В нерелятивистской механике, ввиду независимости массы от скорости, импульс системы $\mathbf{p}=m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}+\ldots$ может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиусвектор $\mathbf{R}$ которой выражается через радиусы-векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots$ материальных точек по формуле
\[
\mathbf{R}=\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}+\ldots}{m},
\]
где $m=m_{1}+m_{2}+\ldots-$ общая масса всей системы. Эту точку мы обычно будем обозначать буквой $C$.
Если продифференцировать выражение (19.1) по времени и умножить на $m$, то получится
\[
m \dot{\mathbf{R}}=m_{1} \dot{\mathbf{r}}_{1}+m_{2} \dot{\mathbf{r}}_{2}+\ldots,
\]
или
\[
m \mathbf{V}=m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}+\ldots,
\]
где $\mathbf{V}=\dot{\mathbf{R}}-$ скорость центра масс системы. Таким образом,
\[
\mathbf{p}=m \mathbf{V} .
\]
Подставив это выражение в формулу (18.1), получим
\[
m \frac{d \mathbf{V}}{d t}=\mathbf{F}^{(e)} .
\]
Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Этот результат называется теоремой о движении центра масс.
Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки под действием внутренних сил будут разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было.
Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, т. е. с точкой приложения параллельных сил, действующих на материальные точки системы в однородном поле тяжести. Поэтому вместо терминов «центр масс» и «центр инерции» употребляют также термин «центр тяжести». Однако в теореме о движении центра масс термином «центр тяжести» лучше не пользоваться, так как к этой теореме тяжесть не имеет прямого отношения. Термин «центр тяжести» распространен в курсах теоретической механики, особенно старых. В физике этот термин практически вышел из употребления.
Если система замкнута, то $\mathbf{F}^{(e)}=0$. В этом случае уравнение (19.3) переходит в $\frac{d \mathbf{V}}{d t}=0$, из которого следует $\mathbf{V}=$ const. Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно.
ЗАДАЧИ
1. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от дна до поверхности стола равно длине пробирки $l$. Нить пережигают, и за время падения муха перелетает со дна в самый верхний конец пробирки. Определить время, по истечении которого нижний конец пробирки стукнется о стол.
Ответ. $t=\sqrt{l / g}$.
2. Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины, как указано на рис. 33, равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ настолько быстро, что его плоскость вращения практически горизонтальна. Нить составляет угол $\alpha$ с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.
Ответ. $x=\frac{g \operatorname{tg} \alpha}{\omega^{2}}$.
3. Однородный стержень длины $l$ равномерно вращается вокруг свободной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр. Какова должна быть угловая скорость вращения $\omega$, при которой стержень еще не разрывается под действием внутренних напряжений, возникающих в нем
Рис. 33
Рис. 34
при вращении? Максимальная сила натяжения, отнесенная к единице площади поперечного сечения стержня, равна $T$. Объемная плотность материала стержня равна $\rho$ (см. также $\S 75$, задача 4).
Ответ. $\rho l^{2} \omega^{2}<8 T$.
4. На прямоугольный трехгранный клин $A B C$ массы $M$, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший клин $B E D$ массы $m$ (рис. 34). Определить, на какое расстояние $x$ сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и займет такое положение, что точка $D$ совместится с $C$. Длины катетов $A C$ и $B E$ равны соответственно $a$ и $b$.
Ответ. $x=\frac{m}{M+m}(a-b)$.
