По мысли Ньютона, вес тел на Земле является проявлением силы гравитационного притяжения между рассматриваемым телом и Землей*). Для проверки этой идеи Ньютон сравнил ускорение свободного падения тел у поверхности Земли с ускорением Луны на орбите, по которой она движется относительно Земли.

Допустим, что вещество внутри земного шара распределено сферически симметрично, т. е. его плотность зависит только от расстояния до центра Земли. В этом случае, как было показано в § 55, Земля создает во внешнем пространстве такое же гравитационное поле, что и материальная точка той же массы, помещенная в центре Земли. Если верна гипотеза Ньютона, то ускорение свободного падения $g_{\text{абс }}$ на расстоянии $r$ от центра Земли должно определяться формулой
$$g_{\text{абс }}=G\frac{M}{r^2},$$

где $M$ — масса Земли. Той же формулой должно определяться ускорение Луны $a_{\text{Л }}$ на ее орбите:
$$a_{\mathrm{JI}}=G\frac{M}{R^2},$$

где $R$ — радиус лунной орбиты. Таким образом,
$$g_{\text{абс }}=a_{\mathrm{JI}}{\left(\frac{R}{r}\right)}^2.$$

Если $a_{\text{Л }}$ известно, то с помощью этой формулы можно вычислить ускорение свободного падения $g_{\text{абс }}$ на поверхности Земли. Это и было сделано Ньютоном.

Ускорение Луны $a_{\text{Л }}$ можно вычислить, зная $R$ и период обращения Луны по ее орбите $T$ (относительно звезд). Эти величины равны соответственно $R=3,844\cdot {10}^5\mathrm{к}\mathrm{м},T=27,32$ суток. Используя их, находим
$$a_{\mathrm{I}}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}R=0,2723\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2.$$

Средний радиус земного шара $r$, определяемый из условия, чтобы величина $4/3\pi r^3$ равнялась объему Земли, равен $r=6371$ км. Подставляя эти данные в формулу (60.3), получим $g_{\text{абс }}=991,4\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2$. Эта величина близка к экспериментальным значениям: на полюсе $g_{\text{абс }}=983,2\mathrm{c}\mathrm{м}/{\mathrm{c}}^2$, на экваторе $g_{\text{абс }}=981,4\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2$. Близкое совпадение может рассматриваться как подтверждение гипотезы Ньютона.
*) Сила веса, о которой идет речь в этом утверждении, строго говоря, равна силе гравитационного притяжения только в том случае, когда взвешивание производится на весах, покоящихся или не имеющих ускорения относительно инерциальной системы отсчета(см. § 66)

Небольшое расхождение обусловлено, главным образом, тем, что мы не учли движение самой Земли. Формула (60.4) дает ускорение Луны относительно Земли ( ${a_{Л})}_{\text{отн }}$, тогда как в формулу (60.3) должно входить ускорениеЛуны относительно инерциальной системы отсчета ${\left(a_{\text{Л }}\right)}_{\text{абс }}$. Согласно формуле (59.4) эти ускорения связаны между собой соотношением
$${\left(a_{\text{Л}}\right)}_{\text{отн }}=(1+\frac{m}{M}){\left(a_{\text{Л }}\right)}_{\text{абс }},$$

где $m$ — масса Луны. Следовательно, вычисленное выше значение $g_{\text{абс }}$ надо уменьшить в $(1+m/M)$ раз. Отношение массы Луны к массе Земли составляет $m/M=1/81$. Введя эту поправку, получим $g_{\text{абс }}=979,3\mathrm{c}\mathrm{м}/{\mathrm{c}}^2$, что значительно лучше согласуется с опытом. Оставшееся небольшое расхождение можно объяснить отступлениями формы Земли от шаровой.

Заметим, что с помощью формулы (6.1) можно вычислить массу Земли. Для этого надо знать числовое значение гравитационной постоянной $G$.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если высота над земной поверхностью мала по сравнению с радиусом Земли $R$, то зависимость ускорения свободного падения на Земле от высоты определяется приближенной формулой
$$g\approx g_0(1-2\frac{h}{R})\approx g_0(1-0,00314h),$$

где $g_0$ — значение $g$ на земной поверхности. Предполагается, что высота $h$ измеряется в километрах.
2. Для вычисления средней плотности Земли $\delta$ Эйри ( $1801-1892$ ) предложил и осуществил следующий метод. Измеряются ускорения свободного падения $g_0$ на поверхности Земли и $g$ в шахте глубиной $h$. Принимается, что плотность Земли в поверхностном слое толщиной $h$ однородна и равна ${\delta }_0=2,5$ г/ ${\mathrm{cm}}^3$. (Это предположение плохо соответствует действительности.) В опытах Эйри было $g-g_0=0,000052g_0,R/h=16000$ ( $R-$ радиус Земли). Пользуясь этими данными, вычислить среднюю плотность Земли. (Обратите внимание, что $g$ вблизи поверхности Земли возрастает с глубиной! Чем это объясняется?)
$$\text{ Ответ. }\delta \approx \frac{3{\delta }_0}{2-\frac{g-g_0}{g_0}\frac{R}{h}}\approx 6,5\mathrm{\Gamma }/{\mathrm{cm}}^3\text{. }$$
3. Допустим, что в земном шаре вдоль оси вращения просверлен канал от полюса к полюсу. Как будет двигаться материальная точка, помещенная в такой канал без начальной скорости? Плотность вещества земного шара $\rho$ считать однородной.

От в т. Точка будет совершать гармонические колебания с круговой частотой, определяемой соотношением ${\omega }^2=4/3\pi \rho G=g/R$, где $R-$ радиус земного шара, $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Период этих колебаний $T=2\pi \sqrt{R/g}\approx 84$ мин. Интересно отметить, что период колебаний зависит только от плотности шара, но не зависит от его размеров.

Определить начальную скорость метеоритов $v_o$, если максимальное прицельное расстояние, при котором они еще падают на Землю, равно $l$ ( $l>R$, где $R$ — радиус земного шара). Получить числовой ответ при $l=2R$. (См. примечание к задаче $\mathrm{\S }58$.)
Ответ. $v_{\mathrm{\infty }}=R\sqrt{\frac{2gR}{l^2-R^2}}$. При $l=2R{v}_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{\frac{2}{3}gR}\approx 6,5\mathrm{km}/\mathrm{c}$.
5. Вычислить массу Земли, используя параметры орбиты советского искусственного спутника «Космос-380». Период обращения спутника (относительно звезд) $T=102,2$ мин, расстояние до поверхности Земли в перигее 210 км, а апогее 1548 км. Землю считать шаром с радиусом 6371 км.

Ответ. $M=\frac{4{\pi }^2}{G}\frac{a^2}{T^2}\approx 6\cdot {10}^{27}$ г, где $a-$ половина длины большой оси эллиптической орбиты спутника.