1. Оставшиеся параграфы этой главы будут посвящены силовым действиям потока жидкости на находящиеся в ней тела. Ввиду относительности движения эта проблема эквивалентна проблеме нахождения сил, действующих на тела, движущиеся в неподвижной жидкости. Проблема эта очень обширна и сложна. Во всем объеме она разбирается в специальных курсах гидродинамики и аэродинамики. В общем курсе физики на ней можно остановиться очень кратко, ограничиваясь в основном качественным рассмотрением.

Силу, действующую на тело со стороны потока жидкости, можно разложить на две составляющие: в направлении потока $\mathbf{F}_{x}$ и перпендикулярную к потоку $\mathbf{F}_{y}$. Сила $\mathbf{F}_{x}$ называется лобовым сопротивлением, сила $\mathbf{F}_{y}$ – подъемной силой. Подъемная сила действует на крылья летящего самолета. С ней связано представление о силе, направленной вверх. Но подъемная сила может быть направлена и вниз в зависимости от ориентации самолета относительно направления полета. Лобовое сопротивление $\mathbf{F}_{x}$ слагается из двух различных сил: силы разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела и из вязких сил трения. При больших скоростях (точнее, при больших числах Рейнольдса) преобладающую роль играют разности давлений, при малых – силы вязкости.
2. Рассмотрим прежде всего стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Допустим, что в отсутствие внешних тел жидкость течет параллельным потоком. Поместим в него какое-либо тело $K$ (рис. 264). Оно исказит поток. Но на достаточно больших расстояниях от тела $K$ (в «бесконечности») поток останется параллельным. По истечении некоторого времени движение жидкости установится. К этому установившемуся течению и относятся последующие рассуждения. Для конкретности будем считать, что жидкость течет в прямолинейной трубе. Вдали от тела $K$ линии тока параллельны стенкам трубы и вследствие несжимаемости жидкости скорость ее в этих участках трубы одна и та же. А в силу уравнения Бернулли будет одинаково и давление $P$. Рассмотрим часть жидкости $A B D C$, внутри которой находится тело $K$. Предполагается, что сечения $A B$ и $C D$ находятся далеко от тела $K$, так что через них жидкость течет параллельным потоком. Спустя короткое время выделенная часть жидкости перейдет в положение $A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime} C^{\prime}$. При этом ее импульс останется без изменения. Действительно, в начальном положении импульс жидкости представляется суммой
$\mathbf{I}_{1}=$ импульс жидкости в объеме $A^{\prime} B^{\prime} D C+$
+ импульс жидкости в объеме $A B B^{\prime} A^{\prime}$,

а в конечном положении:
$\mathbf{I}_{2}=$ импульс жидкости в объеме $A^{\prime} B^{\prime} D C+$ + импульс жидкости в объеме $C D D^{\prime} C^{\prime}$.

Но в силу стационарности течения импульс жидкости в объеме $A^{\prime} B^{\prime} D C$ один и тот же в обоих случаях. А вследствие одинаковости скорости течения на «бесконечности» импульсы жидкости в объемах $A B B^{\prime} A^{\prime}$ и $C D D^{\prime} C^{\prime}$ также одинаковы. Итак, при обтекании тела $K$ импульс жидкости не изменяется. Следовательно, полная сила, действующая на рассматриваемый объем жидкости в направлении потока, равна нулю. Но эта сила слагается из сил давления на основаниях $A B$ и $C D$ из силы $\mathbf{F}_{x}^{\prime}$, с которой действует на жидкость тело $K$. (Давление стенок можно не принимать во внимание, так как оно не дает слагающей в направлении потока.) Силы давления на основаниях $A B$ и $C D$ уравновешивают друг друга, а потому $\mathbf{F}_{x}^{\prime}=0$. Следовательно, обращается в нуль и лобовое сопротивление $\mathbf{F}_{x}$.

Допустим теперь, что труба берется все шире и шире. Наш вывод остается справедливым для сколь угодно широкой трубы. Он остается верным и в пределе, когда трубы совсем нет, а поток во всех поперечных направлениях простирается до бесконечности. Итак, при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости или при равномерном движении тела в ней лобовое сопротивление равно нулю. Этот вывод в свое время казался неожиданным. Он получил название парадокса Даламбера (1717-1783). Наличие этого парадокса указывает на то, что при определении лобового сопротивления, испытываемого телом при равномерном движении в жидкости, последнюю нельзя рассматривать как идеальную.
3. Наш вывод относится только к лобовому сопротивлению $\mathbf{F}_{x}$, но не к подъемной силе $\mathbf{F}_{y}$, и моменту сил $\mathbf{M}$, с которым поток жидкости действует на тело. Момент М относительно центра масс равен нулю в тех случаях, когда тело симметрично и симметрично расположено относительно потока. Если такое условие не выполнено, то это, вообще говоря, не так. При обтекании тела происходит смещение всего потока жидкости вбок, т.е. в направлении, перпендикулярном к направлению невозмущенного потока. Это вызывает изменение момента импульса жидкости и ведет к появлению момента сил $\mathbf{M}$, действующего на тело. В результате момент $\mathbf{M}$ поворачивает тело, пока он не обратится в нуль и течение жидкости в окрестности тела $K$ вновь станет стационарным. Что касается подъемной силы $\mathbf{F}_{y}$, то к этому вопросу вернемся в § 103 .
4. Если тело движется неравномерно, то парадокс Даламбера не возникает. Дело в том, что с движущимся телом всегда связана какая-то масса жидкости, увлекаемая им. Она называется присоединенной массой. При ускорении тела ускоряется и присоединенная масса жидкости. Поэтому для сообщения ускорения телу в жидкости требуется большая сила, чем для сообщения такого же ускорения при отсутствии жидкости. Это и значит, что жидкость оказывает сопротивление телу, движущемуся в ней ускоренно.
5. Парадокс Даламбера легко уяснить, если рассмотреть картину линий тока. На схематическом рис. 265 изображены линии тока при стационарном обтекании цилиндра или шара идеальной жидкостью. Линии тока совершенно симметричны по отношению к направлению вперед и назад (зеркальная симметрия). А скорости частиц жидкости в соответствующих точках перед и за телом равны по модулю и отличаются только направлением. Но в уравнение Бернулли (94.4) скорость $v$ входит в квадрате. Поэтому распределения давления в потоке перед и за телом совершенно одинаковы. Давление на переднюю поверхность тела уравновешивается давлением на заднюю поверхность, а следовательно, лобовое сопротивление равно нулю.
Если тело, а следовательно, и поток
Рис. 265
жидкости не обладают симметрией, то рассуждение осложняется. Однако и в этом случае ввиду отсутствия потерь энергии стационарное течение идеальной жидкости обладает следующим свойством. Если в некоторый момент времени изменить на противоположные направления движения всех частиц жидкости, то они будут двигаться по тем же линиям тока с теми же по модулю, но противоположными по направлению скоростями. Так как в уравнение Бернулли скорость течения входит в квадрате, то при таком обращении направления течения распределение давления в жидкости не изменится. Не изменится также модуль и направление силы $\mathbf{F}$, с которой жидкость действует на обтекаемое тело. В частности, не меняется лобовое сопротивление $\mathbf{F}_{x}$. $\mathbf{C}$ другой стороны, опыт показывает, что сила $\mathbf{F}_{x}$ всегда направлена по течению *), а потому при обращении течения сила $\mathbf{F}_{x}$ должна изменить знак. Отсюда непосредственно следует, что $\mathbf{F}_{x}=0$. $\mathrm{K}$ подъемной силе эти соображения неприменимы, так как нет оснований утверждать, что при обращении направления потока должна менять направление и подъемная сила.
6. Во всем изложенном предполагалось, что поток жидкости является непрерывным. Однако уравнения гидродинамики допускают и такие стационарные течения, в которых скорость жидкости претерпевает разрыв непрерывности. На эту возможность обратил внимание немецкий физик Густав Кирхгоф (1824-1887). Представим себе, что к телу $K$ прикреплена бесконечно тонкая эластичная перегородка $M C D N$ (рис. 266). Пусть пространство $M C D N$, ограниченное этой перегородкой, заполнено неподвижной жидкостью, находящейся под постоянным давлением $P_{0}$. Пусть эту систему тел обтекает идеальная несжимаемая жидкость. Тогда при стационарном течении граница $M C D N$ будет вести себя как поверхность твердого тела, и часть линий тока расположится вдоль этой поверхности. Ширина бесконечно тонких трубок тока в окрестности поверхности
*) Теоретически это не обязательно (см. сноску на с. 524). Сила $F_{\text {х могла бы быть }}$ направлена и против течения. Однако эта возможность представляет чисто умозрительный интерес.

$M C D N$ будет изменяться по такому закону, чтобы обеспечить постоянство скорости жидкости вдоль всей поверхности $M C D N$. Тогда, согласно уравнению Бернулли, будет постоянно и давление жидкости на этой поверхности. Если убрать эластичную перегородку, то характер течения жидкости не изменится. Действительно, поверхность $M C D N$ останется поверхностью постоянного нормального давления, а тангенциальные силы появиться не могут из-за идеальности жидкости. Получилось стационарное течение жидкости с тан$\longrightarrow$ генциальным разрывом на поверхности $M C D N$ (см. задачу к § 98). Оно характеризуется тем, что на некоторой линии обтекаемого тела происходит отрыв течения от тела. Таких течений, очевидно, можно представить бесконечное множество. Они отличаются друг от друга положением Рис. 266 линии отрыва $C D$ и формой поверхности тангенциального разрыва $M C D N$. Давление в области застол (т. е. области, где жидкость покоится) $P_{0}$, очевидно, равно давлению на линии отрыва $C D$. Последнее же меньше давления в критической точке $B$. Это приводит к тому, что равнодействующая сил давления, действующих на переднюю поверхность тела, превышает соответствующую силу, действующую на заднюю сторону его. В результате появляется лобовое сопротивление $\mathbf{F}_{x}^{*}$ ).
7. Тангенциальные разрывы гидродинамически неустойчивы (см. задачу к § 98). Поверхности разрыва распадаются в вихри. Тем не менее идеальные разрывные течения с отрывом от обтекаемого тела, рассмотренные выше, не совсем лишены интереса. Они в известном смысле могут рассматриваться как предельные случаи реальных течений вязкой жидкости. Силы вязкости мало существенны вдали от обтекаемого тела, где они малы. Их влияние проявляется главным образом в тонком пограничном слое вблизи поверхности тела, где они велики. Они приводят к отрыву течения от тела. При этом вместо области застоя за телом возникает область интенсивного турбулентного движения. Наличие такой области и ведет к возникновению лобового сопротивления. При этом силы вязкости автоматически устраняют неоднозначность в положении линии отрыва, характерную для разрывных течений идеальных жидкостей. Чем у́же область отрыва, тем меньше лобовое сопротивление. С целью

*) Если обратить направление течения, то модуль и направление силы $\mathbf{F}_{\mathrm{x}}$ не изменятся. В обращенном течении сила $\mathbf{F}_{\mathrm{x}}$ направлена против течения, т. е. «лобовое сопротивление» отрицательно. Это случай, который имелся в виду в сноске на с. 523 как теоретически возможный.

уменьшения лобового сопротивления самолетам, судам, автомобилям и прочим быстроходным самодвижущимся аппаратам придают «обтекаемую форму».