1. Различные части деформированного тела взаимодействуют между собой на поверхностях раздела, вдоль которых они граничат друг с другом. Рассмотрим произвольное деформированное тело или среду. Мысленно разделим его на две части: тело I и тело II, граничащие между собой вдоль поверхности $A B$ (рис. 197). Так как тело I деформировано, то оно действует на тело II с некоторой силой. По той же причине тело II действует на тело I с такой же, но противоположно направленной силой. Однако для определения возникающих деформаций недостаточно знать суммарные силы, действующие в сечении $A B$. Надо еще указать, как эти силы распределены по этому сечению. Возьмем на поверхности $A B$ бесконечно малую площадку $d S$. Пусть $d \mathbf{F}-$ сила, с которой на этой площадке тело II действует на тело I. Сила, отнесенная к единице площади, т. е. $\frac{d \mathbf{F}}{d S}$, называРис. 197 ется напряжением, действующим в соответствующей точке на границе $A B$ тела I. Напряжение, действующее в той же точке на границе тела II, будет таким же, но его направление противоположно.
2. Ориентацию площадки $d S$ можно задать, указав направление нормали к ней. Условимся эту нормаль проводить наружу от поверхности тела, на которое действует сила $d \mathbf{F}$. Обозначим через $\mathbf{n}$ единичный вектор такой нормали, а через $\sigma_{n}$ – соответствующее напряжение. Тогда $\sigma_{-n}$ будет означать напряжение на поверхности $A B$ тела II, с которым граничит тело I. В силу равенства действия и противодействия $\boldsymbol{\sigma}_{n}=-\boldsymbol{\sigma}_{-n}$. Вектор $\boldsymbol{\sigma}_{n}$ можно разложить на составляющую вдоль нормали $\mathbf{n}$ и составляющую, лежащую в касательной плоскости к площадке $d S$. Первая составляющая называется нормальным, а вторая – тангенциальным напряжениями, действующими на площадке $d S$. Как и всякий вектор, напряжение $\sigma_{n}$ можно характеризовать тремя составляющими его вдоль координатных осей $X, Y, Z$ прямоугольной системы координат. Эти составляющие будем обозначать соответственно через $\sigma_{n x}, \sigma_{n y}, \sigma_{n z}$. Первый индекс указывает направление внешней нормали к поверхности тела, на которой лежит площадка $d S$, а второй – направление оси, на которую проецируется напряжение $\boldsymbol{\sigma}_{n}$. В частности, $\boldsymbol{\sigma}_{x}$ означает напряжение на площадке, внешняя нормаль к которой параллельна положительному направлению оси $X$. Величины $\sigma_{x x}, \sigma_{x y}, \sigma_{x z}$ означают проекции вектора $\sigma_{x}$ на координатные оси.
3. Для того чтобы определить напряжение в среде на произвольно ориентированной площадке в какой-либо точке ее, достаточно задать напряжение на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку. Это справедливо как для покоящейся среды, так и для среды, движущейся с произвольным ускорением. Для доказательства поместим начало координат в рассматриваемую точку среды и выделим из нее бесконечно малый элемент объема $O A B C$, ограниченный координатными плоскостями и пересекающей их плоскостью $A B C$ (рис. 198). Пусть $\mathbf{n}$ – внешняя нормаль к плоскости треугольника $A B C$. Тогда сила, действующая на грани $A B C$ на выделенный элемент со стороны окружающей среды, будет $\boldsymbol{\sigma}_{n} S$, где $S$ – площадь этой грани. Аналогично силы, действующие на трех боковых гранях, будут $\boldsymbol{\sigma}_{-x} S_{x}, \boldsymbol{\sigma}_{-y} S_{y}$, $\boldsymbol{\sigma}_{-z} S_{z}$, где $S_{x}, S_{y}, S_{z}$ – площади этих граней. Помимо этих сил на выделенный элемент могут действовать Рис. 198 массовые или обгемные силы, например сила тяжести. Обозначим равнодействующую таких сил через f. Сила f пропорциональна объему выделенного элемента. Если масса элемента $m$, а ускорение а, то
\[
m \mathbf{a}=\mathbf{f}+\boldsymbol{\sigma}_{n} S+\boldsymbol{\sigma}_{-x} S_{x}+\boldsymbol{\sigma}_{-y} S_{y}+\boldsymbol{\sigma}_{-z} S_{z} .
\]
Выполним в этом соотношении предельный переход, стягивая элемент $O A B C$ в точку. При таком предельном переходе члены ma и $\mathbf{f}$ можно отбросить. Они пропорциональны объему элемента $O A B C$ и, следовательно, являются бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с остальными членами, пропорциональными поверхности элемента. Как известно из геометрии, проекции площади $S$ на координатные плоскости выражаются соотношениями
\[
S_{x}=S n_{x}, S_{y}=S n_{y}, S_{z}=S n_{z} .
\]
Учтем далее, что $\boldsymbol{\sigma}_{-x}=-\boldsymbol{\sigma}_{x}, \boldsymbol{\sigma}_{-y}=-\boldsymbol{\sigma}_{y}, \boldsymbol{\sigma}_{-z}=-\boldsymbol{\sigma}_{z}$. Тогда в результате предельного перехода получится
\[
\boldsymbol{\sigma}_{n}=\boldsymbol{\sigma}_{x} n_{x}+\boldsymbol{\sigma}_{y} n_{y}+\boldsymbol{\sigma}_{z} n_{z} .
\]
Так как координатные оси $X, Y, Z$ можно выбрать произвольно, то это соотношение и доказывает теорему.
Таким образом, напряжение в каждой точке упруго деформированного тела можно характеризовать тремя векторами $\boldsymbol{\sigma}_{x}, \boldsymbol{\sigma}_{y}$, $\boldsymbol{\sigma}_{z}$ или девятью их проекциями
\[
\begin{array}{lll}
\sigma_{x x}, & \sigma_{x y}, & \sigma_{x z}, \\
\sigma_{y x}, & \sigma_{y y}, & \sigma_{y z}, \\
\sigma_{z x} & \sigma_{z y}, & \sigma_{z z} .
\end{array}
\]
Совокупность этих девяти величин называется тензором упругих напряжений.
Вообще говоря, эти величины меняются от точки к точке среды, т. е. являются функциями координат. Только в статике в отсутствие массовых сил тензор упругих напряжений остается одним и тем же во всех точках среды.
4. Тензор упругих напряжений симметричен, т. е.
\[
\sigma_{i j}=\sigma_{j i} \quad(i, j=x, y, z) .
\]
Для доказательства рассмотрим элементарный параллелепипед вещества со сторонами $d x, d y, d z$ (рис. 199). Момент сил $M_{z}$ относительно оси $Z$, действующий на этот параллелепипед, равен
\[
M_{z}=\left(\sigma_{x y} d y d z\right) d x-\left(\sigma_{y x} d x d z\right) d y=\left(\sigma_{x y}-\sigma_{y x}\right) d V,
\]
где $d V$ – объем рассматриваемого элементарного параллелепипеда. По уравнению моментов
\[
\left(\sigma_{x y}-\sigma_{y x}\right) d V=I_{z} \frac{d \omega_{z}}{d t},
\]
где $I_{z}$ и $\omega_{z}$ – момент инерции и угловая скорость относительно оси $Z$. Но момент инерции $I_{z}$ пропорционален произведению массы на квадрат линейных размеров рассматриваемого параллелепипеда, т. е. является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем объем параллелепипеда $d V$. Поэтому при стягивании параллелепипеда в точку правая часть $I_{z} \frac{d \omega_{z}}{d t}$ будет быстрее обращаться в нуль, чем левая. В пределе мы получим $\sigma_{x y}=\sigma_{y x}$. Аналогично доказываются и остальные два соотношения: $\sigma_{y z}=\sigma_{z y}$ и $\sigma_{z x}=\sigma_{x z}$.
5. Можно доказать, что координатную систему $\mathrm{X}, \mathrm{Y}, \mathrm{Z}$ можно выбрать так, чтобы в этой системе обратить в нуль все недиагональные элементы тензора упругих напряжений, т.е. $\sigma_{i j}=0$ при $i
eq j$. Не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что это можно сделать потому, что тензор упругих напряжений $\sigma_{i j}$ симметричен. Таким образом, в этой системе координат упругие напряжения в каждой точке тела характеризуются только величинами $\sigma_{x x}, \sigma_{y y}$ и $\sigma_{z z}$. В целях краткости их можно обозначать с помощью одного индекса, т. е. $\sigma_{x}, \sigma_{y}$ и $\sigma_{z}$. Соответствующие координатные оси называют главными осями тензора упругих напряжений.
