1. Все движения жидкостей подразделяются на потенциальные и вихревые. Рассмотрим поле скоростей жидкости $\mathbf{v}(\mathbf{r})$ в какой-то фиксированный момент времени. Возьмем в жидкости произвольный замкнутый контур $C$ и на нем установим положительное направление обхода (рис. 267). Пусть т – единичный вектор касательной, а $d$ s – элемент длины контура, проведенные в положительном направлении. Интеграл
\[
\Gamma=\oint_{C} v_{\tau} d s=\oint_{C}(\mathbf{v} d \mathbf{s})
\]

называется циркуляиией вектора скорости по контуру $C$. Если циркуляция скорости по любоРис. 267 му замкнутому контуру обращается в нуль, то движение жидкости называется потенциальным. В противном случае движение называется вихревым.

При этом предполагается, что область пространства, в которой течет жидкость, односвязна. Это значит, что любой замкнутый контур в такой области непрерывной деформацией может быть стянут в точку, не пересекая при этом обтекаемые тела. Если же область не односвязна (например, жидкость, обтекающая тор), то приведенные определения необходимо дополнить следующими замечаниями. В качестве $C$ следует брать не все контуры, а только произвольные замкнутые контуры, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку, не выходя при этом за границы жидкости. Важным случаем может служить так называемое плоское течение, являющееся идеализацией действительных течений. Пусть обтекаемое тело является бесконечно длинным цилиндром с произвольным поперечным сечением, а жидкость течет перпендикулярно к оси Рис. 268 этого цилиндра. Тогда достаточно ограничиться рассмотрением течения в одной из плоскостей, перпендикулярных к той же оси. Течение в этой плоскости и называется плоским. Оно будет потенциальным, если циркуляция скорости обращается в нуль по любому замкнутому контуру, не охватывающему обтекаемый цилиндр, например контур $C_{1}$ (рис. 268). Но циркуляция по контуру $C$, окружающему цилиндр, может и не обращаться в нуль. Нетрудно показать, что при потенциальном течении циркуляция Г будет одной и той же для всех замкнутых контуров, обходящих вокруг цилиндра один раз. Если $\Gamma
eq 0$, то говорят о потенциальном течении с циркуляцией.
2. Определение потенциального течения совершенно аналогично определению консервативных сил (см. § 24). Поэтому при потенциальном течении линейный интеграл $\int_{A B}(\mathbf{v} d \mathbf{s})$, взятый вдоль незамкнутой кривой, соединяющей точки $A$ и $B$, зависит только от положения крайних точек этой кривой $A$ и $B$, но не зависит от формы самой кривой $A B$. Рассуждая так же, как в случае потенциальной энергии, можно ввести функцию координат $\varphi$, через которую скорость $\mathbf{v}$ выражается формулой
\[
\mathbf{v}=\operatorname{grad} \varphi
\]
(см. § 29). Функция $\varphi$ называется потенциалом скоростей.
Примером потенциального течения может служить течение жидкости вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью. Можно показать, что всякое течение идеальной жидкости, возникшее из состояния покоя под действием консервативных сил, является потенциальным.
3. Примером вихревого движения может служить плоское течение жидкости, когда частицы последней вращаются по концентрическим окружностям с одной и той же угловой скоростью $\omega$ (рис. 269). Циркуляция скорости по окружности радиуса $r$ в этом случае равна $\Gamma=2 \pi r v=2 \pi r^{2} \omega$, ее отношение к площади контура $\pi r^{2}$ будет $\Gamma /\left(\pi r^{2}\right)=2 \omega$, т. е. не зависит от радиуса $r$. Если угловая скорость вращения зависит от радиуса $r$, то вместо отношения $\Gamma /\left(\pi r^{2}\right)$ берут его предел при $r \rightarrow 0$. Ясно, что этот предел равен удвоенному значению угловой скорости, с которой вращаются частицы жидкости вблизи оси $O$. Этот предел называется вихрем или ротором скорости $\mathbf{v}$, точнее, проекцией ротора на направление, перРис. 269 пендикулярное к плоскости контура. Вообще, для произвольного движения ротор скорости $\mathbf{v}$ определяется своими проекциями на произвольное направление следующим образом. Берется произвольный бесконечно малый контур с площадью $\Delta S$ и внешней нормалью $\mathbf{n}$. Проекция вектора $\operatorname{rot} \mathbf{v}$ на направление нормали $\mathbf{n}$ определяется соотношением
\[
\operatorname{rot}_{n} \mathbf{v}=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Gamma}{\Delta S},
\]

где $\Gamma$ – циркуляция вектора $\mathbf{v}$ вдоль рассматриваемого контура.
4. В качестве второго примера рассмотрим плоское течение жидкости параллельно оси $X$, когда скорость потока меняется в поперечном направлении по линейному закону $v_{x}=a y$ (рис. 270). Чтобы убедиться в вихревом характере течения, возьмем прямоугольный контур $A B C D$ со сторонами, параллельными координатным осям. Циркуляция скорости по этому контуру будет
\[
\Gamma=\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(v_{1}-v_{2}\right)=-a\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right) .
\]

Ее отношение к площади контура $\Delta S=\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)$, или ротор скорости $\mathbf{v}$ будет
\[
\operatorname{rot}_{z} \mathbf{v}=-a,
\]

или
\[
\operatorname{rot}_{z} \mathbf{v}=-\frac{\partial v_{x}}{\partial y} .
\]

Если $v_{x}$ меняется с координатой $y$ не по линейному закону, а произвольно, то формула (102.4) остается верной, однако $\operatorname{rot}_{z} \mathbf{v}$ становится функцией координаты $y$.

Заметим еще, что в разбираемом примере скорость $\mathbf{v}$ можно представить в виде векторной суммы двух векторов $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ с компонентами
\[
\begin{array}{c}
v_{1 x}=\frac{v_{x}}{2}=\frac{a}{2} y, \quad v_{2 x}=\frac{v_{x}}{2}=\frac{a}{2} y, \\
v_{1 y}=-\frac{a}{2} x, v_{2 y}=\frac{a}{2} x .
\end{array}
\]

Вектор $\mathbf{v}_{1}$ представляется векторным произведением
\[
\mathbf{v}_{1}=-\frac{a}{2}[\mathbf{k r}]=\frac{a}{2} \boldsymbol{y i}-\frac{a}{2} x \mathbf{j} .
\]

Поэтому движение со скоростью $\mathbf{v}_{1}$ может быть интерпретировано как вращение вокруг оси $Z$ с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}=-\frac{a}{2} \mathbf{k}$. Компоненты же вектора $\mathbf{v}_{2}$ могут быть получены из потенциала скорости $\varphi=\frac{a}{2} x y$ по формулам
\[
v_{2 x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad v_{2 y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y} .
\]

Значит, движение со скоростью $\mathbf{v}_{2}$ является потенциальным. Можно в общем виде показать, что произвольное движение жидкости можно разложить на вращение и потенциальное течение, причем угловая скорость вращения и ее направление в Рис. 270 пространстве могут непрерывно меняться от точки к точке.

Тангенциальный разрыв может рассматриваться как пример вихревого течения. В вихревом характере движения в этом случае можно убедиться совершенно так же, как при разборе последнего примера. Распадаясь, тангенциальный разрыв переходит в вихревое турбулентное движение.