1. Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силь. Следует различать и никоим образом не смешивать друг с другом моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки и относительно оси – разные понятия, хотя и связанные между собой. Момент вектора относительно точки сам есть вектор. Момент того же вектора относительно оси есть проекиия на эту ось его момента относительно точки, лежащей на той же оси. Таким образом, момент вектора относительно оси уже не является вектором. Начнем с рассмотрения моментов относительно точки.
Пусть $O$ – какая-либо точка, отРис. 56 носительно которой рассматривается момент вектора силы или вектора импульса. Ее называют началом или полюсом. Обозначим буквой $\mathbf{r}$ радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы $\mathbf{F}$ (рис. 56). Моментом силь $\mathbf{F}$ относительно точки $O$ называется векторное произведение радиуса-вектора $\mathbf{r}$ на силу $\mathbf{F}$ :
\[
\mathbf{M}=[\mathbf{r F}] .
\]

Из этого определения непосредственно следует, что момент $\mathbf{M}$ не изменится, если точку приложения силы $\mathbf{F}$ перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силь. Действительно, если точку приложения силы перенести из $A$ в $A^{\prime}$, то параллелограмм $O A B C$ перейдет в параллелограмм $O A^{\prime} B^{\prime} C$. Оба параллелограмма имеют общее основание $O C$ и общую высоту. Поэтому их площади равны, что и доказывает наше утверждение.

Моментом М нескольких сил относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки. Если линии действия сил $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots$ пересекаются в одной точке $A$, то по доказанному при вычислении момента М этих сил точки приложения

их можно перенести в точку $A$. Если $\mathbf{r}$ – радиус-вектор точки $A$, то, следовательно,
\[
\mathbf{M}=\left[\mathrm{rF}_{1}\right]+\left[\mathrm{rF}_{2}\right]+\ldots=[\mathrm{rF}],
\]

где $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots$ – геометрическая сумма сил $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots$, называемая их равнодействующей. Таким образом, в рассматриваемом случае момент всех действующих сил относительно некоторой точки равен моменту их равнодействующей относительно той же точки. Это справедливо и для параллельных сил, так как последние можно рассматривать как предельный случай пересекающихся сил (в бесконечно удаленной точке).

Доказанная теорема распространяется и на случай любой системы сил $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots$, линии действия которых лежат в одной плоскости. Действительно, при вычислении момента $\mathbf{M}$ силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ можно заменить их равнодействующей $\mathbf{F}_{12}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}$; силы $\mathbf{F}_{12}$ и $\mathbf{F}_{3}$ можно заменить их равнодействующей $\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{3}=\mathbf{F}_{123}=$ $=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}$ и т. д. В результате задача сведется к вычислению момента двух сил, лежащих в одной плоскости, а линии действия таких сил пересекаются в одной точке. Следовательно, если линии действия сил лежат в одной плоскости, то момент этих сил относительно точки равен моменту их равнодействующей относительно той же точки.

Отметим частный случай двух равных параллельных сил $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$, направленных в противоположные стороны. Такие силы образуют так называемую пару сил. В этом случае
\[
\mathbf{M}=\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{F}_{1}\right]+\left[\mathbf{r}_{2} \mathbf{F}_{2}\right]=\left[\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right) \mathbf{F}_{1}\right]=\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) \mathbf{F}_{2}\right],
\]
т. е. момент пары сил равен моменту одной из этих сил относительно точки приложения другой. Момент пары сил, очевидно, не зависит от выбора точки, относительно которой он берется. В частности, если равные и противоположно направленные силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ действуют вдоль одной и той же прямой, то они коллинеарны с вектором ( $\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}$ ), а потому момент $\mathbf{M}$ обращается в нуль.

Отметим, еще, что момент произвольной системы сил может быть сведен к сумме момента их равнодействующей и момента какой-то пары сил. Этим результатом мы нигде не будем пользоваться. При желании читатель сам может доказать его без особого труда или обратиться к курсам теоретической механики. Более существенно всегда иметь в виду, что перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия, равно как и любая замена исходной системы сил на другую с тем же моментом и равнодействующей, приводит к эквивалентной системе сил только в том случае, когда рассматриваемое тело можно (приближенно) рассматривать как идеально твердое. Действительно, твердое тело обладает шестью степенями свободы. Для описания его движения достаточно двух векторных уравнений: уравнения движения центра масс (19.3) и выводимого ниже уравнения моментов (30.5). Во всех остальных случаях, например при рассмотрении движения деформированных тел, системы сил с одинаковыми равнодействующими и моментами не эквивалентны.

Аналогично определяется момент импульса р материальной точки относительно точки или полюса $O$. Так называется векторное произведение
\[
\mathbf{L}=[\mathbf{r p}] .
\]

Для системы материальных точек моментом импульса относительно некоторого начала $O$ называется сумма моментов этих точек относительно того же начала.
2. Целесообразность введения моментов импульса и силы оправдывается тем, что они связаны между собой важным соотношением, которое называется уравнением моментов. Предположим сначала, что начало $O$ неподвижно. В случае одной материальной точки, дифференцируя выражение (30.3) по времени, получим $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{r} \mathbf{p}]+[\mathbf{r} \dot{\mathbf{p}}]$. Но при неподвижном начале $O$ импульс частицы р коллинеарен с ее скоростью $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}$. Кроме того, $\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F}$. Значит, $[\mathbf{r} \dot{\mathbf{p}}]=[\mathbf{r F}]=$ М. В результате имеем
\[
\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M} \text {. }
\]

Это и есть уравнение моментов для одной материальной точки. Оно справедливо как в ньютоновской, так и в релятивистской механике, так как при его выводе постоянство массы материальной точки не использовалось.

Распространим теперь уравнение (30.4) на систему материальных точек. Для этого напишем уравнение (30.4) для каждой точки, понимая под $\mathbf{M}$ момент всех действующих на нее сил, как внутренних, так и внешних. Затем сложим все эти уравнения. При таком сложении моменты внутренних сил исключатся. Действительно, внутренние силы входят в систему попарно: сила $\mathbf{F}_{i k}$, с которой $k$-я точка действует на $i$-ю, равна силе $\mathbf{F}_{k i}$, с которой $i$-я точка действует на $k$-ю. Эти силы направлены противоположно и действуют вдоль одной и той же прямой. Момент таких двух сил, а значит и моменты всех внутренних сил равны нулю. В результате получается уравнение моментов для системы материальных точек:
\[
\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}_{\text {внеш}},
\]
т. е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала $O$.
3. Если момент внешних сил относительно неподвижного начала О равен нулю, то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для изолированной системы материальных точек.

Важным является случай центральных сил, когда направления всех сил, действующих на материальные точки системы, проходят через неподвижный центр $O$. Момент таких сил относительно точки $O$ равен нулю. Поэтому момент импульса системы относительно точки $O$ должен сохраняться, т. е. оставаться постоянным во времени. И это справедливо даже тогда, когда силы зависят от скоростей.

Наряду с законами сохранения импульса и энергии закон сохранения момента импульса является одним из важнейших фундаментальных законов физики. В атомной физике понятие момента импульса должно быть обобщено. Это видно уже из того, что в классической механике момент импульса определен через координаты и скорости частиц, а эти величины, согласно принципу неопределенностей Гайзенберга, одновременно не могут иметь определенных значений в одном и том же состоянии. Кроме того, моментом импульса могут обладать не только частицы, но и силовые поля, например электромагнитное поле. Наконец, понятия и законы классической механики, как правило, применимы к процессам, происходящим внутри атомов, атомных ядер и элементарных частиц. При рассмотрении таких процессов не представляется возможности пользоваться классическими понятиями, к числу которых относится момент импульса как он был определен выше. Здесь можно только ограничиться замечанием, что в физике понятие момента импульса расширяется, но как это делается фактически, пока рассматривать преждевременно. Изучающий физику уже с самого начала должен иметь в виду, что физика обобщает механическое понятие момента импульса и постулирует закон его сохранения для всех физических процессов. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является теоремой механики, а должен рассматриваться как самостоятельный общефизический принцип, являющийся обобщением опытных фактов.

Можно было бы при изложении механики включить закон сохранения момента импульса для системы двух материальных точек в число основных постулатов, как это мы сделали с законом сохранения импульса для системы двух материальных точек. Тогда третий закон Ньютона следовало бы исключить из числа основных постулатов механики. В § 12 уже было показано, что этот закон только отчасти является следствием закона сохранения импульса. Однако если к закону сохранения импульса добавить еще закон сохранения его момента, то их этих двух законов можно получить третий закон Ньютона как их следствие. Действительно, рассмотрим замкнутую систему из двух материальных точек, взаимодействующих между собой с силами $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$. Из закона сохранения импульса следует

$\mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2}$, а из закона сохранения момента импульса
\[
\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{p}_{1}\right]+\left[\mathbf{r}_{2} \mathbf{p}_{2}\right]=\text { const. }
\]

Дифференцируя по времени это уравнение, получим
\[
\left[\mathbf{r}_{1} \dot{\mathbf{p}}_{1}\right]+\left[\mathbf{r}_{2} \dot{\mathbf{p}}_{2}\right]=0,
\]

или
\[
\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{F}_{1}\right]+\left[\mathbf{r}_{2} \mathbf{F}_{2}\right]=0 .
\]

Так как $\mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2}$, то
\[
\left[\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right) \mathbf{F}_{1}\right]=0 .
\]

Отсюда следует, что векторы $\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{F}_{1}$ коллинеарны. Коллинеарны также векторы $\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{F}_{2}$. Это значит, что силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие материальные точки.
4. Момент сил и момент импульса зависят не только от модуля и направления этих векторов, но и от положения начала. Оба момента, вообще говоря, изменятся, если перейти к новому началу. Пусть $O$ и $O^{\prime}$ – два неподвижных начала. Радиусы-векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$ одной и той же точки относительно этих начал связаны соотношением
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{R},
\]

где $\mathbf{R}=\overrightarrow{O^{\prime} O}$ – радиус-вектор начала $O$ относительно $O^{\prime}$. Написав выражения для моментов импульсов каждой материальной точки системы и просуммировав эти выражения по всем материальным точкам, получим
\[
\sum[\mathbf{r} m \mathbf{v}]=\sum\left[\mathbf{r}^{\prime} m \mathbf{v}\right]-\left[\mathbf{R} \sum m \mathbf{v}\right]
\]

или
\[
\mathbf{L}=\mathbf{L}^{\prime}-[\mathbf{R p}],
\]

где $\mathbf{p}$ – полный импульс системы, $\mathbf{L}$ и $\mathbf{L}^{\prime}$ – моменты ее импульса относительно начала $O$ и $O^{\prime}$ соответственно. Если импульс р равен нулю, то $\mathbf{L}=\mathbf{L}^{\prime}$. В этом случае вектор момента импульса системы не зависит от выбора начала.
Аналогично
\[
\mathbf{M}=\mathbf{M}^{\prime}-[\mathbf{R F}],
\]

где $\mathbf{M}$ и $\mathbf{M}^{\prime}$ – моменты сил, действующих на систему, относительно начал $O$ и $O^{\prime}$, а $\mathbf{F}$ – геометрическая сумма этих сил. Если результирующая сила $\mathbf{F}$ равна нулю, то $\mathbf{M}=\mathbf{M}^{\prime}$. Это имеет место, например, для пары сил. Вот почему можно говорить о моменте пары сил, не указывая начала, относительно которого этот момент берется.