1. Пусть два тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ сталкиваются между собой и соединяются в одно – составное – тело. Примером может служить слипание двух глиняных шаров при столкновении их между собой. Другим примером является химическая реакция, в которой два атома или ядра соединяются в молекулу. Требуется определить массу составного тела $m$, зная массы $m_{1}$ и $m_{2}$ соединяющихся тел. На первый взгляд ответ кажется тривиальным, а именно $m=m_{1}+m_{2}$. Хотя это в какой-то мере и правильно, но требует обоснования. Обоснование в механике Ньютона можно дать на основе принципа относительности Галилея.

Рассмотрим процесс столкновения в какой-либо инерциальной системе отсчета $S$. Обозначим через $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ скорости тел до столкновения, а через $\mathbf{v}$ – скорость составного тела после столкновения. На основании закона сохранения импульса можно написать
\[
m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}=m \mathbf{v} .
\]

Рассмотрим теперь тот же процесс в системе отсчета $S^{\prime}$, движущейся относительно системы $S$ прямолинейно и равномерно со скоростью V. Согласно принципу относительности закон сохранения импульса справедлив также в системе $S^{\prime}$ и записывается в виде
\[
m_{1} \mathbf{v}_{1}^{\prime}+m_{2} \mathbf{v}_{2}^{\prime}=m \mathbf{v}^{\prime} .
\]

Ввиду полного равноправия инерциальных систем отсчета массы всех тел в системе $S^{\prime}$ такие же, какими они были в системе $S$. В нерелятивистской физике скорости $\mathbf{v}_{1}^{\prime}, \mathbf{v}_{2}^{\prime}$ и $\mathbf{v}^{\prime}$ в системе $S^{\prime}$ связаны с соответствующими скоростями в системе $S$ соотношениями
\[
\mathbf{v}_{1}^{\prime}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}, \quad \mathbf{v}_{2}^{\prime}=\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}, \quad \mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{v}-\mathbf{v} .
\]

Поэтому (16.2) преобразуется в
\[
m_{1}\left(\mathbf{v}_{1}-\mathbf{V}\right)+m_{2}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{V}\right)=m(\mathbf{v}-\mathbf{V}),
\]

или на основании соотношения (16.1)
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right) \mathbf{V}=m \mathbf{V} .
\]

Отсюда ввиду произвольности $\mathbf{V}$
\[
m=m_{1}+m_{2} .
\]

Масса составного тела, как мы и ожидали, равна сумме масс составляющих тел. Это свойство называется аддитивностью массы.

Доказательство может быть обобщено. Нет необходимости предполагать, что сталкиваются только два тела и что после столкновения они соединяются в одно тело. Можно взять, например, произвольную химическую реакцию, в которой реагирует несколько молекул или атомов, а в результате реакции получается несколько других молекул или атомов. Тогда, повторяя рассуждения, приведшие нас к соотношению (16.3), мы придем к более общему заключению, что сумма масс веществ до реакиии равна сумме масс веществ после реакиии. Это закон сохранения вещества или, точнее, закон сохранения массы. Масса пропорциональна весу. Поэтому этот закон называли также законом сохранения веса. Такое название применялось в старой литературе, но оно неудачно и теперь почти вышло из употребления. Однако Ломоносов (1711-1765) и Лавуазье (1743-1794), с именами которых обычно связывают утверждение в науке закона сохранения вещества, пришли к своему открытию на основании опытов по взвешиванию продуктов химических реакций. Поэтому то, что непосредственно доказали эти ученые, есть именно «закон сохранения веса».
2. Ньютон определил массу тела как количество вещества, содержащегося в нем. Такое определение бессодержательно, пока не указано, что следует понимать под «количеством вещества». Ньютон просто заменил термин «количество вещества» новым термином «масса», не дав ни одному из них точного определения. Однако с ньютоновским определением массы интуитивно связано представление об ее аддитивности. Если, например, две одинаковые гири с массами 1 кг каждая соединить в одну, то «интуитивно ясно», что получится гиря с массой 2 кг, ибо «количество вещества» в двух гирях вдвое больше, чем в одной из них. Интуиция является мощным источником научного творчества. Но в науке она не может служить доказательством. Доказательство должно основываться на точных определениях и законах природы. Точное определение понятия массы было дано в § 10. Если пользоваться только этим определением, то совсем не очевидно, что масса является величиной аддитивной. Необходимость доказательства этого свойства следует уже из того, что аддитивность и закон сохранения массы вещества верны лишь приближенно. В самом деле, этот закон мы получили как следствие галилеева принципа относительности. Но галилеев принцип относительности не есть вполне точный закон природы – он является приближенным предельным случаем эйнштейновского принципа относительности. Поэтому приведенное выше рассуждение должно быть пересмотрено – в основу его надо положить не галилеев, а эйнштейнов принцип относительности. Это будет сделано в т. IV при изложении теории относительности. Сейчас же мы ограничимся сообщением основного результата ввиду его фундаментального значения. Закон сохранения массы в старом его понимании – сумма масс тел до реакции равна сумме масс тел после реакции – оказывается неверным. Законы сохранения массы и энергии, которые в дорелятивистской физике считались двумя независимыми точными законами природы, в релятивистской физике утратили свою независимость и были объединены в единый закон сохранения массы – энергии. Всякая энергия обладает массой, равной количеству энергии, деленному на квадрат скорости света в вакууме. К такому заключению мы уже пришли в частном случае лучистой энергии (см. конец § 13). В балансе массы должна учитываться не только масса вещества, но и масса выделяющейся или поглощающейся энергии. Во всех процессах природы сумма массы вещества и энергии остается постоянной.

То обстоятельство, что в химических реакциях не было обнаружено изменение массы вещества, связано с их относительно очень малым энергетическим выходом. Изменение массы за счет выделения или поглощения энергии столь мало, что его обнаружение находится за пределами точности измерений. Так, при сгорании 12 г углерода с образованием углекислого газа $\mathrm{CO}_{2}$ выделяется около 99 ккал тепла. В эргах величина равна $\varepsilon=99 \cdot 4,19 \cdot 10^{10} \approx 4 \cdot 10^{12}$ эрг. По формуле (13.2) ей соответствует масса
\[
\Delta m \approx \frac{4 \cdot 10^{12}}{9 \cdot 10^{20}} \approx 0,5 \cdot 10^{-8} \mathrm{r} .
\]

Полная масса веществ, участвующих в реакциях, равна $m=12+32=44$ г. Поэтому
\[
\frac{\Delta m}{m}=\frac{0,5 \cdot 10^{-8}}{44} \approx 10^{-10} .
\]

Чтобы обнаружить взвешиванием изменение массы вещества при химических реакциях, необходима относительная точность измерений не менее $10^{-10}$.

Энергетический выход ядерных реакций в миллионы раз больше, чем химических реакций. На ядерных реакциях соотношение между массой и энергией (13.2) подтверждено экспериментально. В ядерной физике и физике элементарных частиц это соотношение играет исключительную роль.