов это устройство помещалось в сосуд с высоким вакуумом. Прибор устанавливался в глубокой термостатированной шахте, удаленной от зданий. После установки прибора шахта запечатывалась, а прибор контролировался дистанционно из удаленной приборной будки на протяжении нескольких месяцев подряд.

Сила гравитационного притяжения Земли и центробежная сила, возникающая из-за вращения Земли вокруг своего центра, в опытах Дикке принципиальной роли не играют. От этих сил можно отвлечься. Они в рассматриваемой точке земного шара постоянны и определяют лишь положение равновесия, в котором стремится установиться коромысло. Для опыта имеют значение сила гравитационного притяжения Солнца и поступательная сила инерции, связанная с ускоренным движением центра Земли по направлению к Солнцу (влиянием Луны можно пренебречь). Обозначим это ускорение через а. По самому определению гравитационной массы сила гравитационного притяжения Солнца, отнесенная к единице такой массы, для всех тел одна и та же. Это есть напряженность гравитационного поля Солнца, зависящая только от самого Солнца. Обозначим ее через g. Но если бы нарушался закон эквивалентности инертной и гравитационной масс, то сила гравитационного притяжения Солнца, отнесенная к единице инертной массы, была бы разной для различных тел. В этом случае возник бы вра-
Рис. 195

щающийся момент, стремящийся закрутить нить, на которой подвешено коромысло. Если $h_{1}$ и $h_{2}$ – плечи коромысла, а последнее подвешено за центр масс $C$ (рис. $195 \mathrm{a}$ ), то вращающий момент относительно точки $C$ будет
\[
M=\left(m_{1}^{(g)} g-m_{1}^{(i)} a\right) h_{1}+\left(m_{2}^{(i)} a-m_{2}^{(g)} g\right) h_{2} .
\]

По определению центра масс (точнее, следовало бы сказать центра инертных масс) $m_{1}^{(i)} h_{1}=m_{2}^{(i)} h_{2}$. Поэтому, используя ранее введенные обозначения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, получим
\[
M=m_{1}^{(i)} h_{1} g \alpha_{1}-m_{2}^{(i)} h_{2} g \alpha_{2}=m_{1}^{(i)} h_{1} g\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) .
\]

Плечи коромысла периодически меняются из-за видимого движения Солнца по небесному своду. Поэтому момент $M$ также будет периодически изменяться и притом с периодом в одни сутки. В результате возникли бы вынужденные колебания коромысла с таким же периодом, которые можно было бы обнаружить с помощью чувствительной аппаратуры. На фоне неизбежных случайных толчков, которым подвержена система, такие колебания обнаружены не были. Отсюда следует, что в пределах ошибок измерений $\alpha_{1}=\alpha_{2}$, т. е. соблюдается закон эквивалентности.
6. Опыт Дикке был повторен в усовершенствованном виде В. Б. Брагинским и В. И. Пановым в 1971 г. Вместо одного коромысла применялся крутильный маятник, эквивалентный четырем коромыслам, соединенным вместе, как указано на рис. 195 б. Точность опыта была повышена еще примерно в 30 раз. Сравнивались платина и алюминий. Равенство коэффициентов пропорциональности между гравитационной и инертной массами для этих веществ было подтверждено с относительной точностью $10^{-12}$. Это то же самое, как если бы мы взвесили корабль водоизмещением в десять тысяч тонн вместе с грузом с точностью до одной сотой грамма.
7. Дорелятивистская физика не придавала существенного значения равенству инертной и гравитационной масс, рассматривая это равенство как случайное совпадение. Основополагающее значение закона эквивалентности инертной и гравитационной масс было принято Эйнштейном. Закон эквивалентности послужил для Эйнштейна отправным пунктом при построении общей теории относительности, называемой иначе релятивистской теорией гравитации. Этот закон является главным опытным фактом, на котором основана общая теория относительности. Последняя была бы неверна и от нее следовало бы отказаться, если бы было обнаружено малейшее нарушение закона эквивалентности инертной и гравитационной масс. Вот почему повышение и без того исключительной точности, с которой проверяется этот закон, имеет важное принципиальное значение, а не является просто спортивным увлечением с целью побития рекорда и установления нового.