1. Отвлечемся на время от механизма возникновения силы $\mathbf{F}, \mathbf{c}$ которой стационарный поток несжимаемой жидкости действует на неподвижное тело, и применим к этой проблеме методы теории размерности. Сила $\mathbf{F}$ зависит от формы и размеров тела, от ориентации его по отношению к потоку, от скорости потока $\mathbf{v}$ (на «бесконечности»), а также от свойств жидкости. Ориентацию крыла самолета принято характеризовать углом атаки, т. е. углом между плоскостью крыла и направлением полета. Не будем вводить явно такие параметры, предполагая, что мы имеем дело с телами не только геометрически подобными, но и подобно расположенными. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью $\rho$ и вязкостью $\eta$. Таким образом, должна существовать функциональная связь между величинами $\mathbf{F}, v, \rho, \eta, S$, где $S$ – характерная площадь поперечного сечения тела. Корень квадратный из нее $\sqrt{S}=l$ может служить характерным линейным размером тела. Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации. За таковые можно принять $\frac{\mathbf{F}}{\rho v^{2} S}$ и число Рейнольдса $\operatorname{Re}=\frac{\rho l v}{\eta}$. Согласно правилу размерности одна из этих комбинаций является функцией другой. В результате получим
\[
\mathbf{F}=\frac{\rho v^{2}}{2} S C(\operatorname{Re}),
\]

или
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=\frac{\rho v^{2}}{2} S C_{x}(\mathrm{Re}), \\
F_{y}=\frac{\rho v^{2}}{2} S C_{y}(\mathrm{Re}) .
\end{array}
\]

Безразмерные коэффициенты $C_{x}(\mathrm{Re})$ и $C_{y}(\mathrm{Re})$ называются соответственно коэффициентами лобового сопротивления и подгемной силы. Оба они являются функциями числа Рейнольдса и зависят от формы тела и его ориентации по отношению к потоку. Теоретическое вычисление этих коэффициентов затруднительно, они обычно определяются опытным путем.
2. При больших числах Рейнольдса лобовое сопротивление $F_{x}$ обусловлено почти исключительно разностью давлений. Если обтекаемое тело имеет сзади заостренные края, то отрыв течения за телом происходит в одном и том же месте, положение которого не зависит от скорости потока. (Примером может служить пластинка, поставленная перпендикулярно к направлению потока. Отрыв течения происходит на ее краях.) В этих случаях коэффициент лобового сопротивления приблизительно постоянен, а само лобовое сопротивление пропорционально квадрату скорости $v$. Понять это проще всего, если воспользоваться идеализированной картиной разрывного течения (рис. 265). Действительно, если при всех скоростях отрыв течения происходит в одном и том же месте, то характерная площадь поперечного сечения $S$ не зависит от скорости. С другой стороны, разность давлений перед и за телом по закону Бернулли равна $1 / 2 \rho v^{2}$. Отсюда и получается формула (101.2) с постоянным коэффициентом $C_{x}$. При больших скоростях $v$ порядка скорости звука и выше коэффициенты $C_{x}$ и $C_{y}$ зависят не только от числа Рейнольдса $\operatorname{Re}$, но и от числа Маха $M$.
3. Рассмотрим теперь случай малых чисел Рейнольдса. В этом случае основной интерес представляет сила лобового сопротивления $F_{x}$. Инерция, а с ней и плотность жидкости не играют существенной роли, сила $F_{x}$ определяется почти исключительно вязкостью. Поэтому плотность $\rho$ должна выпадать из формулы (101.2). Это будет тогда и только тогда, когда коэффициент лобового сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса, т. е.
\[
C_{x}=\frac{A}{\operatorname{Re}},
\]

где $A$ – безразмерная постоянная. Подставляя выражение для $\operatorname{Re}$, получим
\[
F_{x}=A \eta l v .
\]

Эта формула справедлива при малых числах Рейнольдса ( $R e \ll 1$ ), так как она выведена в предположении, что влияние инерции жидкости пренебрежимо мало по сравнению с влиянием вязкости. Коэффициент $A$ зависит от формы тела и его ориентации относительно потока. Его теоретическое вычисление довольно кропотливо и требует интегрирования уравнений движения вязкой жидкости. Джорджем Стоксом (1819-1903) было показано, что $A=6 \pi$, если за характерный размер $l$ принять радиус шара $a$. Таким образом, получается формула Стокса
\[
F_{x}=6 \pi \eta a v .
\]

Так как формула (101.5) получила широкие применения в очень важных физических опытах (определение заряда электрона методом Милликена, броуновское движение и пр.), то имеет смысл более подробно выяснить на конкретных примерах границы ее применимости.

В опытах американского физика-экспериментатора Роберта Милликена (1868-1953) по определению заряда электрона формула Стокса (101.5) применялась к капелькам масла, падавшим в воздухе под действием силы тяжести. Если $m$ – масса капли, то при установившемся равномерном патому $m g=6 \pi \eta a v$ (архимедовой подъемной силой пренебрегаем). Если $\rho_{0}-$ плотность масла, то масса капли $m=4 / 3 \pi a^{3} \rho_{0}$. Используя это значение, находим сначала скорость капли $v$, а затем и число Рейнольдса
\[
\operatorname{Re}=\frac{\rho a v}{\eta}=\frac{2}{9} \frac{a^{3} \rho \rho_{0} g}{\eta^{2}},
\]

где $\rho-$ плотность воздуха. Условие применимости формулы Стокса $\operatorname{Re} \ll 1$ дает
\[
a^{3} \ll \frac{9}{2} \frac{\eta^{2}}{\rho \rho_{0} g} .
\]

Подставляя сюда $\eta=1,8 \cdot 10^{-4} \mathrm{\Gamma} /(\mathrm{c} \cdot \mathrm{cm}), \rho=1,29 \cdot 10^{-3} \mathrm{\Gamma} / \mathrm{cm}^{3}, \rho_{0}=0,9 \Gamma / \mathrm{cm}^{3}$, найдем, что для применимости формулы Стокса должно выполняться условие $a \ll 0,05$ мм. Формулу можно применять для мельчайших капелек тумана. Однако о применении ее к каплям дождя, даже самым мелким, не может быть и речи.

В качестве второго примера возьмем капельки ртути, падающие в жидкости под действием собственного веса. По скорости установившегося падения капли можно вычислить вязкость жидкости. Это дает практический метод измерения вязкости. В рассматриваемом случае надо учитывать архимедову выталкивающую силу. Если $\rho_{0}$ – плотность ртути, $\rho$ и $\eta-$ плотность и вязкость исследуемой жидкости, то для применимости формулы Стокса необходимо выполнение условия
\[
a^{3} \ll \frac{9}{2} \frac{\eta^{2}}{\left(\rho_{0}-\rho\right) \rho g} .
\]

Для воды $\eta=0,010 г /(с \cdot c м)$, и мы получаем $a \ll 0,15$ мм.