1. Как было показано в $\S 12$, производная импульса р системы материальных точек по времени определяется уравнением
\[
\frac{d \mathbf{p}}{d t}=\mathbf{F}^{(e)},
\]

где $\mathbf{F}^{(e)}$ – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему. Внутренние силы не входят в это уравнение из-за третьего закона Ньютона. В случае одной материальной точки уравнение (18.1) переходит в уравнение, выражающее второй закон Ньютона. Допустим, что сила $\mathbf{F}^{(e)}$ постоянна. Тогда из уравнения (18.1) следует
\[
\mathbf{p}-\mathbf{p}_{0}=\mathbf{F}^{(e)}\left(t-t_{0}\right),
\]

где векторы $\mathbf{p}$ и $\mathbf{p}_{0}$ означают импульсы системы в моменты времени $t$ и $t_{0}$ соответственно.

Произведение постоянной силы $\mathbf{F}^{(e)}$ на время ее действия называется импульсом силь за то же время. Это понятие нельзя смешивать с ранее введенной величиной $\mathbf{p}=m_{1} \mathbf{v}_{1}+\ldots+m_{n} \mathbf{v}_{n}$, которая называется импульсом системы материальных точек или импульсом тела. Недоразумений возникнуть не может, так как слово «импульс» отдельно нигде встречаться не будет. Оно будет входить в комбинации либо со словом «сила», либо со словом «тело» (или «материальная точка» и «система материальных точек»). Поэтому всякий раз будет ясно, о каком импульсе идет речь. Впрочем, понятие импульса силы будет встречаться сравнительно редко.
2. Соотношение (18.2) означает, что приращение импульса тела или системы тел равно импульсу геометрической суммы всех внешних сил, действующих на систему. Этот результат получен нами в предположении, что сила $\mathbf{F}^{(e)}$ постоянна. Он может быть обобщен и на тот случай, когда эта сила меняется во времени.

Разделим промежуток времени $t-t_{0}$ на более мелкие промежутки $\left(t_{1}-t_{0}\right),\left(t_{2}-t_{1}\right), \ldots,\left(t-t_{n-1}\right)$ (рис. 31). Выберем эти промежутки настолько малыми, чтобы на каждом из них силу $\mathbf{F}^{(e)}$ без большой ошибки можно было считать приблизительно постоянной. Соответствующие значения силы $\mathbf{F}^{(e)}$ на таких промежутках обозначим через $\mathbf{F}_{1}^{(e)}, \ldots, \mathbf{F}_{n}^{(e)}$. Тогда на основании соотношения (18.2) можно написать приближенно
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{0}=\mathbf{F}_{1}^{(e)}\left(t_{1}-t_{0}\right), \\
\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{F}_{2}^{(e)}\left(t_{2}-t_{1}\right), \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\mathbf{p}-\mathbf{p}_{n-1}=\mathbf{F}_{n}^{(e)}\left(t-t_{n-1}\right),
\end{array}
\]

где $\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}$ – импульсы системы в моменты времени $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n-1}$ соответственно. Складывая эти равенства, получим
\[
\mathbf{p}-\mathbf{p}_{0}=\sum_{i} \mathbf{F}_{i}^{(e)} \Delta t_{i},
\]

где использовано стандартное обозначение $\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}$. Последнее равенство является приближенным и не совсем определенным, поскольку значения внешней силы $\mathbf{F}_{1}^{(e)}, \mathbf{F}_{2}^{(e)}, \ldots, \mathbf{F}_{n}^{(e)}$ не фиксированы точно. Однако эта неопределенность устраняется и указанное равенство переходит в точное соотношение, если перейти к пределу, устремляя к нулю наибольший из промежутков времени $\Delta t_{i}$ при неизменной длине временного интервала $t-t_{0}$. В результате такого предельного перехода получится
\[
\mathbf{p}-\mathbf{p}_{0}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i} \mathbf{F}_{i}^{(e)} \Delta t_{i} .
\]

Как известно, предел, стоящий в правой части этого равенства, называется определенным интегралом функции $\mathbf{F}^{(e)}(t)$ в пределах от $t_{0}$ до $t$ :
\[
\int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}^{(e)}(\tau) d \tau \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i} \mathbf{F}_{i}^{(e)} \Delta t_{i} .
\]

Аргумент функции $\mathbf{F}^{(e)}$, по которому производится интегрирование, обозначен через $\tau$, чтобы не смешивать его с верхним пределом интеграла $t$. Величина т называется переменной интегрирования. Значение определенного интеграла при заданной подынтегральной функции определяется только значениями пределов интегрирования $t_{0}$ и $t$.

Таким образом, обобщением соотношения (18.2) является формула
\[
\mathbf{p}-\mathbf{p}_{0}=\int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}^{(e)}(\tau) d \tau .
\]

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства называется импульсом силы $\mathbf{F}^{(e)}$ за время от $t_{0}$ до $t$. Следовательно, и в случае силы, меняющейся во времени, приращение импульса системы материальных точек равно импульсу геометрической суммы всех действующих на нее внешних сил. Внутренние силы, как уже подчеркивалось выше, не влияют на изменение полного импульса системы, поскольку они всегда входят попарно и удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.
3. Импульс, приобретаемый телом, зависит, таким образом, не только от силы, но и от продолжительности ее действия. Иллюстрацией этого может служить следующий простой опыт. Тяжелая гиря (рис. 32) подвешена на нити, снизу к ней прикреплена такая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю нить, то рвется верхняя нить. Причина ясна. Так как гиря практически все время находится в покое, разность натяжений нити $T_{1}-T_{2}$ должна уравновешивать вес груза $P: T_{1}-T_{2}=P$. Отсюда следует $T_{1}>T_{2}$. Обозначим символом $T_{0}$ максимальное натяжение, которое может выдержать нить, не разрываясь. Когда мы медленно тянем за нижнюю нить, то в некоторый момент времени натяжение $T_{1}$ достигает предельной величины $T_{0}$. В этот момент натяжение нижней нити $T_{2}$ еще меньше $T_{0}$. Поэтому нижняя нить остается целой, а верхняя рвется. Однако если быстро дернуть за нижнюю нить, то верхняя нить остается целой, а нижняя рвется. Дело в том, что для разрыва верхней нити ее необходимо растянуть на определенную длину. А для этого надо привести в движение гирю. Чтобы сообщить Рис. 32 гире необходимое смещение, требуется конечное время, даже когда на нее действует большая сила. Быстро дергая за нижнюю нить, мы не успеваем сообщить гире достаточное смещение. В нижней нити возникает натяжение, превосходящее предельное $T_{0}$, в то время как верхняя нить еще не успевает растянуться, и ее натяжение практически остается неизменным. Поэтому и рвется нижняя нить.

Опишем второй опыт, иллюстрирующий влияние продолжительности действия силы. Из ватманской бумаги вырезаются два одинаковых кольца с наружным диаметром около 20 см и внутренним диаметром около 15 см. Кольца подвешиваются на двух горизонтальных металлических стержнях, зажатых в штативах. В кольца вставляется четырехугольная сосновая планка длиной 1 м с поперечным сечением $2-3$ см $^{2}$. Расстояние между бумажными кольцами должно быть лишь немного меньше длины планки. Если плавно нажимать на середину планки, то одно из бумажных колец (или оба вместе), рвется, а планка остается целой. Нанесем теперь по середине планки резкий сильный удар тяжелым металлическим стержнем. Планка ломается, а кольца остаются целыми. Поразительным в этом опыте является не то, что ломается планка, – она переломилась бы и при отсутствии колец, а то, что остаются целыми бумажные кольца.