1. Положение точки в пространстве можно задать тремя прямоугольными координатами $x, y, z$. Но это можно сделать и иначе. Например, вместо прямоугольных можно взять полярные или какиелибо другие координаты. Существенно, однако, что при любом выборе число независимых координат, требующихся для однозначного определения положения точки, которая может перемещаться в пространстве как угодно, равно трем. Про такую точку говорят, что она обладает тремя степенями свободы.

Может случиться, что перемещение точки в заданных условиях не может быть каким угодно. Рассмотрим, например, маленький шарик, привязанный к концу нерастяжимой нити, другой коней которой закреплен (математический маятник). Если нить натянута, то шарик может перемещаться только по поверхности сферы с центром в точке закрепления. Можно привести много других примеров, в которых материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В подобных случаях говорят, что на ее движение наложены связи. Координаты $x, y, z$ такой точки должны удовлетворять соотношению вида $f(x, y, z)=0$, которое является уравнением рассматриваемой поверхности. Ввиду этого независимыми остаются только две координаты, например $x$ и $y$. Третья координата $z$ может быть вычислена из уравнения связей $f(x, y, z)=0$. В этих случаях говорят, что такая точка обладает двумя степенями свободы.

Если точка может перемещаться только вдоль какой-либо заданной кривой, то число независимых координат, требующихся для определения ее положения, снижается до одного. За координату можно принять, например, расстояние материальной точки от какой-либо точки рассматриваемой кривой, отсчитанное вдоль этой кривой. В таких случаях говорят, что точка обладает одной степенью свободы.
2. Все сказанное без труда обобщается на случай механической системы, состоящей из произвольного числа $n$ материальных точек. Если эти точки могут перемещаться без всяких ограничений, то для определения мгновенного положения их надо задать $3 n$ координат (по три координаты для каждой точки). В этом случае говорят, что система обладает $3 n$ степенями свободы. В некоторых задачах, однако, свобода перемещения материальных точек ограничена. На $3 n$ координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Для однозначного определения положения всех материальных точек системы достаточно знать меньшее число координат. Обозначим его через $f$. Остальные $3 n-f$ координат могут быть вычислены из уравнений связи. Не обязательно в качестве независимых координат брать прямоугольные координаты. Для этой цели могут быть использованы любые $f$ величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f}$, заданием которых положение материальных точек системы определяется однозначно. Такие величины называются обобщенными координатами. Движение системы определится полностью, если обобщенные координаты будут найдены как функции времени. Производные обобщенных координат по времени $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ называются обобщенными скоростями. Так, при вращении материальной точки по окружности ее положение можно задать значением центрального угла $\varphi$, который радиус-вектор вращающейся точки образует с положением его в некоторый момент времени (например, в момент $t=0$ ). Обобщенная скорость в этом случае $\omega=\dot{\varphi}$ имеет смысл угловой скорости вращающейся точки.

Обобщенные координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f}$ могут быть выбраны как угодно, лишь бы они в любой момент времени полностью определяли положение механической системы. Однако число независимых обобщенных координат $f$ во всех случаях будет одно и то же. Оно называется числом степеней свободы системы.
3. Определим, например, число степеней свободы идеально твердого тела. Идеально твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени. Докажем, что идеально твердое тело, если на его движение не наложены никакие ограничения, обладает шестью степенями свободы. Действительно, чтобы однозначно определить положение твердого тела, достаточно задать положение каких-либо трех его точек $A, B, C$, не лежащих на одной прямой (рис. 20). Для доказательства возьмем произвольную четвертую точку тела $D$. Расстояния $A D, B D$ и $C D$ для рассматриваемого твердого тела могут считаться известными, так как при любых движениях эти расстояния не изменяются. Кроме того, следует учесть, что при любых движениях твердого тела точка $D$ все время должна находиться по одну и ту же сторону плоскости треугольника $A B C$, никогда не пересекая ее. Чтобы определить положение в пространстве точки $D$, построим по заданным длинам $A C, A D, C D$ треугольник $A D C$. Его основание $A C$ в пространстве фиксировано. Чтобы найти положение вершины $D$, будем вращать треугольник $A D C$ вокруг основания $A C$, пока вершина $D$ не окажется на заданном расстоянии от третьей точки $B$. Этому условию удовлетворяют две точки $D$ и $D^{\prime}$. Но вторая из них не удовлетворяет условиям задачи, так как Рис. 20 она находится не с той стороны от плоскости треугольника $A B C$. Таким образом, зная положение трех точек $A, B, C$, можно геометрическим построением найти положение любой другой точки твердого тела.

Положение трех точек $A, B, C$ можно задать их прямоугольными координатами $x_{A}, y_{A}, z_{A} ; x_{B}, y_{B}, z_{B} ; x_{C}, y_{C}, z_{C}$. Эти девять координат, однако, не независимы, а связаны тремя соотношениями
\[
\begin{array}{l}
\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}+\left(z_{A}-z_{B}\right)^{2}=A B^{2}=\mathrm{const}, \\
\left(x_{B}-x_{C}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{C}^{2}+\left(z_{B}-z_{C}\right)^{2}=B C^{2}=\mathrm{const},\right. \\
\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{C}-z_{A}\right)^{2}=C A^{2}=\mathrm{const},
\end{array}
\]

поскольку длины $A B, B C$ и $C A$ не изменяются. Независимых координат остается только шесть – твердое тело имеет шесть степеней свободы.

При ограничении свободы движения число степеней свободы твердого тела уменьшается. Так, твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки и имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы. Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы становится равным двум и т.д.