1. Интересным примером, где имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил, является абсолютно неупругий удар. Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело. Примером может служить попадание ружейной пули в подвижную мишень, например в ящик с песком, подвешенный на веревках. Пуля, застряв в песке, остается в ящике и движется дальше вместе с ним. Шары из пластилина или глины при столкновении обычно слипаются и затем движутся вместе. Такое столкновение также может служить примером практически абсолютно неупругого удара. Точно также столкновение двух свинцовых шаров можно с хорошим приближением рассматривать как абсолютно неупругий удар. В атомной и ядерной физике неупругие удары сопровождаются внутренними превращениями сталкивающихся частиц.

Физические явления при столкновении тел довольно сложны. Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и силы трения, в телах возбуждаются колебания и волны и т.д. Однако если удар неупругий, то в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твердое тело. Его скорость можно найти, не вдаваясь в механизм явления, а используя только закон сохранения импульса.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар на примере столкновения шаров. Пусть шары движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ (рис. 47). В этом случае говорят, что удар является центральным. Обозначим через $\mathbf{v}$ общую скорость шаров после столкновения. Закон сохранения импульса дает
\[
m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}=\left(m_{1}+m_{2}\right) v,
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ – массы шаров. Отсюда получаем
\[
v=\frac{m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\]

Кинетические энергии системы до удара и после удара равны соответственно
\[
K_{1}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}, \quad K_{2}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v^{2} .
\]

Пользуясь этими выражениями, нетрудно получить
\[
K_{1}-K_{2}=\frac{1}{2} \mu\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2},
\]

где $\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ – приведенная масса шаров. Таким образом, $n р и$ столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.
2. Неупругое столкновение тел всегда должно сопровождаться потерей кинетической энергии макроскопического движения. Действительно, согласно теореме Кёнига кинетическая энергия механической системы складывается из двух частей: 1) кинетической энергии движения системы как целого со скоростью ее центра масс; 2) кинетической энергии относительно движения материальных точек, на которые мысленно можно разбить систему, около ее центра масс. Обе части – как кинетические энергии – существенно положительны. Первая из них в результате столкновения тел не меняется в силу теоремы о движении центра масс. Вторая же после столкновения исчезает, так как в результате неупругого столкновения относительное движение частей системы прекращается, остается только общее движение их со скоростью центра масс. Поэтому столкновение приводит к уменьшению полной кинетической энергии макроскопического движения. Зато возрастает внутренняя энергия тела (см. § 27).
3. Нетрудно понять, почему в формулу (26.2) вошли приведенная масса и относительная скорость сталкивающихся шаров. Согласно общей формуле (25.7) потеря кинетической энергии по абсолютной величине равна работе диссипативных сил, действующих в системе во время столкновения. При вычислении этой работы, как было показано в § 24, можно одно из сталкивающихся тел считать неподвижным, а второе – движущимся относительно него. Относительное движение двух материальных точек описывается уравнением $\mu \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$, аналогичным второму закону Ньютона. Ввиду этого работа диссипативной силы $\mathbf{F}$ за все время столкновения равна $1 / 2 \mu\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}$. Эта величина и дает убыль кинетической энергии системы за то же время.

Когда сталкиваются два тела, то разрушительное действие при столкновении зависит только от их относительной скорости $v_{1}-v_{2}$. Кинетическая энергия, от которой зависит разрушительный эффект, равна $1 / 2 \mu\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}$. Остальная часть кинетической энергии связана с движением центра масс системы. Эта энергия при столкновении не изменяется, а потому она на разрушение не оказывает никакого влияния. Например, если сталкиваются два одинаковых автомобиля, движущихся навстречу друг другу с одной и той же скоростью $v$, то энергия, от которой зависит разрушение, равна
\[
\frac{1}{2} \mu\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} \frac{m m}{m+m}(2 v)^{2}=m v^{2},
\]
т. е. вся кинетическая энергия тратится на разрушение. Это ясно без вычислений, так как после столкновения оба автомобиля, независимо от того, в какой мере они пострадали при аварии, должны остановиться. Тот же разрушительный эффект получится и в том случае, когда один из автомобилей неподвижен, а другой движется в направлении к нему со скоростью $2 v$. Но в этом случае начальная кинетическая энергия системы составляет $1 / 2 m(2 v)^{2}=2 m v^{2}$, т. е. она вдвое больше. Только половина энергии идет на разрушение.

Разрушительные эффекты при авариях, конечно, являются бедствием. Но в некоторых случаях, например при изучении превращений, претерпеваемых атомными ядрами и элементарными частицами во время столкновения, они являются целью исследования. В таких случаях стремятся к тому, чтобы разрушительные эффекты усилить. Из изложенного следует, что этого можно добиться, приводя в движение обе сталкивающиеся частицы. При одной и той же затрате энергии наибольшее разрушение получтся тогда, когда центр масс сталкивающихся частищ в лабораторной системе отсцета неподвижен. Этот принцип используется в так называемых ускорителях на встречных пучках. Современные ускорители представляют дорогие и сложные технические сооружения, применяющиеся для сообщения высоких энергий заряженным частицам – электронам, протонам и пр. Они используются в ядерной физике и физике элементарных частиц для исследования различных процессов, происходящих при столкновении частиц высоких энергий. Обычно ускоренные частицы направляются на неподвижную мишень, при столкновении с которой и происходят процессы, подлежащие изучению. Тот же эффект, однако, может быть достигнут с меньшей затратой энергии, если привести в движение также саму мишень навстречу пучку. В качестве мишени используется встречный пучок ускоренных частиц. Если массы и скорости частиц в обоих пучках одинаковы, то согласно нерелятивистской механике должен получиться выигрыш в энергии в два раза. В действительности в ускорителях имеют дело с релятивистскими пучками, и при расчетах надо пользоваться релятивистской механикой. Оказывается, что в релятивистском случае можно получить принципиально ничем не ограниченный выигрыш в энергии, используя частицы, скорости которых приближаются к скорости света (см. т. IV).
4. Во время столкновения в системе действуют диссипативные силы, уменьшающие кинетическую энергию макроскопического движения. Поэтому применять закон сохранения энергии в его механической форме к процессам, происходящим во время удара, нельзя. Но после того как удар закончился и сталкивающиеся тела соединились в одно тело, законом сохранения энергии уже можно пользоваться (если, конечно, в дальнейшем не действуют диссипативные силы).

В качестве примера рассмотрим задачу о баллистическом маятнике. Он применяется для измерения скорости пуль или снарядов. Баллистический маятник обычно представляет собой подвешенный большой ящик с песком или землей, который может колебаться вокруг горизонтальной оси. Пуля или снаряд, попадая в маятник, останавливается в нем, и маятник отклоняется. Для простоты расчета будем считать маятник математическим. Процесс столкновения происходит настолько быстро, что за время столкновения маятник не успевает отклониться на заметный угол. В результате удара он только приходит в движение, и задача прежде всего заключается в том, чтобы найти скорость этого движения $v$ непосредственно после того, как удар закончился. До удара, когда маятник находился в равновесии, внешние силы (сила веса и сила натяжения подвеса), действующие на него, уравновешивались. Во время удара равновесие этих сил нарушается, и появляются новые силы, например силы трения. Однако во время самого удара все эти силы можно не принимать во внимание, так как они пренебрежимо малы по сравнению с силой, которая действует на маятник со стороны налетающих на него пули и снаряда. Иными словами, систему, состоящую из маятника и пули (снаряда) (рис. 48), во время удара можно считать замкнутой и применять к ней закон сохранения импульса. Из этого закона и найдется искомая скорость $v$, которую получит система непосредственно после удара:
\[
v=\frac{m}{M+m} V,
\]

где $V$ – скорость пули до удара. После того как удар закончился, действие (внутренних) диссипативРис. 48 ных сил прекращается. Поэтому к процессам после удара применим закон сохранения энергии. Скорость $v$ надо рассматривать как начальную скорость, с которой начнет колебаться маятник в нижнем положении. В этом положении маятник и пуля (снаряд) обладают кинетической энергией $1 / 2(M+m) v^{2}$, которая при отклонении маятника переходит в потенциальную энергию $(M+m) g h$. Отсюда находится высота поднятия:
\[
h=\frac{v^{2}}{2 g}=\frac{1}{2 g}\left(\frac{m}{M+m}\right)^{2} V^{2} .
\]

Измерив высоту $h$, можно вычислить скорость пули $V$.
Было бы грубой ошибкой рассуждать следующим образом. В нижним положении (до удара) энергия системы равна кинетической энергии $m V^{2} / 2$. При поднятии маятника эта энергия переходит в потенциальную энергию $(M+m) g h$. Такой способ рассуждения приводит к ошибочной формуле
\[
h=\frac{1}{2 g} \frac{m}{M+m} V^{2} .
\]

Так как в случае баллистического маятника $m \ll M$, то эта формула дает совершенно неправильное (завышенное во много раз) значение для высоты $h$. Только в другом предельном случае, когда $m \gg M$, обе формулы фактически совпадают, как это ясно и без всяких вычислений. Ошибка приведенного рассуждения состоит в том, что оно не учитывает потери механической энергии при ударе.

При практических вычислениях удобно выразить высоту $h$ через угол отклонения маятника из положения равновесия $\alpha$, который легче поддается измерению, чем высота $h$. Очевидно, $h=l(1-\cos \alpha)=2 l \sin ^{2}(\alpha / 2)$, где $l-$ длина маятника. Пользуясь этим выражением, формулу (26.3) нетрудно привести к виду
\[
V=2 \frac{M+m}{m} \sqrt{g l} \sin \frac{\alpha}{2} \approx 2 \frac{M}{m} \sqrt{g l} \sin \frac{\alpha}{2} .
\]