Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
По мысли Ньютона, вес тел на Земле является проявлением силы гравитационного притяжения между рассматриваемым телом и Землей*). Для проверки этой идеи Ньютон сравнил ускорение свободного падения тел у поверхности Земли с ускорением Луны на орбите, по которой она движется относительно Земли. Допустим, что вещество внутри земного шара распределено сферически симметрично, т. е. его плотность зависит только от расстояния до центра Земли. В этом случае, как было показано в § 55, Земля создает во внешнем пространстве такое же гравитационное поле, что и материальная точка той же массы, помещенная в центре Земли. Если верна гипотеза Ньютона, то ускорение свободного падения $g_{\text {абс }}$ на расстоянии $r$ от центра Земли должно определяться формулой где $M$ — масса Земли. Той же формулой должно определяться ускорение Луны $a_{\text {Л }}$ на ее орбите: где $R$ — радиус лунной орбиты. Таким образом, Если $a_{\text {Л }}$ известно, то с помощью этой формулы можно вычислить ускорение свободного падения $g_{\text {абс }}$ на поверхности Земли. Это и было сделано Ньютоном. Ускорение Луны $a_{\text {Л }}$ можно вычислить, зная $R$ и период обращения Луны по ее орбите $T$ (относительно звезд). Эти величины равны соответственно $R=3,844 \cdot 10^{5} \mathrm{км}, T=27,32$ суток. Используя их, находим Средний радиус земного шара $r$, определяемый из условия, чтобы величина $4 / 3 \pi r^{3}$ равнялась объему Земли, равен $r=6371$ км. Подставляя эти данные в формулу (60.3), получим $g_{\text {абс }}=991,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Эта величина близка к экспериментальным значениям: на полюсе $g_{\text {абс }}=983,2 \mathrm{cм} / \mathrm{c}^{2}$, на экваторе $g_{\text {абс }}=981,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Близкое совпадение может рассматриваться как подтверждение гипотезы Ньютона. Небольшое расхождение обусловлено, главным образом, тем, что мы не учли движение самой Земли. Формула (60.4) дает ускорение Луны относительно Земли ( $\left.a_{Л}\right)_{\text {отн }}$, тогда как в формулу (60.3) должно входить ускорениеЛуны относительно инерциальной системы отсчета $\left(a_{\text {Л }}\right)_{\text {абс }}$. Согласно формуле (59.4) эти ускорения связаны между собой соотношением где $m$ — масса Луны. Следовательно, вычисленное выше значение $g_{\text {абс }}$ надо уменьшить в $(1+m / M)$ раз. Отношение массы Луны к массе Земли составляет $m / M=1 / 81$. Введя эту поправку, получим $g_{\text {абс }}=979,3 \mathrm{cм} / \mathrm{c}^{2}$, что значительно лучше согласуется с опытом. Оставшееся небольшое расхождение можно объяснить отступлениями формы Земли от шаровой. Заметим, что с помощью формулы (6.1) можно вычислить массу Земли. Для этого надо знать числовое значение гравитационной постоянной $G$. где $g_{0}$ — значение $g$ на земной поверхности. Предполагается, что высота $h$ измеряется в километрах. От в т. Точка будет совершать гармонические колебания с круговой частотой, определяемой соотношением $\omega^{2}=4 / 3 \pi \rho G=g / R$, где $R-$ радиус земного шара, $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Период этих колебаний $T=2 \pi \sqrt{R / g} \approx 84$ мин. Интересно отметить, что период колебаний зависит только от плотности шара, но не зависит от его размеров. Определить начальную скорость метеоритов $v_{o}$, если максимальное прицельное расстояние, при котором они еще падают на Землю, равно $l$ ( $l>R$, где $R$ — радиус земного шара). Получить числовой ответ при $l=2 R$. (См. примечание к задаче $\S 58$.) Ответ. $M=\frac{4 \pi^{2}}{G} \frac{a^{2}}{T^{2}} \approx 6 \cdot 10^{27}$ г, где $a-$ половина длины большой оси эллиптической орбиты спутника.
|
1 |
Оглавление
|