1. Возьмем куб из однородного и изотропного вещества. Приложим к противоположным граням его $A D$ и $B C$ равные и противоположно направленные касательные силы (рис. 203 a). Они образуют пару сил, под действием которых куб начинает вращаться. Для устранения вращения приложим такие же касательные силы к граням $A B$ и $C D$. Тогда куб вращаться не будет, а будет только деформироваться. Необходимость приложения касательных напряжений к
Рис. 203

граням $A B$ и $C D$ непосредственно следует также из симметрии тензора упругих напряжений (см. § 74).

Опыт показывает, что под действием приложенных напряжений квадрат $A B C D$ переходит в ромб $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. При этом длина диагонали $A C$ увеличивается, а диагонали $B D$ – уменьшается. Объем тела, как будет показано ниже, при такой деформации практически изменяться не будет. Относительные изменения объема будут величинами более высокого порядка малости, чем относительные изменения длин диагоналей $A C$ и $B D$. В теории малых деформаций такими изменения пренебрегают. Высшего порядка малости будут и изменения длин сторон квадрата $A B C D$. Поэтому куб после деформации можно повернуть так, чтобы новое основание $A^{\prime} D^{\prime}$ совместилось с прежним основанием $A D$ (рис. 203 б). Отсюда видно, что рассматриваемая деформация состоит в том, что все слои куба, параллельные основанию $A D$, сдвигаются в одном и том же направлении, параллельном тому же основанию. Поэтому эта деформация называется сдвигом. Сдвиг пропорционален расстоянию сдвигаемого слоя от основания $A D$. Угол $\gamma$ между гранью $A B$ до деформации и той же гранью $A B^{\prime}$ после деформации называется углом сдвига. Конечно, ту же деформацию можно получить путем сдвига параллельно грани $A B$ или $C D$ на тот же угол $\gamma$. Мы предполагаем, конечно, что угол $\gamma$ мал ( $\gamma \ll 1$ ) и пользуемся законом Гука. Для деформации сдвига этот закон можно записать в виде
\[
\tau=G \gamma,
\]

где $\tau$ – касательное напряжение, действующее на гранях куба. Постоянная $G$ называется модулем сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб.
2. Найдем выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига. Закрепив неподвижно основание $A D$ (рис. 203 б), будем производить сдвиг квазистатически. Тогда вся работа, затрачиваемая на сдвиг, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа, очевидно, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа, очевидно, равна $A=1 / 2 \mathrm{\tau} S \Delta x$, где $\Delta x-$ смещение грани $B C$ при сдвиге, а $S$ – площадь этой грани. Если $a$ – длина ребра куба, то $\Delta x=a \gamma$, а потому $A=$ $=1 / 2 \tau S$ a $\gamma=1 / 2 V \tau \gamma$, где $V$ – объем куба. Таким образом, объемная плотность упругой энергии выражается формулой
\[
u=\frac{1}{2} \tau \gamma=\frac{\tau^{2}}{2 G} .
\]
3. Тангенциальные напряжения, действующие параллельно граням куба, можно свести к совокупности натяжения и давления, равных по модулю и действующих во взаимно перпендикулярных направлениях. Действительно, проведем диагональное сечение куба $A C$ (плоскость, перпендикулярной к плоскости рис. 203 a). Сила $F$, действующая на часть куба $A C D$ на плоскости $A C$, будет нормальна к этой плоскости и направлена внутрь рассматриваемой части. Это и есть сила нормального давления. Определим это давление. Если длина ребра куба есть $a$, то сила $F$, очевидно, равна
\[
F=a^{2}\left(\tau \sin 45^{\circ}+\tau \cos 45^{\circ}\right)=\sqrt{2} a^{2} \tau .
\]

Площадь диагонального сечения $A C$ есть $a^{2} \sqrt{2}$. Разделив $F$ на эту площадь, получим искомое давление $P=\tau$. Итак, в диагональном сечении $A C$ и во всякой плоскости, ему параллельной, напряжение сводится к нормальному давлению, численно равному $\tau$. Рассуждая аналогично, можно доказать, что в диагональном сечении $B D$ и во всякой плоскости, параллельной ему, действует нормальное натяжение $T$, также численно равное $\tau$.
4. На основании изложенного ясно, что сдвиг эквивалентен растяжению тела в некотором направлении и сжатию в перпендикулярном направлении. Вырежем, например, мысленно из нашего куба прямоугольный параллелепипед с поперечным сечением $P Q R S$ (рис. 204). В направлении диагонали куба $A C$ он будет растянут натяжением $T=\tau$, в перпендикулярном направлении $B D$ – сжат давлением $P=\tau$. В направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, размеры параллелепипеда останутся неизменными. Направим ось $X$ параллельно ребрам $P Q$ и $S R$, а ось $Y$ – параллельно ребрам $Q P$ и $P S$. Тогда, подставляя в формулы (76.1) $T_{x}=\tau, \quad T_{y}=\tau, \quad T_{z}=0$, получим $\varepsilon_{z}=0$, $\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}=0$. В силу соотношения (77.2) $\Delta V=0$. Деформация не сопровождается изменением объема тела – утверждение, которое упоминалось выше без доказательства.
5. Таким же путем из формулы (76.3) получаем для плотности упругой энергии при сдвиге
Рис. 204
\[
u=\frac{1+\mu}{E} \tau^{2} .
\]

Эта величина должна совпадать с (78.2), так как значение $и$ не может зависеть от способа вычисления. Сравнивая оба выражения, получим
\[
G=\frac{E}{2(1+\mu)} .
\]

Эта формула устанавливает связь между модулем Юнга $E$, коэффициентом Пуассона $\mu$ и модулем сдвига $G$. Используя ее, а также формулы (77.10) и (77.4), получим
\[
E^{\prime}=K+\frac{4}{3} G .
\]