1. Допустим, что однородное изотропное тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, к противоположным граням которого приложены силы $F_{x}, F_{y}, F_{z}$, нормальные к этим граням. Соответствующие им натяжения обозначим через $T_{x}, T_{y}, T_{z}$ (рис. 201). Определим деформации, которые возникнут под действием этих сил. Будем предполагать деформации малыми. Тогда для решения задачи можно воспользоваться принципом суперпозиции малых деформаций.

Направим координатные оси параллельно ребрам параллелепипеда. Пусть $x, y, z$ – длины этих ребер. Если бы действовала только сила $F_{x}$, то ребро $x$ получило бы приращение $\Delta_{1} x$, определяемое соотношением $\frac{\Delta_{1} x}{x}=\frac{T_{x}}{E}$. Если бы действовала только сила $F_{y}$, то размеры параллелепипеда, перпендикулярные к оси $Y$, сократились бы. В частности, ребро $x$ при этом получило бы отрицательное приращение $\Delta_{2} x$, которое можно вычислить по формуле $\frac{\Delta_{2} x}{x}=-\mu \frac{T_{y}}{E}$. Наконец, относительное приращение ребра $x$ под действием одной только силы $F_{z}$ было бы равно $\frac{\Delta_{3} x}{x}=-\mu \frac{T_{z}}{E}$. Если все силы действуют одновременно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра $x$ будет равно $\Delta x=$ $=\Delta_{1} x+\Delta_{2} x+\Delta_{3} x$. Аналогично вычисляются удлинения параллелепипеда и вдоль остальных двух направлений $Y$ и $Z$. В результате для удлинений всех трех ребер параллелепипеда можно написать
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon_{x} \equiv \frac{\Delta x}{x}=\frac{T_{x}}{E}-\frac{\mu}{E}\left(T_{y}+T_{z}\right), \\
\varepsilon_{y} \equiv \frac{\Delta y}{y}=\frac{T_{y}}{E}-\frac{\mu}{E}\left(T_{z}+T_{x}\right), \\
\varepsilon_{z} \equiv \frac{\Delta z}{z}=\frac{T_{z}}{E}-\frac{\mu}{E}\left(T_{x}+T_{y}\right) .
\end{array}
\]
2. При квазистатическом растяжении параллелепипеда вдоль оси $X$ совершается работа $A_{1}=1 / 2 S_{x} T_{x} \Delta x$, где $S_{x}=y z$ – площадь грани, перпендикулярной к оси $X$. Эту работу можно представить в виде $A_{1}=1 / 2 x y z \cdot T_{x} \frac{\Delta x}{x}=1 / 2 V T_{x} \varepsilon_{x}$, где $V=x y z$ – объем параллелепипеда. Аналогично запишутся работы при квазистатических растяжениях в направлениях координатных осей $Y$ и $Z$. Сложив эти три работы и разделив результат на объем параллелепипеда, получим следующее выражение для плотности упругой энергии в рассматриваемом случае:
\[
u=\frac{1}{2}\left(T_{x} \varepsilon_{x}+T_{y} \varepsilon_{y}+T_{z} \varepsilon_{z}\right) .
\]

С помощью формул (76.1) это выражение приводится к виду
\[
u=\frac{1}{2 E}\left[T_{x}^{2}+T_{y}^{2}+T_{z}^{2}-2 \mu\left(T_{x} T_{y}+T_{y} T_{z}+T_{z} T_{x}\right)\right] .
\]

Если из трех натяжений $T_{x}, T_{y}, T_{z}$ только одно отличается от нуля, то эти формулы переходят в более простые формулы (75.10) и (75.11). Согласно формулам (75.11) плотность упругой энергии и пропорциональна квадрату натяжения $T$ (или давления $P$ ). В общем случае, как показывает формула (76.3), плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией $T_{x}, T_{y}, T_{z}$ (или $P_{x}, P_{y}$, $P_{z}$ ). При заданных натяжениях (или давлениях) она обратно пропорциональна модулю упругости $E$. Чем жестче пружина, тем меньше при неизменном натяжении ее упругая сила. Идеально твердые тела (для которых $E=\infty$ ) совершенно не обладают упругой энергией, какие бы силы натяжения и давления на них не действовали.

Натяжения $T_{x}, T_{y}, T_{z}$ выражаются через $\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y}, \varepsilon_{z}$ линейно, как это следует из формул (76.1). Поэтому плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией деформаций $\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y}, \varepsilon_{z}$. В частном случае ( $\varepsilon_{x}=\varepsilon, \varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=0$ ) она пропорциональна квадрату деформации. При заданных деформациях $\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y}, \varepsilon_{z}$ плотность упругой энергии $и$ пропорциональна модулю упругости $E$. Чем жестче пружина, тем больше ее упругая энергия (при неизменной деформации).
ЗАДАЧА
Определить относительное изменение объема полого латунного шара радиусом $R=5 \mathrm{cм}$, в который накачан воздух до давления 11 атм (наружное давление 1 атм). Толщина сферической оболочки $d=1$ мм. Модуль Юнга латуни $E=10^{12}$ дин $/ \mathrm{cm}^{2}$, коэффициент Пуассона $\mu=0,3$.

Решение. В силу симметрии касательное напряжение $\tau$, действующее в оболочке, одно и то же и одинаково во всех направлениях. Возьмем малый элемент оболочки, имеющий форму прямоугольника. При вычислении относительного изменения площади этого элемента под действием касательных напряжений $\tau$ можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плоскую прямоугольную пластинку. Тогда вычисление дает
\[
\frac{\Delta S}{S}=2(1-\mu) \frac{\mathrm{t}}{E}
\]
(изменение площади, вызванным нормальным давлением, пренебрегаем). Поскольку поверхность шара $S$ пропорциональна $V^{2 / 3}$, где $V-$ объем шара, относительное изменение объема будет $\frac{\Delta V}{V}=\frac{3}{2} \frac{\Delta S}{S}$. Так как поверхность искривлена, то натяжение т создаст разность нормальных давлений. Для нее нетрудно получить $2 \tau d / R$ (см. формулу Лапласа в учении о поверхностном натяжении, том II). Эта разность должна быть уравновешена разностью давлений газа $\Delta P$ по разные стороны оболочки. В результате получим
\[
\frac{\Delta V}{V}=\frac{3}{2} \frac{(1-\mu) R}{E d} \Delta P \approx 5 \cdot 10^{-4} .
\]