По мысли Ньютона, вес тел на Земле является проявлением силы гравитационного притяжения между рассматриваемым телом и Землей*). Для проверки этой идеи Ньютон сравнил ускорение свободного падения тел у поверхности Земли с ускорением Луны на орбите, по которой она движется относительно Земли.

Допустим, что вещество внутри земного шара распределено сферически симметрично, т. е. его плотность зависит только от расстояния до центра Земли. В этом случае, как было показано в § 55, Земля создает во внешнем пространстве такое же гравитационное поле, что и материальная точка той же массы, помещенная в центре Земли. Если верна гипотеза Ньютона, то ускорение свободного падения $g_{\text {абс }}$ на расстоянии $r$ от центра Земли должно определяться формулой
\[
g_{\text {абс }}=G \frac{M}{r^{2}},
\]

где $M$ – масса Земли. Той же формулой должно определяться ускорение Луны $a_{\text {Л }}$ на ее орбите:
\[
a_{\mathrm{JI}}=G \frac{M}{R^{2}},
\]

где $R$ – радиус лунной орбиты. Таким образом,
\[
g_{\text {абс }}=a_{\mathrm{JI}}\left(\frac{R}{r}\right)^{2} .
\]

Если $a_{\text {Л }}$ известно, то с помощью этой формулы можно вычислить ускорение свободного падения $g_{\text {абс }}$ на поверхности Земли. Это и было сделано Ньютоном.

Ускорение Луны $a_{\text {Л }}$ можно вычислить, зная $R$ и период обращения Луны по ее орбите $T$ (относительно звезд). Эти величины равны соответственно $R=3,844 \cdot 10^{5} \mathrm{км}, T=27,32$ суток. Используя их, находим
\[
a_{\mathrm{I}}=\frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} R=0,2723 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2} .
\]

Средний радиус земного шара $r$, определяемый из условия, чтобы величина $4 / 3 \pi r^{3}$ равнялась объему Земли, равен $r=6371$ км. Подставляя эти данные в формулу (60.3), получим $g_{\text {абс }}=991,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Эта величина близка к экспериментальным значениям: на полюсе $g_{\text {абс }}=983,2 \mathrm{cм} / \mathrm{c}^{2}$, на экваторе $g_{\text {абс }}=981,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Близкое совпадение может рассматриваться как подтверждение гипотезы Ньютона.
*) Сила веса, о которой идет речь в этом утверждении, строго говоря, равна силе гравитационного притяжения только в том случае, когда взвешивание производится на весах, покоящихся или не имеющих ускорения относительно инерциальной системы отсчета(см. § 66)

Небольшое расхождение обусловлено, главным образом, тем, что мы не учли движение самой Земли. Формула (60.4) дает ускорение Луны относительно Земли ( $\left.a_{Л}\right)_{\text {отн }}$, тогда как в формулу (60.3) должно входить ускорениеЛуны относительно инерциальной системы отсчета $\left(a_{\text {Л }}\right)_{\text {абс }}$. Согласно формуле (59.4) эти ускорения связаны между собой соотношением
\[
\left(a_{\text {Л}}\right)_{\text {отн }}=\left(1+\frac{m}{M}\right)\left(a_{\text {Л }}\right)_{\text {абс }},
\]

где $m$ – масса Луны. Следовательно, вычисленное выше значение $g_{\text {абс }}$ надо уменьшить в $(1+m / M)$ раз. Отношение массы Луны к массе Земли составляет $m / M=1 / 81$. Введя эту поправку, получим $g_{\text {абс }}=979,3 \mathrm{cм} / \mathrm{c}^{2}$, что значительно лучше согласуется с опытом. Оставшееся небольшое расхождение можно объяснить отступлениями формы Земли от шаровой.

Заметим, что с помощью формулы (6.1) можно вычислить массу Земли. Для этого надо знать числовое значение гравитационной постоянной $G$.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если высота над земной поверхностью мала по сравнению с радиусом Земли $R$, то зависимость ускорения свободного падения на Земле от высоты определяется приближенной формулой
\[
g \approx g_{0}\left(1-2 \frac{h}{R}\right) \approx g_{0}(1-0,00314 h),
\]

где $g_{0}$ – значение $g$ на земной поверхности. Предполагается, что высота $h$ измеряется в километрах.
2. Для вычисления средней плотности Земли $\delta$ Эйри ( $1801-1892$ ) предложил и осуществил следующий метод. Измеряются ускорения свободного падения $g_{0}$ на поверхности Земли и $g$ в шахте глубиной $h$. Принимается, что плотность Земли в поверхностном слое толщиной $h$ однородна и равна $\delta_{0}=2,5$ г/ $\mathrm{cm}^{3}$. (Это предположение плохо соответствует действительности.) В опытах Эйри было $g-g_{0}=0,000052 g_{0}, R / h=16000$ ( $R-$ радиус Земли). Пользуясь этими данными, вычислить среднюю плотность Земли. (Обратите внимание, что $g$ вблизи поверхности Земли возрастает с глубиной! Чем это объясняется?)
\[
\text { Ответ. } \delta \approx \frac{3 \delta_{0}}{2-\frac{g-g_{0}}{g_{0}} \frac{R}{h}} \approx 6,5 \Gamma / \mathrm{cm}^{3} \text {. }
\]
3. Допустим, что в земном шаре вдоль оси вращения просверлен канал от полюса к полюсу. Как будет двигаться материальная точка, помещенная в такой канал без начальной скорости? Плотность вещества земного шара $\rho$ считать однородной.

От в т. Точка будет совершать гармонические колебания с круговой частотой, определяемой соотношением $\omega^{2}=4 / 3 \pi \rho G=g / R$, где $R-$ радиус земного шара, $g$ – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Период этих колебаний $T=2 \pi \sqrt{R / g} \approx 84$ мин. Интересно отметить, что период колебаний зависит только от плотности шара, но не зависит от его размеров.

Определить начальную скорость метеоритов $v_{o}$, если максимальное прицельное расстояние, при котором они еще падают на Землю, равно $l$ ( $l>R$, где $R$ – радиус земного шара). Получить числовой ответ при $l=2 R$. (См. примечание к задаче $\S 58$.)
Ответ. $v_{\infty}=R \sqrt{\frac{2 g R}{l^{2}-R^{2}}}$. При $l=2 R \quad v_{\infty}=\sqrt{\frac{2}{3} g R} \approx 6,5 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
5. Вычислить массу Земли, используя параметры орбиты советского искусственного спутника «Космос-380». Период обращения спутника (относительно звезд) $T=102,2$ мин, расстояние до поверхности Земли в перигее 210 км, а апогее 1548 км. Землю считать шаром с радиусом 6371 км.

Ответ. $M=\frac{4 \pi^{2}}{G} \frac{a^{2}}{T^{2}} \approx 6 \cdot 10^{27}$ г, где $a-$ половина длины большой оси эллиптической орбиты спутника.