1. Отвлечемся на время от механизма возникновения силы $\mathbf{F},\mathbf{c}$ которой стационарный поток несжимаемой жидкости действует на неподвижное тело, и применим к этой проблеме методы теории размерности. Сила $\mathbf{F}$ зависит от формы и размеров тела, от ориентации его по отношению к потоку, от скорости потока $\mathbf{v}$ (на «бесконечности»), а также от свойств жидкости. Ориентацию крыла самолета принято характеризовать углом атаки, т. е. углом между плоскостью крыла и направлением полета. Не будем вводить явно такие параметры, предполагая, что мы имеем дело с телами не только геометрически подобными, но и подобно расположенными. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью $\rho$ и вязкостью $\eta$. Таким образом, должна существовать функциональная связь между величинами $\mathbf{F},v,\rho ,\eta ,S$, где $S$ — характерная площадь поперечного сечения тела. Корень квадратный из нее $\sqrt{S}=l$ может служить характерным линейным размером тела. Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации. За таковые можно принять $\frac{\mathbf{F}}{\rho v^{2}S}$ и число Рейнольдса $\mathrm{Re}=\frac{\rho lv}{\eta }$. Согласно правилу размерности одна из этих комбинаций является функцией другой. В результате получим
$$\mathbf{F}=\frac{\rho v^2}{2}SC(\mathrm{Re}),$$

или
$$\begin{array}{l}{F}_x=\frac{\rho v^2}{2}S{C}_x(\mathrm{Re}),\\ F_y=\frac{\rho v^2}{2}S{C}_y(\mathrm{Re}).\end{array}$$

Безразмерные коэффициенты $C_x(\mathrm{Re})$ и $C_y(\mathrm{Re})$ называются соответственно коэффициентами лобового сопротивления и подгемной силы. Оба они являются функциями числа Рейнольдса и зависят от формы тела и его ориентации по отношению к потоку. Теоретическое вычисление этих коэффициентов затруднительно, они обычно определяются опытным путем.
2. При больших числах Рейнольдса лобовое сопротивление $F_x$ обусловлено почти исключительно разностью давлений. Если обтекаемое тело имеет сзади заостренные края, то отрыв течения за телом происходит в одном и том же месте, положение которого не зависит от скорости потока. (Примером может служить пластинка, поставленная перпендикулярно к направлению потока. Отрыв течения происходит на ее краях.) В этих случаях коэффициент лобового сопротивления приблизительно постоянен, а само лобовое сопротивление пропорционально квадрату скорости $v$. Понять это проще всего, если воспользоваться идеализированной картиной разрывного течения (рис. 265). Действительно, если при всех скоростях отрыв течения происходит в одном и том же месте, то характерная площадь поперечного сечения $S$ не зависит от скорости. С другой стороны, разность давлений перед и за телом по закону Бернулли равна $1/2\rho v^2$. Отсюда и получается формула (101.2) с постоянным коэффициентом $C_x$. При больших скоростях $v$ порядка скорости звука и выше коэффициенты $C_x$ и $C_y$ зависят не только от числа Рейнольдса $\mathrm{Re}$, но и от числа Маха $M$.
3. Рассмотрим теперь случай малых чисел Рейнольдса. В этом случае основной интерес представляет сила лобового сопротивления $F_x$. Инерция, а с ней и плотность жидкости не играют существенной роли, сила $F_x$ определяется почти исключительно вязкостью. Поэтому плотность $\rho$ должна выпадать из формулы (101.2). Это будет тогда и только тогда, когда коэффициент лобового сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса, т. е.
$$C_x=\frac{A}{\mathrm{Re}},$$

где $A$ — безразмерная постоянная. Подставляя выражение для $\mathrm{Re}$, получим
$$F_x=A\eta lv.$$

Эта формула справедлива при малых числах Рейнольдса ( $Re\ll 1$ ), так как она выведена в предположении, что влияние инерции жидкости пренебрежимо мало по сравнению с влиянием вязкости. Коэффициент $A$ зависит от формы тела и его ориентации относительно потока. Его теоретическое вычисление довольно кропотливо и требует интегрирования уравнений движения вязкой жидкости. Джорджем Стоксом (1819-1903) было показано, что $A=6\pi$, если за характерный размер $l$ принять радиус шара $a$. Таким образом, получается формула Стокса
$$F_x=6\pi \eta av.$$

Так как формула (101.5) получила широкие применения в очень важных физических опытах (определение заряда электрона методом Милликена, броуновское движение и пр.), то имеет смысл более подробно выяснить на конкретных примерах границы ее применимости.

В опытах американского физика-экспериментатора Роберта Милликена (1868-1953) по определению заряда электрона формула Стокса (101.5) применялась к капелькам масла, падавшим в воздухе под действием силы тяжести. Если $m$ — масса капли, то при установившемся равномерном патому $mg=6\pi \eta av$ (архимедовой подъемной силой пренебрегаем). Если ${\rho }_0-$ плотность масла, то масса капли $m=4/3\pi a^3{\rho }_0$. Используя это значение, находим сначала скорость капли $v$, а затем и число Рейнольдса
$$\mathrm{Re}=\frac{\rho av}{\eta }=\frac{2}{9}\frac{a^3\rho {\rho }_{0}g}{{\eta }^2},$$

где $\rho -$ плотность воздуха. Условие применимости формулы Стокса $\mathrm{Re}\ll 1$ дает
$$a^3\ll \frac{9}{2}\frac{{\eta }^2}{\rho {\rho }_{0}g}.$$

Подставляя сюда $\eta =1,8\cdot {10}^{-4}\mathrm{\Gamma }/(\mathrm{c}\cdot \mathrm{cm}),\rho =1,29\cdot {10}^{-3}\mathrm{\Gamma }/{\mathrm{cm}}^3,{\rho }_0=0,9\mathrm{\Gamma }/{\mathrm{cm}}^3$, найдем, что для применимости формулы Стокса должно выполняться условие $a\ll 0,05$ мм. Формулу можно применять для мельчайших капелек тумана. Однако о применении ее к каплям дождя, даже самым мелким, не может быть и речи.

В качестве второго примера возьмем капельки ртути, падающие в жидкости под действием собственного веса. По скорости установившегося падения капли можно вычислить вязкость жидкости. Это дает практический метод измерения вязкости. В рассматриваемом случае надо учитывать архимедову выталкивающую силу. Если ${\rho }_0$ — плотность ртути, $\rho$ и $\eta -$ плотность и вязкость исследуемой жидкости, то для применимости формулы Стокса необходимо выполнение условия
$$a^3\ll \frac{9}{2}\frac{{\eta }^2}{({\rho }_0-\rho )\rho g}.$$

Для воды $\eta =0,010г/(с\cdot cм)$, и мы получаем $a\ll 0,15$ мм.