Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Возьмем куб из однородного и изотропного вещества. Приложим к противоположным граням его $A D$ и $B C$ равные и противоположно направленные касательные силы (рис. 203 a). Они образуют пару сил, под действием которых куб начинает вращаться. Для устранения вращения приложим такие же касательные силы к граням $A B$ и $C D$. Тогда куб вращаться не будет, а будет только деформироваться. Необходимость приложения касательных напряжений к граням $A B$ и $C D$ непосредственно следует также из симметрии тензора упругих напряжений (см. § 74). Опыт показывает, что под действием приложенных напряжений квадрат $A B C D$ переходит в ромб $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. При этом длина диагонали $A C$ увеличивается, а диагонали $B D$ — уменьшается. Объем тела, как будет показано ниже, при такой деформации практически изменяться не будет. Относительные изменения объема будут величинами более высокого порядка малости, чем относительные изменения длин диагоналей $A C$ и $B D$. В теории малых деформаций такими изменения пренебрегают. Высшего порядка малости будут и изменения длин сторон квадрата $A B C D$. Поэтому куб после деформации можно повернуть так, чтобы новое основание $A^{\prime} D^{\prime}$ совместилось с прежним основанием $A D$ (рис. 203 б). Отсюда видно, что рассматриваемая деформация состоит в том, что все слои куба, параллельные основанию $A D$, сдвигаются в одном и том же направлении, параллельном тому же основанию. Поэтому эта деформация называется сдвигом. Сдвиг пропорционален расстоянию сдвигаемого слоя от основания $A D$. Угол $\gamma$ между гранью $A B$ до деформации и той же гранью $A B^{\prime}$ после деформации называется углом сдвига. Конечно, ту же деформацию можно получить путем сдвига параллельно грани $A B$ или $C D$ на тот же угол $\gamma$. Мы предполагаем, конечно, что угол $\gamma$ мал ( $\gamma \ll 1$ ) и пользуемся законом Гука. Для деформации сдвига этот закон можно записать в виде где $\tau$ — касательное напряжение, действующее на гранях куба. Постоянная $G$ называется модулем сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб. Площадь диагонального сечения $A C$ есть $a^{2} \sqrt{2}$. Разделив $F$ на эту площадь, получим искомое давление $P=\tau$. Итак, в диагональном сечении $A C$ и во всякой плоскости, ему параллельной, напряжение сводится к нормальному давлению, численно равному $\tau$. Рассуждая аналогично, можно доказать, что в диагональном сечении $B D$ и во всякой плоскости, параллельной ему, действует нормальное натяжение $T$, также численно равное $\tau$. Эта величина должна совпадать с (78.2), так как значение $и$ не может зависеть от способа вычисления. Сравнивая оба выражения, получим Эта формула устанавливает связь между модулем Юнга $E$, коэффициентом Пуассона $\mu$ и модулем сдвига $G$. Используя ее, а также формулы (77.10) и (77.4), получим
|
1 |
Оглавление
|