1. В реальных жидкостях, помимо сил нормального давления, на границах движущихся элементов жидкости действуют еще касательные силь вязкости. Убедиться в существовании таких сил можно на простейших примерах. Так, уравнение Бернулли, выводимое в предположении, что силы вязкости отсутствуют, приводит к следующему результату. Если жидкость течет по горизонтальной прямолинейной трубе постоянного поперечного сечения, то при стационарном течении давление жидкости одно и то же по всей длине трубы. В действительности давление жидкости в трубе падает в направлении ее течения. Для стационарности течения на концах трубы надо поддерживать постоянную разность давлений, уравновешивающую силы вязкости, возникающие при течении жидкости.

Другим примером может служить поведение жидкости во вращающемся сосуде. Если вертикальный цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, привести в равномерное вращение вокруг своей оси, то жидкость постепенно также приходит во вращение. Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенкам сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям, пока вся жидкость не начнет вращаться равномерно, как твердое тело. Таким образом, пока движение не установилось, происходит непрерывная передача вращения от сосуда к жидкости, а также от наружных слоев жидкости к внутренним. Такая передача вращения была бы невозможна, если бы не существовало касательных сил, действующих между жидкостью и стенкой сосуда, а также между слоями самой жидкости, вращающимися с различными угловыми скоростями. Эти касательные силы являются силами трения – внутреннего, если они действуют между слоями самой жидкости, и внешнего, если это силы взаимодействия между жидкостью и стенкой сосуда. Наибольший интерес представляют силы внутреннего трения, которые и являются силами вязкости. Вопрос о происхождения сил вязкости здесь мы оставляем открытым. Этим вопрос мы займемся в томе II при изучении молекулярной физики.
2. Для нахождения количественных законов вязкости лучше всего начать с простейшего примера. Рассмотрим две параллельные
Рис. 256 бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. (Пластинки считаются бесконечными, если их длина и ширина значительно больше расстояния между ними.) Нижняя пластинка $A B$ неподвижна, а верхняя $C D$ движется относительно нее с постоянной скоростью $\mathbf{v}_{0}$ (рис. 256). Оказывается, что для поддержания равномерного движения пластинки $C D$ к ней надо приложить постоянную силу $\mathbf{F}$, направленную в сторону движения. На пластинку $A B$ должна действовать такая же, но противоположно направленная сила, чтобы удержать эту пластинку в покое. Модуль силы $\mathbf{F}$, как экспериментально было установлено еще Ньютоном, пропорционален скорости $v_{0}$, площади пластинки $S$ и обратно пропорционален расстоянию $h$ между пластинками:
\[
F=\eta S \frac{v_{0}}{h} .
\]

Здесь $\eta$ – постоянная, называемая вязкостью жидкости. Она не зависит от материала пластинок и имеет разные значения для различных жидкостей. Для данной жидкости коэффициент $\eta$ зависит от параметров, характеризующих ее внутреннее состояние, и в первую очередь от температуры. Таким образом, под вязкостью понимают как явление, так и коэффициент, характеризующий свойства жидкости.

Не обязательно, чтобы пластинка $A B$ покоилась. Обе пластинки могут двигаться равномерно параллельно друг другу. Если скорость пластинки $A B$ равна $v_{1}$, а пластинки $C D-v_{2}$, то вместо (96.1) можно написать более общую формулу
\[
F=\eta S \frac{v_{2}-v_{1}}{h} .
\]

Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти в систему отсчета, в которой пластинка $A B$ покоится.

Заметим далее, что при равномерном движении пластинки $C D$ жидкость должна действовать на нее с силой $-\mathbf{F}$, чтобы полная сила, приложенная к пластинке $C D$, обращалась в нуль. Значит, сама пластинка $C D$ будет действовать на жидкость с силой $+\mathbf{F}$. Аналогично пластинка $A B$ будет действовать на жидкость с силой $-\mathbf{F}$. Кроме того, исследования показали, что жидкость, обладающая вязкостью, прилипает к поверхности твердого тела, которое она обтекает. Иными словами, скорости частиц жидкости относительно поверхности твердого тела, на которой они находятся, равны нулю.

Поэтому в формуле (96.2) силы $\mathbf{F}$ и -F можно считать приложенными не к пластинке, а к границам заключенного между ними слоя жидкости. Точно так же $v_{1}$ и $v_{2}$ можно отождествить со скоростями движения тех же границ жидкого слоя. Тем самым при введении понятия вязкости $\eta$ надобность в пластинках отпадает.
3. В целях обобщения формулы (96.2) допустим, что жидкость течет в направлении оси $X$, причем скорость течения зависит только от координаты $y$ :
\[
v_{x}=v_{x}(y), v_{y}=v_{z}=0 .
\]

Вырежем мысленно жидкий слой, ограниченный бесконечно близкими плоскостями, перпендикулярными к оси $Y$. Пусть эти плоскости пересекают ось $Y$ в точках с ординатами $y$ и $y+d y$ (рис. 257). Обозначим через $\tau_{y x}$ касательную силу, действующую на единицу площади верхней границы такого слоя со стороны вышележащей жидкости. Первый индекс $у$ указывает направление внешней нормали к верхней границе слоя, а второй – индекс $x$ – направление действующей силы (ср. $\S 74$, п. 2). Обобщая формулу (96.2), для касательного напряжения $\tau_{y x}$ напишем
\[
\tau_{y x}=\eta \frac{\partial v_{x}}{\partial y} .
\]

Примем в согласии с опытом, что формула (96.3) справедлива не только для равномерного течения, но и для течения, скорость $v_{x}$ которого зависит от времени. Касательное напряжение на нижней границе слоя $\tau_{-y x}$ направлено в сторону, противоположную $\tau_{y x}$. Оно отличается от $\tau_{-y x}$ бесконечно мало в виду бесконечной малости толщины слоя $d y\left(\tau_{y x}=-\tau_{-y x}\right)$.
Рис. 257
4. Выделим теперь в том же параллельном потоке жидкости бесконечно малый параллелепипед $A B C D$ с ребрами, параллельными координатным осям (рис. 258). Тензор напряжений, как следует из уравнения моментов, симметричен (см. § 74, п. 4). Поэтому на основаниях параллелепипеда $B C$ и $A D$, перпендикулярных к потоку, должны также существовать касательные напряжения, причем $\tau_{x y}=\tau_{y x}=\eta \frac{\partial v_{x}}{\partial y}$. Таким образом, касательные напряжения действуют не только в плоскостях, параллельных течению, но и в плоскостях, перпендикулярных ему.
Допустим теперь, что жидкость течет не параллельным потоком, а произвольным образом. Примем, что касательные составляющие тензора вязких напряжений зависят только от скоростей деформаций жидкости, а не от самих деформаций Рис. 258 и их высших производных по времени. Ограничимся линейным приближением, т. е. будем пренебрегать квадратами и высшими степенями скоростей деформаций. В этом приближении касательные напряжения являются линейными однородными функциями скоростей деформаций $\frac{\partial v_{x}}{\partial y}, \frac{\partial v_{y}}{\partial x}, \frac{\partial v_{v}}{\partial z}, \frac{\partial v_{z}}{\partial y}, \frac{\partial v_{z}}{\partial x}, \frac{\partial v_{x}}{\partial z}$. Если бы из этих шести производных на границе $C D$ была отлична от нуля только производная $\frac{\partial v_{x}}{\partial y}$, то вдоль оси $X$ на этой границе действовало бы касательное напряжение $\tau_{y x}^{\prime}=\eta \frac{\partial v_{x}}{\partial y}$. Если бы отличалась от нуля только производная $\frac{\partial v_{y}}{\partial x}$, то касательное напряжение имело бы то же направление и было бы равно $\tau_{y x}^{\prime \prime}=\eta \frac{\partial v_{y}}{\partial x}$. А если отличны от нуля обе производные $\frac{\partial v_{x}}{\partial y}$ и $\frac{\partial v_{y}}{\partial x}$, то касательное напряжение на границе $C D$ будет $\tau_{y x}=\tau_{y x}^{\prime}+\tau_{y x}^{\prime \prime}=\eta\left(\frac{\partial v_{x}}{\partial y}+\frac{\partial v_{y}}{\partial x}\right)$. Это непосредственно следует из предположения о линейной однородной зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформаций жидкости. Отсюда же следует, что найденное выражение для $\tau_{y x}$ сохранит свою силу, каковы бы ни были значения других производных $\frac{\partial v_{y}}{\partial z}, \frac{\partial v_{z}}{\partial y}$ и т. д. Рассуждая аналогично, найдем выражения и для всех остальных касательных напряжений, действующих на гранях параллелепипеда $A B C D$. Именно,
\[
\begin{array}{l}
\tau_{x y}=\tau_{y x}=\eta\left(\frac{\partial v_{x}}{\partial y}+\frac{\partial v_{y}}{\partial x}\right), \\
\tau_{y z}=\tau_{z y}=\eta\left(\frac{\partial v_{y}}{\partial z}+\frac{\partial v_{z}}{\partial y}\right), \\
\tau_{z x}=\tau_{x z}=\eta\left(\frac{\partial v_{z}}{\partial x}+\frac{\partial v_{x}}{\partial z}\right) .
\end{array}
\]

Если жидкость несжимаема, то этих выражений достаточно для вывода дифференциальных уравнений движения жидкости. Если же жидкость сжимаема, то к ним надо добавить еще выражения для нормальных напряжений. Мы не будем приводить здесь эти выражения, так как они нам не понадобятся.
5. Рассмотрим частный случай, когда вязкая жидкость вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ю. Линии тока имеют форму окружностей. Пусть $A B$ – бесконечно малый участок линии тока длиной $r d \varphi$ (рис. 259). Касательное напряжение на цилиндрической поверхности, на которой лежит этот участок, очевидно, направлено в сторону вращения. Его следует обозначить через $\tau_{r \varphi}$. Первый индекс $r$ указывает направление внешней нормали к цилиндрической поверхности, второй индекс $\varphi$ – положительное направление касательного напряжения. В рассматриваемом случае роль $d y$ играет $d r$, роль $d x$ – длина $A B=r d \varphi$. Поэтому из (96.4) для касательного напряжения $\tau_{r \varphi}$ получаем
\[
\tau_{r \varphi}=\eta\left(\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial r}+\frac{\partial v_{r}}{r \partial \varphi}\right) .
\]

В точке $A$ радиальная составляющая скорости $v$
Рис. 259 равна нулю. В точке $B$ появляется составляющая скорости вдоль радиуса $O A$, равная $d v_{r}=-v_{\varphi} d \varphi$, так что $\frac{\partial v_{r}}{\partial \varphi}=-v_{\varphi}$, а потому
\[
\tau_{r \varphi}=\eta\left(\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial r}-\frac{v_{\varphi}}{r}\right) .
\]

Подставляя сюда $v_{\varphi}=\omega r$, получим
\[
\tau_{r \varphi}=\eta r \frac{\partial \omega}{\partial r} .
\]

Вязкие напряжения исчезают, если $\frac{\partial \omega}{\partial r}=0$, т. е. если жидкость вращается как целое, подобно твердому телу. Этого не получилось бы, если бы в формуле
\[
\tau_{y x}=\eta\left(\frac{\partial v_{x}}{\partial y}+\frac{\partial v_{y}}{\partial x}\right)
\]

не было учтено второе слагаемое.
6. В качестве примера на применение формулы (96.5) рассмотрим установившееся движение жидкости между двумя равномерно вращающимися коаксильными цилиндрами. Пусть $l$ высота цилиндров, $R_{1}$ и $R_{2}$ – их радиусы, а $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ – угловые скорости. Величину $l$ будем предполагать очень большой по сравнению с толщиной зазора $R_{2}-R_{1}$ между цилиндрами. Тогда цилиндры можно считать бесконечно длинными и отвлечься от осложняющих обстоятельств, вносимых их краями. Проведем в жидкости произвольную цилиндрическую поверхность радиусом $r$ (рис. 260). Момент сил вязкости, действующих на этой поверхности, относительно оси вращения равен
\[
M=2 \pi r^{2} l \tau_{r \varphi}=2 \pi \eta l r^{3} \frac{\partial \omega}{\partial r} .
\]

Рис. 260
При установившемся вращении жидкости этот момент не должен зависеть от радиуса $r$. Только при этом условии момент сил, действующих на жидкость, заключенную между двумя любыми коаксиальными цилиндрическими поверхностями, обращается в нуль, а момент импульса жидкости сохраняется. Таким образом, мы приходим к уравнению
\[
r^{3} \frac{\partial \omega}{\partial r}=\text { const. }
\]

Обозначая входящую сюда постоянную $-2 A$ и интегрируя, получим
\[
\omega=\frac{A}{r^{2}}+C \text {, }
\]

где $C$ – постоянная интегрирования. Постоянные $A$ и $C$ определятся из граничных условий. Так как вязкая жидкость прилипает к поверхности тела, которое она обтекает, то угловая скорость $\omega$ при $r=R_{1}$ должна обращаться в $\Omega_{1}$, а при $r=R_{2}-$ в $\Omega_{2}$. Это приводит к двум уравнениям
\[
\frac{A}{R_{1}^{2}}+C=\Omega_{1}, \frac{A}{R_{2}^{2}}+C=\Omega_{2},
\]

решая которые, находим
\[
A=\frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}\left(\Omega_{1}-\Omega_{2}\right), C=\frac{R_{2}^{2} \Omega_{2}-R_{1}^{2} \Omega_{1}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}
\]

и далее
\[
\omega=\frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} \frac{\Omega_{1}-\Omega_{2}}{r^{2}}+\frac{R_{2}^{2} \Omega_{2}-R_{1}^{2} \Omega_{1}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} .
\]

Момент сил вязкости, действующих на внутренний цилиндр, равен
\[
M=2 \pi \eta l(-2 A)=4 \pi \eta l \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}\left(\Omega_{2}-\Omega_{1}\right) .
\]

Формула (96.9) лежит в основе практического метода измерения вязкости жидкостей и газов. Внутренний цилиндр подвешивается в исследуемой жидкости в вертикальном положении на тонкой нити, а наружный приводится в равномерное вращение с угловой скоростью $\Omega_{2}=\Omega$. Измеряется угол закручивания нити $\varphi$, при котором внутренний цилиндр находится в равновесии. Это будет тогда, когда момент вязких напряжений $M$ уравновешивается моментом закрученной нити $f \varphi$, где $f$ – модуль кручения. Вязкость рассчитывается по формуле
\[
\eta=\frac{f \varphi}{4 \pi l} \frac{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}{R_{1}^{2} R_{2}^{2} \Omega} .
\]

ЗАДАЧИ
1. Введя локальную систему координат с началом в рассматриваемой точке пространства, убедиться непосредственным дифференцированием, что формула (96.7) при вращении жидкости переходит в формулу (96.5).

Решение. Проведем через рассматриваемую точку пространства $A$ круговую линию тока. Поместим начало локальной системы координат в точку $A$, направив координатные оси $X$ и $Y$, как указано на рис. 261. Для координат и компонентов скорости в точке $B$ получим
\[
\begin{array}{l}
x=r \sin \varphi, y=r \cos \varphi-r_{0}, \\
v_{x}=v_{\varphi} \cos \varphi, v_{y}=-v_{\varphi} \sin \varphi,
\end{array}
\]

где $r_{0}$ и $r$ – радиусы-векторы точек $A$ и $B$, а $v_{\varphi}-$ Рис. 261

скорость жидкости в точке $B$. Дифференцируя эти соотношения и полагая в окончательных результатах $\varphi=0$ (точка $A$ ), получим в точке $A$
\[
\begin{array}{c}
d x=r_{0} d \varphi, d y=d r, \\
d v_{x}=d v_{\varphi}, d v_{y}=-v_{\varphi} d \varphi .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\frac{\partial v_{x}}{\partial y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial r}, \frac{\partial v_{y}}{\partial x}=-\frac{v_{\varphi}}{r_{0}} .
\]

После подстановки в (96.7) получаем (96.5).

2. Как изменится формула (96.9) в предельном случае, когда толщина зазора между цилиндрами $h=R_{2}-R_{1}$ пренебрежимо мала по сравнению с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ ?
Ответ. $M=\frac{2 \pi \eta l R^{3}}{h}\left(\Omega_{2}-\Omega_{1}\right)$.

Эту формулу можно также получить, рассматривая слой жидкости между цилиндрами как плоскопараллельный и используя формулу (96.2). Это рекомендуется сделать читателю.