1. Пусть тело свободно падает в поле тяжести Земли. В этом случае $\mathbf{F}=0$, и уравнение (65.3) переходит в
\[
\mathbf{a}=\mathbf{g}+2[\mathbf{v} \mathbf{\omega}] .
\]

Это уравнение описывает свободное падение тел с уцетом вращения Земли. Влияние вращения Земли сводится к действию центробежной и кориолисовой сил. Центробежная сила учитывается автоматически, так как она включена в вес тела $m g$ как его составная часть. Наличие этой силы не меняет вид уравнения. Только направление к центру Земли заменяется направлением отвеса. В остальном центробежная сила не приводит к качественно новым явлениям. Более существенно влияет на характер движения кориолисова сила. При падении тел без начальной скорости кориолисова сила проявляется в отклонении свободно падающих тел к востоку и экватору от направления отвеса. Теория этих явлений сводится к решению дифференциального уравнения (67.1). Если вектор $\mathbf{g}$ постоянен, то векторное уравнение (67.1) эквивалентно системе трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Точное решение такой системы получить нетрудно с помощью общеизвестных методов, излагаемых в теории дифференциальных уравнений. Однако мы по этому пути не пойдем. Он громоздок, а главное, получение точных решений вряд ли оправдано, когда в уравнении (67.1) пренебрегается зависимостью $\mathbf{g}$ от координат. Последнее допустимо лишь тогда, когда движение рассматривается в сравнительно небольшой области пространства, во всех точках которой вектор $\mathbf{g}$ практически один и тот же. А в этих случаях прекрасно работает приближенный метод последовательных приближений, дающий вполне достаточную точность. Вычисления по этому методу просты и лучше выявляют сущность явления. Им мы и воспользуемся.
2. В уравнении (67.1) член $2[\mathbf{v} \boldsymbol{\omega}]$ мал по сравнению с g. Его можно рассматривать как малую поправку и в нулевом приближении отбросить. Тогда получатся законы свободного падения без учета вращения Земли:
\[
\mathbf{a}=\mathbf{g}, \mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{g} t,
\]

где $\mathbf{v}_{0}$ – начальная скорость тела.
Пользуясь нулевым приближением, можно учесть и влияние кориолисовой силы. С этой целью в уравнение (67.1) мы подставим значение $\mathbf{v}$ из нулевого приближения и таким путем получим ускорение а в первом приближении:
\[
\mathbf{a}=\mathbf{g}+2\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right]+2 t[\mathbf{g} \boldsymbol{\omega}] .
\]

Интегрирование этого уравнение дает скорость $\mathbf{v}$ в том же приближении:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+g t+2 t\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right]+t^{2}[g \omega] .
\]

С помощью этого выражения снова уточняем выражение для кориолисовой силы. Именно, подставляя его в уравнение (67.1), получаем выражение для ускорения а во втором приближении:
\[
\mathbf{a}=\mathbf{g}+2\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right]+2 t[\mathbf{g} \boldsymbol{\omega}]+4 t\left[\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right] \boldsymbol{\omega}\right]+2 t^{2}[[\mathbf{g} \boldsymbol{\omega}] \boldsymbol{\omega},
\]

а после интегрирования по $t$ – для скорости $\mathbf{v}$ в том же приближении:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{g} t+2 t\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right]+t^{2}[\mathbf{g} \boldsymbol{\omega}]+2 t^{2}\left[\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right] \boldsymbol{\omega}\right]+\frac{2}{3} t^{3}[[\mathbf{g} \boldsymbol{\omega}] \boldsymbol{\omega}]
\]

Описанный процесс последовательных приближений можно было бы продолжить неограниченно. Оборвем его на втором приближении. Интегрируя (67.6) по $t$, находим радиус-вектор материальной точки в любой момент времени во втором приближении:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}+\mathbf{v}_{0} t+\frac{1}{2} \mathbf{g} t^{2} & +t^{2}\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right]+ \\
& +\frac{1}{3} t^{3}[\mathbf{g} \boldsymbol{\omega}]+\frac{2}{3} t^{3}\left[\left[\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\omega}\right] \boldsymbol{\omega}\right]+\frac{1}{6} t^{4}[[\mathbf{g} \boldsymbol{\omega}] \boldsymbol{\omega}] .
\end{aligned}
\]

В частности, если тело падает без начальной скорости, то для его смещения из начального положения $\mathbf{s}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}$ получим
\[
\mathbf{s}=\frac{1}{2} \mathbf{g} t^{2}+\frac{1}{3} t^{3}[\mathbf{g} \omega]+\frac{1}{6} t^{4}[[\mathbf{g} \omega] \omega] .
\]
3. Чтобы проанализировать полученный результат, введем прямоугольную систему координат, начало которой поместим в точку $A$, из которой начинает падать рассматриваемое тело (рис. 188). Ось $X$ направим по параллели на восток, ось $Y$ – по меридиану к экватору, ось $Z$ – по направлению отвеса вниз, т. е. вдоль вектора g. Спроецируем затем выражение (67.8) на координатные векторное произведение $[[g \omega] \omega]$ есть вектор, направленный от оси вращения Земли и перпендикулярный к ней. Поэтому, переходя к проекциям, получим
\[
\begin{array}{c}
z=\frac{1}{2} g t^{2}-\frac{1}{6} \omega^{2} t^{4} g \cos ^{2} \vartheta, \\
x \equiv s_{\text {вост }}=\frac{1}{3} \omega t^{3} g \cos \vartheta, \\
y \equiv s_{\text {экв }}=\frac{1}{12} \omega^{2} t^{4} g \sin 2 \vartheta
\end{array}
\]

где $\vartheta-$ угол географической широты рассматриваемого места. Второе слагаемое в формуле (67.9) есть только малая поправка к нулевому приближению и не меняет качественно характер явления. Это слагаемое можно отбросить и находить время падения по формуле нулевого приближения
\[
t=\sqrt{\frac{2 z}{g}} .
\]

Иное дело, когда речь идет о формулах (67.10) и (67.11). Здесь в нулевом приближении $x=y=0$. Вращение Земли сказывается в появлении двух новых эффектов: отклонении свободно падающих тел к востоку и к экватору от направления отвеса (а не от направления к центру Земли, как это иногда ошибочно утверждают). Выражение для

Рис. 188 восточного отклонения можно записать в виде
\[
s_{\text {вост }}=\frac{2}{3} \omega t h \cos \vartheta=\frac{4}{3} \pi \frac{t}{T} h \cos \vartheta,
\]

где $h$ – высота падения, а $T=2 \pi / \omega-$ период суточного вращения Земли.

Отклонение $s_{\text {вост }}$ очень мало, так как в формулу (67.13) входит малый множитель $t / T$. Так, при $h=100 \mathrm{~m} t=4,5 \mathrm{c}$, и для широты Москвы $\left(\vartheta=56^{\circ}\right.$ ) получаем $s_{\text {вост }}=1,2$ см. При падении с высоты $h=500$ м получилось бы $s_{\text {вост }}=13,8 \mathrm{cм}$. Несмотря на малость эффекта, его с уверенностью удалось наблюдать в опытах с падением тел в глубоких шахтах уже в середине XIX века.
Экваториальное отклонение связано с восточным соотношением:
\[
s_{\text {экв }}=\frac{\omega t \sin v}{2} s_{\text {вост }} .
\]

Из-за наличия малого множителя $\omega t=2 \pi t / T$ отклонение к экватору очень мало и по этой причине недоступно наблюдению.

ЗАДАЧИ

1. Из ружья произведен выстрел строго вверх (т. е. параллельно линии отвеса). Начальная скорость пули $v_{0}=100 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, географическая широта места $v=60^{\circ}$. Учитывая осевое вращение Земли, определить приближенно, насколько восточнее или западнее от места выстрела упадет пуля. Сопротивление воздуха не принимать во внимание.
Ответ. Пуля отклонится к западу на расстояние
\[
x_{\text {зап }}=\frac{4}{3} \frac{v_{0}^{3} \omega}{g} \cos v \approx 51 \mathrm{~cm} .
\]

Результат может показаться неожиданным. При движении вверх кориолисова сила отклоняет брошенное тело к западу от направления отвеса, при движении вниз она отклоняет его к востоку. На первый взгляд кажется, что отклонение к западу должно компенсироваться последующим отклонением к востоку. На самом деле это не так. Когда тело движется вверх, его боковая начальная скорость равна нулю. В наивысшую точку тело переходит, однако, с западной составляющей скорости, которую оно приобретает под действием кориолисовой силы. Поэтому обратное падение тела начинается с начальной скоростью, направленной на запад. При этом тело не только смещается к востоку под действием изменившей направление кориолисовой силы, но и продолжает по инерции двигаться на запад. В результате отклонение к западу оказывается больше, чем отклонение к востоку.
2. Под каким углом $\alpha$ к вертикали надо произвести выстрел вверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из которой был произведен выстрел? Использовать данные предыдущей задачи.
Ответ. Ствол ружья надо наклонить к востоку под углом
\[
\alpha=\frac{2}{3} \frac{v_{0} \omega}{g} \cos v \approx 2,45 \cdot 10^{-4} \text { рад } \approx 0,85^{\prime} \approx 51^{\prime \prime} .
\]
3. Из орудия, установленного в точке земной поверхности с географической широтой $\vartheta=30^{\circ}$, производится выстрел в направлении на восток. Начальная скорость снаряда $v_{0}=500 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, угол вылета снаряда (т. е. угол наклона касательной в начальной точке траектории к плоскости горизонта) $\alpha=60^{\circ}$. Пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая вращение Земли, определить приближенно отклонение у точки падения снаряда от плоскости стрельбы. Какое это будет отклонение: к югу или к северу? (Плоскостью стрельбы называется плоскость, проходящая через направление касательной в начальной точке траектории и направление отвеса в той же точке.)
Ответ. $y=\frac{1}{g^{2}} \cdot 4 \omega v_{0}^{3} \sin v \cos \alpha \sin ^{2} \alpha \approx 71$ м. К югу.