1. Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения. Если материальная точка вращается по окружности радиуса $r$ (рис. 59), то момент ее импульса относительно оси вращения $O$ равен $L=m v r$. Пусть $\omega-$ угловая скорость вращения, тогда $v=\omega r$, и, следовательно, $L=m r^{2} \omega$. Если вокруг оси $O$ вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью $\omega$, то $L=\sum m r^{2} \omega$, где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Величину $\omega$ как одинаковую для всех материальных точек можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится
\[
L=I \omega,
\]

где
\[
I=\sum m r^{2} .
\]

Величина $I$, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инериии системы относительно этой оси. Уравнение (33.1) показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерии относительно той же оси на угловую скорость.
Если на вращательное движение системы материальных точек накладывается еще радиальное движение их, а также движение параллельно оси, то наличие таких движений не отразится на справедливости формулы (33.1). Это следует из того, что момент импульса материальной точки зависит от ее скорости $\mathbf{v}$ линейно. Когда же скорость $\mathbf{v}$ направлена по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Поэтому такие движения непосредственно не сказываются на виде связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и ее угловой скоростью. Их влияние косвенное и состоит в том, что момент инерции $I$ перестает быть постоянной величиной, а меняется во времени в соответствии с изменением мгновенной конфигурации системы. В этом случае уравнение (32.2) принимает вид
\[
\frac{d}{d t}(I \omega)=M,
\]

где $M$ – момент внешних сил относительно оси вращения. Это $o c$ новное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Она напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции $I$, роль скорости – угловая скорость $\omega$, роль силы – момент силы $M$, роль импульса – момент импульса $L$. Момент импульса $L$ часто называют вращательным импульсом системы. Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что производная вращательного импульса системы по времени равна моменту внешних сил относительно оси вращения.

Если момент внешних сил $М$ относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс Iю сохраняется.
2. Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы материальных точек или твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции $I$ при вращении остается постоянным, и уравнение (33.3) переходит в
\[
I \frac{d \omega}{d t}=M
\]

Произведение момента инериии твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение $\frac{d \omega}{d t}$ равно моменту внешних сил относительно той же оси.

Для лучшего уяснения уравнения (33.4) приведем другой ее вывод, основанный непосредственно на уравнении движения материальной точки. Последнее в случае вращения материальной точки вокруг неподвихной оси имеет вид $m \frac{d v}{d t}=F_{\tau}$, где $F_{\tau}$ – тангенциальная слагающая действующей силы. Так как $v=\omega r$, то, умножая предыдущее уравнение на $r$, получим $m r^{2} \frac{d \omega}{d t}=r F_{\tau}$. Напишем такие соотношения для каждой материальной точки, а затем сложим их. Тогда мы снова придем к уравнению (33.4). При этом все внутренние силы исключаются, так что под $M$ в уравнении (33.4) следует понимать момент одних только внешних сил. Этот элементарный вывод обладает, однако, тем недостатком, что он дает уравнение вращательного движения не в общей форме (33.3), а только в частной форме (33.4).
3. Аналогия между движением материальной точки и вращением твердого тела относительно неподвижной оси может быть прослежена дальше. Если материальная точка вращается по окружности, то элементарная работа при повороте на угол $d \varphi$ равна $d A=F d s=F r d \varphi=M d \varphi$. Такое же выражение получится и для твердого тела, так как его можно рассматривать как систему материальных точек, вращающихся с общей угловой скоростью $\omega$. Внутренние силы исключатся, так как в случае твердого тела, как было показано в § 24 , они работы не совершают. Итак, для твердого тела
\[
d A=M d \varphi .
\]

Роль силы играет момент внешних сил, роль линейного перемещения – угловое перемещение.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде
\[
K=\frac{1}{2} \sum m v^{2}=\frac{1}{2} \sum m(\omega r)^{2}=\frac{\omega^{2}}{2} \sum m r^{2},
\]

или
\[
K=\frac{1}{2} I \omega^{2}=\frac{L^{2}}{2 I} .
\]

Эти выражения напоминают соответствующие выражения для кинетической энергии материальной точки. Они получаются из последних формальной заменой $m \rightarrow I, v \rightarrow \omega, p \rightarrow L$.