1. При рассмотрении планетных движений мы не учитывали движение Солнца, считая его массу бесконечно большой по сравнению с массой планеты. Для ускорения планеты мы писали
\[
m \ddot{\mathbf{r}}=m \mathbf{a}_{\mathrm{a} с \mathrm{c}}=\mathbf{F},
\]

где $\mathbf{F}=-G \frac{M m}{r^{3}} \mathbf{r}-$ ньютонова сила гравитационного притяжения, действующая на планету со стороны Солнца. Символом $\mathbf{a}_{\text {абс }}$ обозначено ускорение планеты относительно какой-то инерциальной системы отсчета, например системы Коперника. Учтем теперь движение Солнца. Чтобы получить уравнение движения планеты относительно Солнца, надо массу планеты $m$ заменить на приведенную массу $\mu=\frac{M m}{M+m}$ (см. § 20). В результате уравнение относительного движения примет вид
\[
\mu \ddot{\mathbf{r}} \equiv \mu \mathbf{a}_{\text {отн }}=\mathbf{F} .
\]

Подставив выражение для $\mu$, получим
\[
m \mathbf{a}_{\text {отн }}=\left(1+\frac{m}{M}\right) \mathbf{F} .
\]

Формально дело происходит так, как если бы Солнце оставалось неподвижно, но гравитационная постоянная увеличилась в $(1+m / M)$ раз. Поэтому для относительного движения первый и второй законы Кеплера остаются справедливыми. Зато третий закон должен быть уточнен. Для этого достаточно в формуле (55.5) постоянную $G$ заменить на $G(1+m / M)$. Это приводит к соотношению
\[
\frac{a^{3}}{T^{2}(M+m)}=\frac{G}{4 \pi^{2}} \text {. }
\]

Оно показывает, что отношение $\frac{a^{3}}{T^{2}(M+m)}$ лвляется универсальной постоянной, т.е. не зависит ни от масс взаимодействующих тел, ни от расстолния между ними. Таким образом, третий закон Кеплера для относительного движения не вполне точен. То обстоятельство, что для планет Солнечной системы он выполняется с большой точностью, связано с тем, что масса планеты очень мала по сравнению с массой Солнца.
Отметим еще соотношение
\[
\frac{a_{\text {отн }}}{a_{\text {абс }}}=1+\frac{m}{M},
\]

которое непосредственно следует из сравнения формул (59.1) и (59.2).
2. На формулах (55.5) и (59.3) основано определение масс планет, имеющих спутников, а также суммы масс двойных звезд. Если масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой планеты, то для движения спутника справедлив третий закон Кеплера в форме (55.5). Постоянную Кеплера $\mathscr{K}$ можно вычислить, измерив размеры орбиты и время обращения спутника. Зная гравитационную постоянную $G$, по формуле (55.5) можно вычислить массу планеты $M$ в абсолютных единицах. В астрономии, однако, предпочитают за единицу массы принимать массу Земли. Для определения масс планет в таких единицах не требуется знать числовое значение гравитационной постоянной, известное не очень точно.

В качестве примера найдем отношение массы Солнца $M_{\mathrm{C}}$ к массе Земли $m_{3}$. Массу Земли будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой Солнца. Точно так же пренебрежем массой Луны по сравнению с массой Земли. Для земной орбиты имеем $a_{3}=1,496 \cdot 10^{8} \mathrm{KM}, T_{3}=365,26$ суток, для лунной $a_{\mathrm{I}}=3,844 \cdot 10^{5}$ км, $T_{\mathrm{I}}=27,32$ суток. По формуле (55.5) получаем
\[
\frac{M_{\mathrm{C}}}{m_{3}}=\left(\frac{a_{3}}{a_{Л}}\right)^{3}\left(\frac{T_{Л}}{T_{3}}\right)^{2}=3,298 \cdot 10^{5} .
\]

В действительности, как видно из формулы (59.3), таким путем находится отношение $\frac{M_{\mathrm{C}}+m_{3}}{m_{3}+m_{л}}$. Метод дает отношение масс центральных тел, вокруг которых вращаются спутники, только тогда, когда масса каждого спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой соответствующего центрального тела. Это условие идеально соблюдается для искусственных спутников. Например, можно найти отношение масс Луны и Земли, если измерить параметры орбит искусственных спутников, обращающихся вокруг них.

Труднее определить массу планеты, если у нее нет спутников. В этом случае применяются два способа. Во-первых, массу планеты можно вычислить по вызываемому ею возмущению в движении других небесных тел. Примером может служить Меркурий, масса которого была определена по возмущениям орбиты кометы Энке. Во-вторых, массу планеты можно оценить по ее блеску, если сделать правдободобные предположения относительно ее плотности и альбедо, т. е. величины, характеризующей способность поверхности тела отражать (рассеивать) падающее на нее излучение. Таким путем впервые была оценена масса Плутона. Труднее определять массы звезд. В случае двойной звезды это делается аналогично тому, как и для планеты со спутником, – по периоду обращения компонентов звезды вокруг их центра масс и по расстоянию между ними. Но этот метод определяет не массу каждого компонента звезды, а только сумму этих масс.
ЗАДАЧИ
1. Найти расстояние $R$ между компонентами двойной звезды, если их общая масса $M_{1}+M_{2}$ равна удвоенной массе Солнца $M_{0}$, и звезды обращаются по круговым орбитам вокруг их центра масс с периодом $T=2 T_{0}$, где $T_{0}$ – продолжительность земного года. Расстояние от Земли до Солнца $R_{0}=1,5 \cdot 10^{8} \mathrm{KM}$.
Ответ. $R=\sqrt[3]{\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{2} \frac{M_{1}+M_{2}}{M_{0}}}=2 R_{0}=3 \cdot 10^{8} \mathrm{KM}$.
2. Минимальное расстояние между компонентами двойной звезды, обращающимися один относительно другого, равно $r_{1}$. Относительная скорость их в этом положении равна $v_{1}$. Сумма масс обоих компонентов равна $M$. Найти расстояние между компонентами $r_{2}$ и их относительную скорость $v_{2}$ при максимальном удалении относительно друг от друга. При каком минимальном значении относительной скорости $v_{1}$ двойная звезда распадается?
\[
\text { Ответ. } r_{2}=\left(\frac{2 G M}{2 G M-r_{1} v_{1}^{2}}-1\right) r_{1} ; v_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}} v_{1} \text {. }
\]

Звезда распадется, если $v_{1} \geqslant \sqrt{2 G M / r_{1}}$.