1. Обратимся теперь к гидростатике сжимаемой жидкости. Наибольшой интерес представляет равновесие земной атмосферы. Этот случай мы и рассмотрим. Дифференциальные уравнения (90.5) и (91.1) были выведены без использования предположения о несжимаемости жидкости, а потому мы воспользуемся ими здесь. Первые два уравнения системы (91.1) можно не учитывать, так как из них следует лишь, что давление $P$ может зависеть только от $z$. Оставшееся третье уравнение можно переписать в виде
\[
\frac{d P}{d z}=-\rho g
\]

так как частная $\frac{\partial P}{\partial z}$ и полная $\frac{d P}{d z}$ производные теперь означают одно и то же. Но одного уравнения (92.1) недостаточно, поскольку в него входят две неизвестные функции – давление $P$ и плотность $\rho$. Нужно дополнительное соотношение между ними.

Будем предполагать, что состав атмосферы один и тот же на всем ее протяжении. Давление $P$, плотность $\rho$ и температура $T$ газа в состоянии равновесия связаны уравнением состояния. Если газ не слишком плотный, то таковым является уравнение Клапейрона (по имени французского физика Бенуа Клапейрона (1799-1864))
\[
P=\frac{R T}{\mu} \rho,
\]

где $\mu$ – молекулярная масса газа, а $R$ – универсальная газовая постоянная. Ее числовое значение равно приближенно
\[
R=8,31 \cdot 10^{7} \text { эрг } \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot \text { моль }^{-1}=8,31 \text { Дж } \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot \text { моль }^{-1} .
\]

Соотношение (92.2) позволяет исключить из уравнения (92.1) плотность $\rho$. В результате получим
\[
\frac{d P}{d z}=-\frac{\mu g}{R T} P .
\]
*) С учетом этого обстоятельства расчет дает $\varepsilon=\frac{5}{4} \omega^{2} R_{0} g \approx 1 / 232$.

Понятно, что таким путем мы еще не достигли цели, так как вместо неизвестной плотности $\rho$ ввели новую неизвестную величину температуру $T$. Однако последнюю легче измерить на различных высотах. Если $T$ известна как функция $z$, то уравнение (92.3) уже можно будет проинтегрировать. Следовательно, задача определения давления на различных высотах становится вполне определенной, если задать закон изменения температуры $T$ с высотой.
2. Если отсутствуют ветры и воздушные течения, т. е. атмосфера неподвижна, то говорят, что она находится в механическом равновесии. Такое состояние не является еще состоянием полного равновесия. Для последнего, кроме того, необходимо, чтобы атмосфера находилась также и в тепловом равновесии. Тепловое равновесие означает, что температура $T$ одна и та же на протяжении всей атмосферы. Если это имеет место, то атмосферу называют изотермической.

Конечно, изотермическая атмосфера – это идеализации. Но рассмотрение этого идеализированного случая тем не менее представляет большой интерес. При $T=$ const уравнение (92.3) легко интегрируется. Для этого переписываем его в виде
\[
\frac{d P}{P}=-\frac{\mu g}{R T} d z
\]

и после интегрирования находим
\[
\ln \frac{P}{P_{0}}=-\frac{\mu g z}{R T},
\]

или
\[
P=P_{0} \exp \left(-\frac{\mu g z}{R T}\right) .
\]

По тому же закону меняется и плотность воздуха, а именно
\[
\rho=\rho_{0} \exp \left(-\frac{\mu g z}{R T}\right) \text {. }
\]

Соотношения (92.4) и (92.5) называются барометрическими формулами. Постоянные интегрирования $P_{0}$ и $\rho_{0}$ имеют смысл давления и плотности воздуха на поверхности Земли. Давление и плотность воздуха убывают с высотой по экспоненциальному закону. При поднятии на высоту
\[
h=\frac{R T}{\mu g}
\]

они убывают в $e$ раз. Величина $h$ называется высотой однородной атмосферы. Смысл этого названия станет ясным, если поставить следующий вопрос. Какую высоту $H$ должна была бы иметь воображаемая атмосфера постоянной плотности $\rho_{0}$, чтобы она производила на поверхность Земли такое же давление $P_{0}$, как и действительная атмосфера? Очевидно, искомая величина определится из условия $P_{0}=\rho_{0} g H$. Но из уравнения состояния (92.2), если его применить к слою воздуха, прилегающему к поверхности Земли, следует $P_{0}=$ $=\frac{R T}{\mu} \rho_{0}$. Используя это соотношение, получаем $H=\frac{R T}{\mu g}$, т. е. $H=h$. Считая среднюю молекулярную массу воздуха равной $\mu=28,8$, находим для высоты однородной атмосферы при нуле градусов Цельсия $(T=273 \mathrm{~K})$ :
\[
h=\frac{8,31 \cdot 273}{28,8 \cdot 9,8} \approx 8000 \mathrm{~m}=8 \mathrm{кm} .
\]

Подставляя $h$ в барометрическую формулу (92.4), можно переписать ее в виде
\[
P=P_{0} e^{-z / h} .
\]

В таком виде формула удобна для определения разностей высот двух или нескольких точек земной атмосферы. Для этого нужно знать давление воздуха в этих точках, а также температуру. Последняя в пределах рассматриваемых высот, разумеется, должна быть одной и той же.
3. Сделаем в заключение одно замечание относительно устойчивости механического равновесия атмосферы. Мы не будем вводить ограничения, что температура одна и та же на всех высотах, а будем предполагать, что она может меняться с высотой как угодно. Если нарушено состояние механического равновесия, в результате которого некоторая масса воздуха немного поднялась вверх, то в новом положении она будет подвергаться меньшему внешнему давлению. В результате поднявшаяся масса воздуха расширится, а ее плотность уменьшится, так как вследствие малой теплопроводности воздуха во время поднятия рассматриваемая масса практически не будет получать и отдавать тепло. Если окажется, что в новом положении плотность поднявшейся массы больше плотности окружающего воздуха, то эта масса, как более тяжелая, опустится вниз, и равновесие восстановится. Если же ее плотность окажется меньше плотности окружающего воздуха, то она будет подниматься еще выше, и механическое равновесие окажется неустойчивым. Аналогичные соображения справедливы и для случая, когда нарушение механического равновесия совершается путем небольшого опускания какой-либо массы воздуха. В этом случае опустившаяся масса сжимается внешним давлением. Если в новом положении ее плотность меньше плотности окружающего воздуха, то она начнет подниматься, и равновесие восстановится. Наоборот, если эта плотность окажется больше, то рассматриваемая масса начнет опускаться еще ниже, т. е. равновесие окажется неустойчивым. Эти рассуждения, разумеется, применимы не только к атмосфере, но и к любой неравномерно нагретой сжимаемой жидкости, находящейся в механическом равновесии в поле тяжести. Что касается земной атмосферы, то исследования показали, что изотермическая атмосфера в рассматриваемом смысле устойчива. Еще большая устойчивость получается, когда температура воздуха возрастает с высотой. Если же температура убывает с высотой, то механическое равновесие воздуха возможно лишь тогда, когда это убывание происходит не слишком быстро. При убывании температуры с высотой более чем на один градус на каждые 100 метров высоты атмосфера теряет механическую устойчивость. Появляются восходящие и нисходящие потоки воздуха (конвекция). Во втором томе эти вопросы будут рассмотрены более подробно.
ЗАДАЧА
На какую высоту $H_{1 / 2}$ надо подняться, чтобы давление (изотермической) атмосферы уменьшилось в 2 раза?
\[
\text { Ответ. } H_{1 / 2}=h \ln 2 \approx 5,55 \text { км (при } 0^{\circ} \mathrm{C} \text { ). }
\]