1. Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволиней-
Рис. 7
ной траектории. Положение движущейся точки на траектории мы будем задавать радиусом-вектором $\mathbf{r}$, проведенным в эту точку из какой-либо неподвижной точки $O$, условно принимаемой за начало координат (рис. 7). Пусть в момент времени $t$ материальная точка находится в положении $M$ с радиусом-вектором $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t) . \quad$ Спустя короткое время $\Delta t$ она переместится в положение $M_{1}$ с радиусом-вектором $\mathbf{r}_{1}=\mathbf{r}(t+\Delta t)$. Радиус-вектор материальной точки получит приращение, определяемое геометрической разностью

$\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}$. Величина
\[
\mathbf{v}_{\mathrm{cp}}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}
\]

называется средней скоростью движения за время $\Delta t$ или, точнее, за время между $t$ и $t+\Delta t$. Она является величиной векторной, так как получается делением вектора $\Delta \mathbf{r}$ на скаляр $\Delta t$. Направление средней скорости $\mathbf{v}_{\mathrm{cp}}$ совпадает с направлением хорды $M M_{1}$, т. е. с $\Delta \mathbf{r}$.

Предел средней скорости при $\Delta t \rightarrow 0$, т. е. производная радиусавектора $\mathbf{r}$ по времени
\[
\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\lim _{\Delta t=0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}
\]

называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки. Истинная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движущейся точки.

Совершенно аналогично определяется ускорение при криволинейном движении. Ускорением а называется вектор, равный первой производной вектора скорости $\mathbf{\mathbf { v }}$ или второй производной радиуса-вектора $\mathbf{r}$ по времени:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}(t)=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\lim _{\Delta t=0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}, \\
\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{r}}(t)=\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}} .
\end{array}
\]
2. Отметим следующую формальную аналогию между скоростью и ускорением. Из произвольной неподвижной точки $O_{1}$ будем откладывать вектор скорости $\mathbf{v}$ движущейся точки во всевозможные моменты времени (рис. 8). Конец вектора $\mathbf{v}$ назовем скоростной точкой. Геометрическое место скоростных точек есть кривая, называемая годографом скорости. Когда материальная точка описывает траекторию, соответствующая ей скоростная точка движется по годографу. Рисунок 8 отличается от рис. 7 только обозначениями. Радиусвектор $\mathbf{r}$ заменен на вектор скорости $\mathbf{v}$, материальная точка – на скоростную точку, траектория – на годограф. МаРис. 8 тематические операции над вектором $\mathbf{r}$ при нахождении скорости и над вектором $\mathbf{v}$ при нахождении ускорения совершенно тождественны. Для математики безразлично, какой физический смысл имеют величины, над которыми выполняются математические операции. Не имеет значение также, какими символами эти величины обозначены. Для нахождения скорости $\mathbf{v}$ надо дифференцировать радиус-вектор $\mathbf{r}$, для нахождения ускорения надо дифференцировать вектор скорости v. Скорость v направлена по касательной к траектории. Поэтому ускорение а будет направлено по касательной к годографу скорости. Можно сказать, что ускорение есть скорость движения скоростной точки по годографу. Следовательно, все соотношения и теоремы, полученные для скорости, остаются справедливыми и для ускорения, если в них произвести замену величины и терминов согласно следующей таблице:
\begin{tabular}{ll}
Материальная точка & $\rightarrow$ Скоростная точка \\
Радиус-вектор & $\rightarrow$ Вектор скорости \\
Траектория & $\rightarrow$ Годограф \\
Скорость & $\rightarrow$ Ускорение
\end{tabular}
3. В качестве простейшего примера найдем ускорение точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса $r$ (рис. 9a). Скорость $\mathbf{v}$ направлена по касательной к окружности, ее модуль определяется выражением
\[
v=\omega r=\frac{2 \pi r}{T} .
\]

Годографом будет окружность радиуса $v$ (рис. 9б). Когда материальная точка $M$ вращается по окружности радиуса $r$, соответствующая ей скоростная точка $A$ вращается в том же направлении по окружности радиуса $v$, описывая эту окружность за то же время $T$. Положениям материальной точки на траектории $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$
Рис. 9

соответствуют на годографе положения скоростной точки $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, $A_{4}$. Ускорение а направлено по касательной к окружности – годографу и притом, как видно из рисунка, к центру $O$ траектории вращающейся точки $M$. По аналогии с формулой (4.5) для модуля ускорения можно написать
\[
a=\omega v=\frac{2 \pi v}{T}=\frac{v^{2}}{r} .
\]

Это известная формула для центростремительного ускорения. Ее можно записать в векторной форме:
\[
\mathbf{a}=-\omega^{2} \mathbf{r} .
\]

Знак минус указывает на то, что направления векторов а и $\mathbf{r}$ взаимно противоположны, т. е. ускорение а направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Можно также написать для любого положения движущейся точки
\[
\mathbf{a}=\frac{v^{2}}{r} \mathbf{n},
\]

где $\mathbf{n}$ – единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру $O$ (см. рис. $9 a$ ).

Имея в виду дальнейшие обобщения, представим вектор скорости в виде $\mathbf{v}=v \mathbf{s}$, где $\mathbf{s}-$ единичный вектор касательной к окружности. Первый множитель $v$ есть модуль вектора скорости, второй множитель $\mathrm{S}$ указывает направление. При равномерном вращении модуль вектора скорости $v$ остается неизменным, меняется только направление скорости, т. е. единичный вектор $\mathbf{s}$. Дифференцированию подлежит только этот вектор, а потому $\mathbf{a}=v \frac{d \mathbf{s}}{d t}$. Сравнивая это выражение с (4.8), получим
\[
\frac{d \mathbf{s}}{d t}=\frac{v}{r} \mathbf{n} .
\]

Обозначим через $d s$ длину пути, проходимого материальной точкой за время $d t$ при ее вращении по окружности. Эта положительная величина равна $d s=v d t$. Поэтому предыдущую формулу можно переписать в виде
\[
\frac{d \mathbf{s}}{d s}=\frac{1}{r} \mathbf{n} .
\]

В этом виде формула не содержит никаких кинематических величин. В нее входят только геометрические величины, характеризующие окружность. Поэтому она может быть получена чисто геометрически без привлечения кинематических понятий. Она определяет производную единичного вектора касательной $\mathrm{s}$ по длине дуги окружности. Взаимная перпендикулярность векторов $\mathbf{S}$ и $\frac{d \mathbf{s}}{d t}$ (или $\frac{d \mathbf{s}}{d s}$ ) объясняется тем, что длина вектора $\mathrm{s}$ постоянна, меняется только направление этого вектора. Треугольник, составленный из векторов $s$, $\mathbf{s}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{s}$ и $\boldsymbol{\Delta} \mathbf{s}$ (рис. 10), – равнобедренный. При стремлении элемента дуги $\Delta s$ к нулю стремится к нулю и угол $\alpha$ при его вершине. Поэтому направление вектора $\frac{\Delta s}{\Delta s}$ в пределе оказывается перпендикулярным к вектору s. Отмеченное свойство, разумеется, не является специфическим свойством единичного вектора $s$. Производная любого вектора А постоянной длины по любому скалярному аргументу есть вектор, перпендикулярный к вектору А.
4. Формула (4.10) допускает обобщение на случай произвольной гладкой кривой. Обозначим по-прежнему через $\mathrm{s}$ единичный вектор касательной к кривой, а через $d s$ – длину элемента дуги этой кривой. Производная $\frac{d s}{d s}$ есть вектор, направленный нормально к кривой в сторону ее вогнутости. Эту производную можно поэтому представить в виде (4.10), рассматривая величину $1 / r$ как коэффициент пропорциональности между векторами $\frac{d \mathbf{s}}{d s}$ и n. Фактическое содержание этой формулы сводится к тому, что производная $\frac{d s}{d s}$ есть вектор, нормальный к кривой. В остальном на нее надо смотреть как на определение двух новых понятий: величины $1 / r$ и единичного вектора $\mathbf{n}$. Величина $1 / r$ называется криоизиой кривой, $r$ – радиусом кривизны, а $\mathbf{n}$ – единичным вектором главной норма$л и$ к кривой. При этом кривизна $1 / r$ считается существенно положительной, а потому единичный вектор $\mathbf{n}$ всегда направлен в сторону вогнутости кривой. Оправданием такой терминологии служит интуитивное представление, что при рассмотрении кривизны малый элемент кривой приближено можно рассматривать как дугу окружности. Это приближение тем точнее, чем меньше длина дуги $\Delta s$. В случае окружности кривизна $1 / r$ постоянна на протяжении всей кривой. В общем случае произвольной гладкой кривой кривизна непрерывно меняется от точки к точке. Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали n. Кинематическая формула (4.9) также справедлива для движения вдоль произвольной кривой и притом независимо от того, постоянна величина $v$ или меняется с течением времени. Действительно, формула (4.10) получается из формулы (4.9) с помощью соотношения $d s=v d t$.

Все геометрические кривые разделяются на плоские и кривые двоякой кривизны. Плоской кривой называется кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Примерами плоских кривых являются окружность, эллипс, гипербола, парабола, синусоида и пр. Кривыми двоякой кривизны называются такие кривые, которые не лежат в одной плоскости. Примером подобной кривой может служить винтовая линия – спираль. Плоскость, в которой лежат касательная и главная нормаль к кривой, называется соприкасающейся плоскостью. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая. К понятию соприкасающейся плоскости приводит следующее интуитивное представление. Произвольную конечную дугу кривой двоякой кривизны, разумеется, нельзя уложить в плоскость. Но чем короче дуга кривой, тем точнее она приближается к элементу плоской кривой, тем с меньшей ошибкой ее можно уложить в плоскости. Такая плоскость приближенно и воспроизводит соприкасающуюся плоскость. Это интуитивное представление можно превратить в точное определение с помощью предельного перехода. Пусть $M$ (см. рис. 7) – произвольная точка на кривой. Проведем в ней касательную $M C$ и хорду $M M_{1}$. Этими двумя прямыми, вообще говоря, определится некоторая плоскость $C M M_{1}$. Будем неограниченно приближать точку $M_{1}$ к точке $M$. Тогда указанная плоскость, вообще говоря, будет стремиться к некоторому определенному предельному положению. Это предельное положение и называется соприкасающейся плоскостью. Перпендикуляр к соприкасающейся плоскости в точке $M$ называется бинормалью к кривой.
5. При равномерном вращении точки по окружности ускорение направленно к ее центру, т. е. перпендикулярно к траектории. Ускорение перпендикулярно к траектории и при движении по любой кривой, если только скорость движущейся точки не меняется по модулю. Не так будет, когда меняется также и модуль скорости. Чтобы разобраться в этом вопросе, представим вектор скорости в виде $\mathbf{v}=v \mathbf{s}$. Применяя к этому выражению правило дифференцирования произведения, получим
\[
\mathbf{a}=\frac{d}{d t}(v \mathbf{s})=\frac{d v}{d t} \mathbf{s}+v \frac{d \mathbf{s}}{d t},
\]

или ввиду формулы (4.9)
\[
\mathbf{a}=\frac{d v}{d t} \mathbf{s}+\frac{v^{2}}{r} \mathbf{n} .
\]

Отсюда следует, что вектор ускорения а лежит в плоскости векторов $\mathbf{s}$ и $\mathbf{n}$, т. е. в соприкасающейся плоскости; вектор а не имеет составляющей по бинормали к траектории. В общем случае ускорение а направлено под углом к траектории. Первое слагаемое в формуле (4.11)
\[
\mathbf{a}_{t}=\frac{d v}{d t} \mathbf{s}
\]

есть вектор, направленный по касательной к траектории. Этот вектор называется касательным или тангенциальным ускорением. Второе слагаемое
\[
\mathbf{a}_{n}=\frac{v^{2}}{r} \mathbf{n}
\]

есть вектор, направленный вдоль главной нормали в сторону вогнутости траектории. Он называется нормальным ускорением. Таким образом, в общем случае ускорение а можно представить в виде геометрической суммы тангенциального и нормального ускорений:
\[
\mathbf{a}=\mathbf{a}_{t}+\mathbf{a}_{n} .
\]

Тангенциальное ускорение меняет скорость только по модулю, нормальное ускорение меняет ее только по направлению.

Рисунок 11 поясняет разложение полного ускорения на тангенциальное и нормальное. Пусть $\mathbf{v}$ – скорость материальной точки в
Рис. 11 момент времени $t$, когда она находилась в положении $M$. Обозначим через $\mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}+\Delta \mathbf{v}$ скорость той же точки в момент $t+\Delta t$, когда она переместилась в положение $M_{1}$ (не обозначенное на рисунке). Отложим оба вектора $\mathbf{v} \mathbf{v}_{1}$ из одной и той же точки $M$ и разложим приращение $\Delta \mathbf{v}$ скорости на две составляющие: составляющую $\Delta \mathbf{v}_{t}$ вдоль вектора $\mathbf{v}$ и составляющую $\Delta \mathbf{v}_{n}$, перпендикулярную к этому вектору. При уменьшении $\Delta t$ оба отношения $\frac{\Delta v_{t}}{\Delta t}$ и $\frac{\Delta v_{n}}{\Delta t}$ будут стремиться к определенным пределам. Первый из них есть тангенциальное, а второй – нормальное ускорение.

При вычислении скорости точки бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать бесконечно коротким прямолинейным отрезком, направление которого совпадает с направлением касательной к траектории. При определении ускорения такая аппроксимация уже не годится. Однако, как видно из рассуждений настоящего параграфа, при вычислении ускорения бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать дугой окружности, плоскость которой совпадает с соприкасающейся плоскостью, а радиус равен радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке. Но и такая аппроксимация оказалась бы недостаточной, если бы потребовалось вычислить производные радиуса-вектора более высокого порядка: r, r и т. д.
ЗАДАЧИ
1. Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость $v$, падает на горизонтальную плиту с высоты $h$. При каждом ударе о плиту теряется часть скорости (отношение вертикальной составляющей скорости после удара к ее значению до удара постоянна и равна $\alpha$ ).

Определить, на каком расстоянии $x$ от места бросания отскоки шарика прекратятся. Считать, что трение отсутствует, так что горизонтальная составляющая скорости шарика $v$ не меняется.
Ответ: $x=v \sqrt{\frac{2 h}{g}} \frac{1+\alpha}{1-\alpha}$.

2. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные координаты определяются уравнениями
\[
x=A \cos \omega t, \quad y=B \sin \omega t,
\]

где $A, B$, – постоянные. По какой траектории движется точка? Вычислить ее ускорение.
Решение. Исключая время $t$ из уравнений (4.15), находим
\[
\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1 \text {. }
\]

Точка движется по эллипсу. Ее радиус-вектор $\mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{i}$, а ускорение $\mathbf{a}=\ddot{x} \mathbf{i}+\ddot{y} \mathbf{j}$, Дифференцирование дает
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=-\omega A \sin \omega t, \quad \ddot{x}=-\omega^{2} A \cos \omega t=-\omega^{2} x, \\
\dot{y}=\omega B \cos \omega t, \quad \ddot{y}=-\omega^{2} B \sin \omega t=-\omega^{2} y .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\mathbf{a}=-\omega^{2}(x \mathbf{i}+y \mathbf{j})=-\omega^{2} \mathbf{r} .
\]

Ускорение направлено к центру эллипса и пропорционально $r$. В частном случае $A=B$ – эллипс вырождается в круг, а формула (4.16) переходит в известную формулу для центростремительного ускорения при равномерном вращении по кругу.
3. Точка с постоянной по модулю скоростью $v$ движется по эллипсу с полуосями $A$ и $B$. Найти ее ускорение в вершинах эллипса.

Р еш ение. В вершинах эллипса ускорение только нормальное. Его можно найти по общей формуле (4.13) и притом в любой точке эллипса. Однако в вершинах эллипса поучительно получить решение, воспользовавшись тем обстоятельством, что эллипс может быть получен однородным растяжением или сжатием круга. Возьмем круг радиуса $r=B$ и равномерно растянем его параллельно оси $X$ (рис. 11a) в $A / B$ раз. Получится эллипс с полуосью $A$, параллельной оси $X$. Бесконечно малая дуга $C E D$ круга перейдет в дугу $C^{\prime} E^{\prime} D^{\prime}$ эллипса. Время движения точки вдоль этих дуг будет одно и то же. Одинаковы будут и скорости точки в положениях $E$ и $E^{\prime}$. Однако нормальное смещение $F E$ перейдет в $F^{\prime} E^{\prime}$, т. е. увеличится в $A / B$ раз. В
Рис. $11 \mathrm{a}$
такое же число раз увеличится нормальное ускорение. В точке $E^{\prime}$ оно будет $a=\left(v^{2} / r\right) A / B=A v^{2} / B^{2}$. Сжимая круг радиуса $A$ вдоль оси $Y$, таким же путем получаем ускорение в точке пересечения эллипса с малой осью. Оно равно $a=B v^{2} / A^{2}$.
4. Установить связь между звездными и средними солнечными сутками. Звездный год, т. е. промежуток времени, в течение которого Солнце совершает свой видимый путь по небесной сфере относительно звезд, составляет 365,2564 средних солнечных суток. (Звездный год следует отличать от тропического года, который соответствует периоду смены времен года и составляет 365,2422 средних солнечных суток.)

Решение. Пусть в положении $I$ (рис. 12) плоскость земного меридиана $A B$ проходит через центр Солнца $C$ и какую-либо (бесконечно удаленную) звезду $D$. Когда Земля в своем орбитальном движении перейдет в положение 2 , плоскость того же меридиана повернется относительно направления на звезду на угол $\alpha$, а относительно направления на центр Солнца – на угол $\beta$. Углы $\alpha$ и $\beta$ могут превышать $2 \pi$, но они всегда связаны соотношением $\alpha=\beta+\gamma$, где $\gamma-$ угол между направлениями на центр Солнца в положениях I и 2. Спустя звездный год, когда Земля вернется в исходную плоскость $I C D$, угол $\gamma$ примет значение $2 \pi$, а потому в этом положении $\alpha=\beta+2 \pi$. За это время пройдет $N_{\text {зв }}=\alpha / 2 \pi$ звездных и $N_{\text {сол }}=\beta / 2 \pi$ средних солнечных суток. Поэтому $N_{\text {зв }}=N_{\text {сол }}+1$. Если $T_{\text {зв }}$ и $T_{\text {сол }}$ – продолжительность звездРис. 12 ных и средних солнечных суток, то очевидно, что $N_{\text {зв }} T_{\text {зв }}=N_{\text {сол }} T_{\text {сол }}$, так как оба эти выражения представляют одно и то же время – звездный год. Используя соотношения $N_{\text {зв }}=N_{\text {сол }}+1$, находим
\[
\begin{array}{c}
T_{\text {зв }}=\frac{N_{\text {сол }}}{N_{\text {сол }}+1} T_{\text {сол }}, \\
T_{\text {сол }}-T_{\text {зв }}=\frac{1}{N_{\text {сол }}+1} T_{\text {сол }} .
\end{array}
\]

Подставив сюда $T_{\text {сол }}=24 \cdot 60 \cdot 60=86400 \mathrm{c}, N_{\text {сол }}=365,2564$, получим
\[
T_{\text {сол }}-T_{\text {зв }}=325,9003 \mathrm{c} \approx 236 \mathrm{c}, \quad T_{\text {зв }} \approx 86164 \mathrm{c} .
\]

Заметим, что при решении мы не вводили предположения, что Земля по своей орбите движется равномерно.
5. Определить скорость, с которой движется тень Луны по земной поверхности во время полного солнечного затмения.

Решение. Для простоты примем, что затмение наблюдается на экваторе и что земная ось перпендикулярна плоскостям солнечной и лунной орбит. Скорость света будем считать бесконечно большой по сравнению со всеми остальными скоростями, входящими в задачу. Пусть в рассматриваемый момент времени прямая Солнце-Луна перпендикулярна к земной поверхности в точке наблюдения $A$ (рис. 13). Поверхность Земли в окрестности той же точки можно считать плоской. При решении выберем сначала систему отсчета, в которой Земля покоится. Пусть $\omega_{\text {с }}$ и $\omega_{л}-$ угловые скорости вращения Солнца и Луны вокруг центра Земли, $R_{\text {С }}$ и $R_{\text {Л }}$ – расстояния их от того же центра, $r$ – радиус Земли. За 1 с Солнце и Луна переместятся с востока на запад на расстояния $C C^{\prime}=\omega_{\mathrm{C}} R_{\mathrm{C}}$ и ЛЛ’ $=\omega_{Л} R_{Л}$. Coединив новые положения Солнца и Луны прямой линией, найдем, что за $1 \mathrm{c}$ граница лунной тени переместится по земной поверхности с запада на восток на расстояние $v=A A^{\prime}$. Это расстояние и есть скорость движения тени Луны. Из рис. 13 видно, что
\[
\frac{v}{\omega_{\mathrm{C}} R_{\mathrm{C}}}=\frac{x}{O C} \approx \frac{x}{R_{\mathrm{C}}}
\]

так как расстояние до Луны пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до Солнца, и можно принять $O C=R_{\mathrm{C}}$. Таким образом, $v=\omega_{\mathrm{C}} x$. Для нахождения $x$ составляем пропорцию
\[
\frac{\omega_{\mathrm{C}} R_{\mathrm{C}}}{\omega_{\pi} R_{\pi}}=\frac{C C^{\prime}}{\pi I^{\prime}}=\frac{O C}{O J} .
\]

Полагая в ней $O C=R_{\mathrm{C}}, O Л=R_{Л}-x-r$, получим уравнение для нахождения $x$. Оно дает
\[
x=\frac{\omega_{\mathrm{C}}-\omega_{\Pi}}{\omega_{\mathrm{C}}} R_{Л}-r .
\]

Следовательно, скорость движения лунной тени с запада на восток будет
\[
v=\omega_{\mathrm{C}} x=\left(\omega_{\mathrm{C}}-\omega_{\text {Л }}\right) R_{Л}-\omega_{\mathrm{C}} r .
\]

Здесь $\quad \omega_{\mathrm{C}}=2 \pi / T_{\text {сут }}, \quad \omega_{\mathrm{C}}-\omega_{л}=2 \pi / T_{\text {мес }}, \quad$ где $T_{\text {сут }}=86400$ с – продолжительность солнеч-
Рис. 13
ных суток, а $T_{\text {мес }}=29,6 T_{\text {сут }}$ – продолжительность месяца. Используя эти соотношения и подставляя числовые значения $R_{\text {Л }}=3,8 \cdot 10^{5} \mathrm{км}$, $r=6400$ км, получим
\[
v=\frac{2 \pi R_{\text {Л }}}{T_{\text {мес }}}-\frac{2 \pi r}{T_{\text {сут }}} \approx 0,47 \mathrm{KM} / \mathrm{c} .
\]

Смысл последней формулы легко уяснить, перейдя в систему отсчета, в которой Солнце покоится. Считая Солнце бесконечно удаленным, можно отвлечься от движения центра Земли, приняв во внимание лишь вращение Земли вокруг своей оси, а также движение Луны по ее орбите вокруг Земли. Луна движется по орбите с запада на восток со скоростью $v_{Л}=2 \pi R_{Л} / T_{\text {мес }}$. Если бы Земля не вращалась, то с той же скоростью и в том же направлении по ее поверхности бежала бы лунная тень. Но из-за вращения Земли экваториальные точки последней движутся с запада на восток со скоростью $v_{3}=2 \pi r / T_{\text {сут. }}$. Для нахождения скорости лунной тени эту величину надо вычесть из $v_{Л}$, что и сделано в формуле (4.17).