1. Векторное уравнение (30.5) эквивалентно трем скалярным уравнениям
\[
\frac{d L_{x}}{d t}=M_{x}^{\text {внеш }}, \quad \frac{d L_{v}}{d t}=M_{y}^{\text {внеш }}, \quad \frac{d L_{z}}{d t}=M_{z}^{\text {внеш }},
\]

которые получаются из уравнения (30.5) путем проецирования на неподвижные оси декартовой системы координат. Индекс «внеш», указывающий на то, что при вычислении момента сил внутренние силы могут не приниматься во внимание, в дальнейшем обычно будет опускаться. Таким образом, под М в уравнении моментов всегда будет подразумеваться момент внешних сил. Величины $L_{x}$ и $M_{x}$ называются соответственно моментами импульса и сил относительно оси $X$. Аналогично говорят о моментах импульса и сил относительно координатных осей $Y$ и $Z$.

Вообще, моментами $L_{x}$ и $M_{x}$ импульса и сил относительно произвольной оси $X$ называют проекции векторов $\mathbf{L}$ и $\mathbf{M}$ на эту ось в предположении, что начало $O$ лежит на рассматриваемой оси.
Уравнение
\[
\frac{d L_{x}}{d t}=M_{x}
\]

называется уравнением моментов относительно неподвижной оси $X$. Когда момент внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным. Это – закон сохранения импульса относительно неподвижной оси.
2. Чтобы выяснить геометрический смысл момента $M_{x}$, представим векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{F}$ в виде
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{\perp}+\mathbf{r}_{\|}, \quad \mathbf{F}=\mathbf{F}_{\perp}+\mathbf{F}_{\|} .
\]

Здесь $\mathbf{r}_{\perp}$ – составляющая вектора $\mathbf{r}$, перпендикулярная к оси $X$, а $\mathbf{r}_{\|}$- составляющая того же вектора, параллельная этой оси. Аналогичный смысл имеют векторы $\mathbf{F}_{\perp}$ и $\mathbf{F}_{\|}$. Используя эти разложения, можно написать
\[
\mathbf{M}=[\mathbf{r F}]=\left[\mathbf{r}_{\perp} \mathbf{F}_{\perp}\right]+\left\{\left[\mathbf{r}_{\perp} \mathbf{F}_{\|}\right]+\left[\mathbf{r}_{\|} \mathbf{F}_{\perp}\right]\right\}+\left[\mathbf{r}_{\|} \mathbf{F}_{\|}\right] .
\]

Последний член как векторное произведение параллельных векторов равен нулю. Сумма, заключенная в фигурные скобки, есть вектор, перпендикулярный к оси $X$. При проецировании на эту ось он даст нуль. Таким образом, составляющая вектора $\mathbf{M}$, параллельная оси $X$, равна
\[
\mathbf{M}_{\|}=\left[\mathbf{r}_{\perp} \mathbf{F}_{\perp}\right] .
\]

Только эта составляющая и играет роль при нахождении момента $M_{x}$ относительно оси $X$. Аналогично при нахождении проекции $L_{x}$ достаточно проецировать только параллельную слагаемую вектора $\mathbf{L}$ :
\[
\mathbf{L}_{\|}=\left[\mathbf{r}_{\perp} \mathbf{p}_{\perp}\right] .
\]

Изложенное тривиальным образом обобщается на случай системы нескольких сил и системы нескольких материальных точек.

Назовем плечом силы относительно некоторой оси кратчайшее расстояние между осью и линией действия силы. Тогда момент силы относительно той же оси может быть определен как взятое с надлежащим знаком произведение перпендикулярной составляющей силы на соответствующее плечо. Такое определение момента дается в элементарной физике. Так как точку приложения силы можно перемещать произвольно вдоль линии ее действия, то это определение согласуется с определением, которое было приведено выше. Это видно из рис. 58 , где предполагается, что ось перпендикулярна к плоскости рисунка и проходит через полюс $O$.
Рис. 58

Аналогично момент импульса материальной точки относительно оси можно определить как взятое с надлежащим знаком произведение слагающей импульса, перпендикулярной к этой оси, на соответствующее плечо.