Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Энергия, импульс или момент импульса механической системы являются функциями ее координат и скоростей. Если система замкнута, то эти величины сохраняются, т. е. не меняются с течением времени. Если же система не замкнута, а параметры, определяющие ее состояние, изменяются во времени, то указанные величины, вообще говоря, также изменяются. Возьмем, например, математический маятник, нить которого перекинута через гвоздь. Параметрами здесь являются длина нити $l$ и ускорение свободного падения $g$. Можно тянуть за свободный конец нити, уменьшая или увеличивая $l$. При этом над маятником совершается внешняя работа, а потому энергия его изменяется. Можно также менять ускорение свободного падения, поднимая или опуская маятник над земной поверхностью. Среди различных изменений внешних параметров играют свободную роль бесконечно медленные изменения, называемые адиабатическими*). При этом параметры, сколь бы медленно они не менялись, могут принимать любые значения, лежащие в допустимых пределах. Для изменения их на конечные величины требуется лишь достаточно длительное время. Изменения параметров системы, даже медленные, влекут за собой и изменения других физических величин. Так, энергия системы, как уже отмечалось, не остается постоянной, поскольку во время изменения параметров над системой производится работа. Но могут встречаться и такие величины, которые остаются постоянными или приблизительно постоянными из-за медленности изменения параметров. Функции координат, скоростей и параметров системы, остающиеся постоянными при бесконечно медленных изменениях параметров, называются адиабатическими инвариантами. Это определение в дальнейшем будет уточнено, поскольку само понятие «медленности» нуждается в уточнении. Адиабатические инварианты играли большую роль в старой полуклассической теории атома Бора. Но они имеют важное значение и в других разделах физики. *) В термодинамике термин «адиабатический» применяется в другом смысле. Адиабатическим называют процесс, происходящий без подвода и отвода теплоты. ся к этому случаю, если ввести обозначение $k=m g / l$. Каким образом производится изменение жесткости или величин, ей эквивалентных, — это не имеет значения, пока задача трактуется как чисто математическая. Для ее производной по времени можно написать Выражение в скобках обращается в нуль, так как $\dot{x}=v$, действующая сила $F=-k x$ и по закону Ньютона $m \dot{v}=F$. Введя еще потенциальную энергию $U=1 / 2 k x^{2}$, получим До сих пор наши вычисления были точными. Используем теперь медленность изменения параметра $k$ и его производной $\dot{k}$. Медленность означает, что и при изменяющемся $k$ движение попрежнему будет носить характер колебаний. Только «период» этих колебаний $T$, а также положение крайних точек, достигаемых осциллятором, будут слегка меняться от колебания к колебанию. Иными словами, за каждое колебание параметр $k$ должен изменяться очень мало. Это обычное представление о медленности. Но в нашей задаче его недостаточно. Надо на изменения $k$ и его производной наложить дополнительное ограничение, потребовав, чтобы за каждый период колебания величина $\dot{k} / k$ оставалась почти постоянной. Точнее, это требование сводится к тому, чтобы на каждом периоде колебания отношение $\dot{k} / k$ могло быть представлено в виде где $(\dot{k} / k)_{0}$ — значение этого отношения в какой-либо точке рассматриваемого периода, например в его середине, а $\alpha$ — поправка, стремящаяся к нулю при $\dot{k} \rightarrow 0$. Имея это в виду, проинтегрируем выражение (43.1) в пределах от $t$ до $t+T(k)$ для произвольного момента времени $t$. Получим Здесь $\beta$ — поправка, обращающаяся в нуль при $\dot{k} \rightarrow 0$. (Переменная интегрирования обозначена через $t^{\prime}$, чтобы не смешивать ее с нижним пределом $t$.) Входящий сюда интеграл достаточно вычислить в нулевом приближении, т. е. считать при вычислении, что за время $T$ параметр $k$ не меняется. Возникающая вследствие этого ошибка в выражении для $\Delta E$ будет второго или высшего порядка малости по $\dot{k}$. По той же причине можно отбросить поправку $\beta$. Наконец, можно опустить индекс нуль в множителе перед интегралом $(\dot{k} / k)_{0}$. Иными словами, можно написать где интеграл (но не множитель перед интегралом) вычисляется в предположении постоянства $k$. При вычислении интеграла момент времени $t$ можно принять за начало отсчета времени, т. е. положить $t=0$. Это, конечно, не изменит результата. При $k=$ const координата $x$ совершает гармонические колебания $x=x_{0} \cos (\omega t+\delta)$, а потому так как полная энергия равна $E=1 / 2 k x_{0}^{2}$. Используя полученное выражение и выполняя интегрирование, получим Произведение $T \dot{k}$ с точностью до величин высшего порядка малости по $\dot{k}$ дает приращение $\Delta k$ параметра $k$ за период $T$. Таким образом, вместо (43.4) можно написать Приращение $\Delta k$ за период колебаний может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому если энергию $E$ рассматривать как функцию параметра $k$, то в пределе приближенное соотношение (43.5) перейдет в точное дифференциальное уравнение Интегрируя это уравнение, получим а потому Используя формулы (40.3) и (40.4), из этого соотношения получим еще два других: нического осииллятора являются адиабатическими инвариантами. При этом период колебания $т$ и частота $\omega$, входящие в эти соотношения, должны вычисляться так, как если бы при колебаниях параметр $k$ оставался постоянным, т. е. по формулам (40.3) и (40.4). Например, в случае медленного укорочения нити математического маятника, совершающего малые колебания, его период $T$ медленно уменьшается от колебания к колебанию. Одновременно энергия колебаний возрастает таким образом, что произведение $E T$ остается постоянным. где $\bar{K}$ — кинетическая энергия системы, усредненная по времени за период колебания (черта как раз и означает такое усреднение), т. е. В случае гармонических колебаний, как нетрудно доказать, средние за период значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, а потому на каждую из них приходится половина полной энергии, т. е. $\bar{K}=\bar{U}=1 / 2 E$. Тогда формула (43.9) переходит в ранее полученную формулу (43.7). Подставим выражение (43.10) в формулу (43.9) и примем во внимание, что $K=1 / 2 m v^{2}, p=m v, d q=v d t$, где $d q$ — приращение координаты, определяющей положение математической точки. Тогда получится причем интегрирование ведется по полному периоду движения материальной точки в предположении, что параметры, характеризующие систему, закреплены. Общее доказательство соотношения (43.11) основано на уравнениях механики в форме Гамильтона. Мы его приводить не будем. Ограничимся только двумя примерами. Разделив это соотношение на $K=1 / 2 m v^{2}$ и пренебрегая квадратом малой скорости $u$, получим Посмотрим теперь, как меняется период колебаний шарика $T$ в результате движения поршня. Под периодом $T$ мы понимаем время движения шарика туда и обратно, вычисленное в предположении, что во время такого движения поршень закреплен. Если $l$ — расстояние между поршнем и дном цилиндра во время этого движения, то $T=2 l / v$. Спустя время $T$ расстояние $l$ возрастает на $u T$, а скорость шарика уменьшается на $2 u$. Период колебаний в только что указанном смысле изменится и сделается равным или, пренебрегая квадратом малой скорости $u$, Таким образом, за время $T$ период получает приращение В пределе, когда поршень движется бесконечно медленно, приращения $\Delta T$ и $\Delta K$ могут рассматриваться как бесконечно малые дифференциалы, и мы получаем уравнение Интегрируя его, находим где $l$ — расстояние между поршнем и дном цилиндра. Интеграл надо вырчислить в предположении, что поршень закреплен, т. е. при постоянном l. Вычисление дает где $v_{2}$ — скорость шара в нижнем положении. Таким образом, надо доказать, что разность $v_{2}^{3}-v_{1}^{3}$ является адиабатическим инвариантом. Для этого вычислим значения скоростей $v_{1}$ и $v_{2}$ спустя период $T$. Обозначим эти значения через $v_{1}^{\prime}$ и $v_{2}^{\prime}$ соответственно. Разумеется, вычисление надо по-прежнему провести для неподвижного поршня, но переместившегося в новое Рис. 107 положение. За период $T$ поршень переместится вверх на расстояние $u T$. Шар пройдет это расстояние за время $\Delta T=u T / v_{1}$ (если пренебречь величинами более высокого порядка малости). При этом под действием силы тяжести его скорость уменьшится на $g \Delta T=g u T / v_{1}$. Кроме того, при отражении движущегося поршня эта скорость дополнительно уменьшается на $2 u$. Поэтому так как На уровне $A B$ скорость шара будет $v_{1}^{\prime \prime}=v_{1}-2 u$, а около дна цилиндра если пренебречь квадратом $u$. Извлекая квадратный корень и снова пренебрегая $u^{2}$, получим С той же степенью точности Значит, $v_{2}^{\prime 3}-v_{1}^{\prime 3}=v_{2}^{3}-v_{1}^{3}$ или $J^{\prime}-J=0$, причем это соотношение верно с точностью до членов порядка $u^{2}=\dot{l}^{2}$. Разделив его на время $T$ и отождествив частное $\left(J^{\prime}-J\right) / T$ с производной $d J / d t$, получим где $A$ от $i$ не зависит. Имея в виду, что нас интересуют изменения величины $J$ при конечных изменениях $l$, преобразуем это соотношение, введя вместо дифференциала времени дифференциал длины $d l=i d t$. Тогда получится или в пределе при $i \rightarrow 0$ Следовательно, $J=$ const, как бы велики ни были изменения параметра $l$, т. е. величина $J$ является адиабатическим инвариантом. Такая адиабатическая инвариантность получилась благодаря тому, что производная $d J / d t$ оказалась пропорциональной второй, а не первой степени $i$. Если бы $d J / d t$ была пропорциональна первой степени производной $\dot{l}$, то адиабатической инвариантности $J$ не получилось бы. 2. Шарику массой $m$, надетому на тонкую стальную спицу, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с $m$, сообщена продольная скорость в направлении к точке закрепления спицы, а также скорость в перпендикулярном направлении. Предполагая, что за период колебания шарика его смещение вдоль спицы мало по сравнению с ее длиной, и пренебрегая трением, определить характер последующего движения шарика. Решение. Если $v_{\perp}$ — поперечная скорость шарика, то величина $v_{\perp}^{2} T$ является адиабатическим инвариантом. Период $T$ пропорционален расстоянию $l$ шарика от точки закрепления спицы (см. задачу 20 к § 42). Поэтому адиабатическим инвариантом будет также $A=v_{\perp}^{2} l$. Кроме того, движение шарика подчиняется закону сохранения энергии, который требует, чтобы полная скорость шарика $v$ сохранялась по абсолютной величине. Если $v_{\|}-$ скорость шарика вдоль спицы, то $v^{2} \equiv v_{\|}^{2}+v_{\perp}^{2}=$ const. Таким образом, величина $A=\left(v^{2}-v_{\|}^{2}\right) l$ есть адиабатический инвариант. На расстоянии $l_{0}$, при котором $v^{2} l_{0}=A$, продольная скорость $v_{\|}$обратится в нуль. Поэтому шарик не может подойти к точке закрепления ближе расстояния $l_{0}$. Достигнув положения $l=l_{0}$, он должен отразиться.
|
1 |
Оглавление
|