В предыдущих параграфах три закона Кеплера были приняты за исходные. Пользуясь ими, мы пришли к закону всемирного тяготения Ньютона. Теперь поступим наоборот. Примем, что на планету со стороны Солнца действует сила тяготения, подчиняющаяся закону Ньютона. Найдем движение планеты под действием такой силы. Массу Солнца будет считать бесконечно большой по сравнению с массой планеты. К такому случаю сводится и общий случай, когда это условие не выполняется (см. § 59). Возьмем полярную системы координат ( $r, \varphi$ ), полюс которой поместим в центре Солнца. Скорость планеты $v$ можно разложить на радиальную скорость $v_{r}=\dot{r}$ и перпендикулярную к ней азимутальную скорость $v_{\varphi}=r \dot{\varphi}$. Очевидно, $v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}$. Законы сохранения энергии и момента импульса планеты запишем в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)-G \frac{M}{r}=\varepsilon, \\
\frac{1}{2} r^{2} \dot{\varphi}^{2}=\sigma,
\end{array}
\]

где $M$ – масса Солнца, $\varepsilon$ – полная энергия планеты, приходящаяся на единицу ее массы, $\sigma$ – секториальная скорость, остающаяся постоянной во время движения. Для нахождения уравнения траектории планеты исключим время. Считая $r$ функцией $\varphi$, имеем $\dot{r}=\frac{d r}{d \varphi} \dot{\varphi}$. Подставляя это значение в уравнение (62.1) и исключая $\dot{\varphi}$ с помощью уравнения (62.2), получим
\[
\left(\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}=\frac{1}{2 \sigma^{2}}\left(\varepsilon+G \frac{M}{r}\right) .
\]

Введем новую переменную $\rho=-1 / r+1 / p, p-$ постоянная, значение которой будет установлено ниже. Тогда уравнение (62.3) примет вид
\[
\left(\frac{d \rho}{d \varphi}\right)^{2}+\left(\rho-\frac{1}{p}\right)^{2}=\frac{\varepsilon}{2 \sigma^{2}}+G \frac{M}{2 \sigma^{2}}\left(-\rho+\frac{1}{p}\right) .
\]

Подберем постоянную $p$ так, чтобы в этом уравнении исчезали члены, содержащие первые степени $\rho$. Для этого надо положить
\[
p=\frac{4 \sigma^{2}}{G M} \text {. }
\]

При таком выборе постоянной $p$ получим
\[
\left(\frac{d \rho}{d \varphi}\right)^{2}=\frac{\varepsilon}{2 \sigma^{2}}+\frac{1}{p^{2}}-\rho^{2} .
\]

Поскольку слева стоит неотрицательная величина, постоянная величина $1 / p^{2}+\varepsilon / 2 \sigma^{2}$ также неотрицательна, ее можно обозначить через $A^{2}$ :
\[
A^{2}=\frac{1}{p^{2}}+\frac{\varepsilon}{2 \sigma^{2}} .
\]

В результате получим
\[
\left(\frac{d \rho}{d \varphi}\right)^{2}=A^{2}-\rho^{2} .
\]

Очевидно, $A^{2} \geqslant \rho^{2}$, а потому можно положить $\rho / A=\cos \Theta$, где $\Theta-$ новая неизвестная. Тогда
\[
A^{2}-\rho^{2}=A^{2} \sin ^{2} \Theta, \frac{d \rho}{d \varphi}=-A \sin \Theta \frac{d \Theta}{d \varphi} .
\]

Подставляя в (62.6) и сокращая на $A \sin \Theta$, получим $\frac{d \Theta}{d \varphi}= \pm 1$, откуда $\Theta= \pm \varphi+\varphi_{0}$. Следовательно, $\rho=A \cos \left( \pm \varphi+\varphi_{0}\right)=A \cos \left(\varphi \pm \varphi_{0}\right)$. В последнем выражении двойной знак перед $\varphi_{0}$ сохранять не имеет смысла, поскольку $\varphi_{0}$ есть постоянная интегрирования. Возвращаясь к прежним обозначениям, получим
\[
\frac{1}{r}=\frac{1}{p}\left[1-e \cos \left(\varphi+\varphi_{0}\right)\right]
\]

где
\[
e=p A=\sqrt{1+\frac{\varepsilon p^{2}}{2 \sigma^{2}}}=\sqrt{1+\frac{8 \varepsilon \sigma^{2}}{G^{2} M^{2}}} .
\]

Без ограничения общности можно положить $\varphi_{0}=0$. Это означает просто, что отсчет углов $\varphi$ ведется от такого положения радиуса-вектора планеты, когда его длина равна $\frac{p}{(1-e)}$. При таком отсчете уравнение (62.7) принимает вид
\[
r=\frac{p}{(1-e \cos \varphi)}+
\]

Это – уравнение конического сечения с эксцентриситетом $e$ и параметром p. Если $\varepsilon<0$, то $e<1$ (эллипс); если $\varepsilon=0$, то $e=1$ (парабола); если $\varepsilon>0$, то $e>1$ (гипербола). Мы пришли к результатам, полученным в § 57 иным путем. Нетрудно теперь вычислить остальные параметры орбиты и в случае эллиптического движения получить третий закон Кеплера. Однако все эти вычисления уже были проделаны ранее, и в новых вычислениях нет необходимости.