1. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Разумеется, их нельзя получить из одних только свойств симметрии какого бы то ни было вида. Законы сохранения относятся к материальным физическим объектам, а последние не являются только пространственно-временными конструкциями. Для вывода законов сохранения в механике нужны какие-то дополнительные исходные положения механического характера. Однако число этих исходных положений можно уменьшить, если использовать свойства симметрии пространства и времени. Так, в этом случае при выводе законов сохранения импульса и момента импульса не потребуется закон равенства действия и противодействия.

В аналитической механике основные законы обычно выражают через функцию Лангранжа (по имени французского математика и механика Жозефа Лангранжа ( $1736-1813)$ ), и симметрия, о которой идет речь, означает пространственно-временную симметрию самой функции Лангранжа. В общем курсе физики мы не можем идти по этому пути. В основу изложения мы положим второй закон Ньютона. Тогда утверждение, приведенное в начале этого параграфа, надо понимать в том смысле, что перечисленные в нем законы сохранения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени. Впрочем, при выводе закона сохранения энергии надо ввести и некоторые более специальные предположения относительно характера действующих сил.
2. Под симметрией пространства и времени понимают однородность времени, однородность и изотропию пространства. Однородность времени означает равноправие всех моментов времени. Однородность пространства означает, что в пространстве нет выделенных положений, все точки пространства равноправны. Аналогично изотропия пространства характеризуется отсутствием в нем выделенных направлений, все направления в пространстве эквивалентны.
Более полно:
Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совериенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в ней будут протекать совершенно одинаково.

Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. В том же смысле надо понимать и изотропию пространства, только вместо переноса замкнутой системы надо говорить о ее повороте в пространстве на любой угол.

Оговорка относительно замкнутости системы существенна. Положения тела у подножья горы и на ее вершине отнюдь не эквивалентны. На Земле направления вверх и вниз объективно характеризуются разными свойствами: тела на Земле из состояния покоя самопроизвольно всегда падают вниз, но никогда не поднимаются вверх. Одно и то же явление протекает по времени по-разному, если его начать воспроизводить в различные моменты времени, так как при переходе от одного момента времени к другому может измениться обстановка, в которой явление происходит. Но все эти примеры относятся к незамкнутым системам. На поведении замкнутых систем изменения окружающей обстановки не сказываются.

Здесь необходимо сделать такое же замечание, что и в 15 в связи с принципом относительности Галилея. Нельзя понимать под замкнутой системой тел всю Вселенную. Если поступить так, то перечисленные свойства симметрии пространства и времени стали бы самоочевидными. Но они стали бы и бессодержательными. Ибо говорить о переносе или повороте системы тел можно только по отношению к каким-то другим телам. Речь идет не о всей Вселенной в целом, а о таких ее частях, которые можно рассматривать как (приближенно) замкнутые системы. Отсюда ясно, что свойства пространства и времени, о которых мы говорили, отнюдь не самоочевидны. На них надо смотреть как на фундаментальные обобщения опытных фактов.
3. После этих разъяснений обратимся к выводу закона сохранения энергии в механике. Из динамики мы заимствуем следствие второго закона Ньютона, выражающееся формулой
\[
A_{12}=K_{2}-K_{1} \text {, }
\]
т. е. работа сил над механической системой равна приращению ее кинетической энергии $K$ (см. § 22). Следующую часть наших рассуждений проведем применительно к одной материальной точке. В случае системы материальных точек все будет обстоять так же, изменится только число аргументов, от которых зависит потенциальная функция $U$, вводимая ниже. Предположим, что проекции силы $F_{x}, F_{y}, F_{z}$, действующие на материальную точку, могут быть получены дифференцированием потенциальной функции $U$ :
\[
F_{x}=-\frac{\partial U}{\partial x}, \quad F_{y}=-\frac{\partial U}{\partial y}, \quad F_{z}=-\frac{\partial U}{\partial z} .
\]

Однако сама потенциальная функция $U$ может зависеть явно не только от координат $x, y, z$ рассматриваемой материальной точки, но и от времени $t: U=U(x, y, z, t)$. Например, это будет так, когда точка находится в силовом поле других тел, которое меняется во времени. Работа, производимая действующими силами над материальной точкой при перемещении ее вдоль некоторой кривой из положения $I$ в положение 2 , представляется интегралом
\[
A_{12}=-\int\left(\frac{\partial U}{\partial x} d x+\frac{\partial U}{\partial y} d y+\frac{\partial U}{\partial z} d z\right),
\]

взятым вдоль той же кривой. Прибавим и вычтем под знаком интеграла член $\frac{\partial U}{\partial t} d t$. Тогда, вводя полный дифференциал
\[
d U=\frac{\partial U}{\partial x} d x+\frac{\partial U}{\partial y} d y+\frac{\partial U}{\partial z} d z+\frac{\partial U}{\partial t} d t,
\]

представим предыдущее выражение в виде
\[
A_{12}=-\int d U+\int \frac{\partial U}{\partial t} d t .
\]

В таком виде оно справедливо и для системы материальных точек. Поэтому дальнейшие рассуждения не связаны с предположением, что система состоит из одной материальной точки. После интегрирования получаем
\[
A_{12}=U_{1}-U_{2}+\int \frac{\partial U}{\partial t} d t .
\]

Комбинация этой формулы с (38.1) приводит к соотношению
\[
\left(K_{2}+U_{2}\right)-\left(K_{1}+U_{1}\right)=\int \frac{\partial U}{\partial t} d t .
\]

До сих пор мы не использовали условие замкнутости системы и свойства однородности времени, поэтому наши рассуждения применимы и для незамкнутых систем. Допустим теперь, что система замкнута. Тогда ввиду однородности времени функция $U$ не может явно зависеть от времени, т. е. $\frac{\partial U}{\partial t}=0$. В результате получим
\[
K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2},
\]
т. е. уравнение, выражающее механический закон сохранения энергии.
4. Перейдем к доказательству закона сохранения импульса. Допустим, что механическая система замкнута. Все силы $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots$, действующие на материальные точки системы, являются силами внутренними, внешних сил нет. Ввиду однородности пространства энергия системы не изменится, если систему сместить из одного положения пространства в другое. Математически
\[
U\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots\right)=U\left(\mathbf{r}_{1}+\mathbf{R}, \mathbf{r}_{2}+\mathbf{R}, \ldots\right),
\]

каковы бы ни были радиусы-векторы материальных точек системы в начальном положении $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \ldots$ и каков бы ни был вектор смещения $\mathbf{R}$. Выберем $\mathbf{R}$ бесконечно малым и направим его вдоль оси $X: \mathbf{R}=\delta x \mathbf{i}$. Тогда
\[
\left(\frac{\partial U}{\partial x_{1}}+\frac{\partial U}{\partial x_{2}}+\ldots\right) \delta x=0 .
\]

Ввиду произвольности $\delta x$ выражение в скобках обращается в нуль. А в силу (29.9) его можно представить в виде $F_{1 x}+F_{2 x}+\ldots=0$. Аналогичные соотношения можно написать и для проекций сил на оси $Y$ и $Z$. Вообще для замкнутой системы $\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots=0$. А это есть как раз то условие, при выполнении которого из второго закона Ньютона получается закон сохранения импульса (см. § 12).
5. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы доказывается в точности так же. Используя изотропию пространства, можно доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе, равна нулю: $\mathbf{M}_{1}+\mathbf{M}_{2}+\ldots=0$ (см. задачу 2 к § 46). Отсюда немедленно следует рассматриваемый закон (см. § 30).

ЗАДАЧИ

1. Пусть $U\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)$ означает потенциальную энергию взаимодействия двух материальных точек как функцию радиусов-векторов $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, определяющих их положения в пространстве. Используя однородность пространства, доказать, что $U$ является функцией только разности $\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}$. Обобщить результат на случай системы $n$ взаимодействующих материальных точек.

Решение. Ввиду однородности пространства потенциальная энергия $U$ не изменится, если обе взаимодействующие точки сместить на один и тот же вектор а. Записанное математически, это условие гласит: $U\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)=U\left(\mathbf{r}_{1}+\mathbf{a}, \mathbf{r}_{2}+\mathbf{a}\right)$. Это соотношение должно выполняться, каков бы ни был вектор a. Полагая $\mathbf{a}=-\mathbf{r}_{1}$, получим $U=U\left(0, \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)$, т. е. $U=f\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)$, где $f-$ какая-то функция только разности $\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}$.

Если система состоит из $n$ взаимодействующих материальных точек, то, рассуждая аналогично, найдем
\[
U=f\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}, \ldots\right) .
\]

Разумеется, вместо первой точки можно взять любую из материальных точек системы. Значит, потенциальная энергия $U$ может зависеть только от $n-1$ векторных аргументов: разностей радиусов-векторов каких-либо $n-1$ точек системы и радиуса-вектора остальной точки.
2. Какие дополнительные ограничения накладывает на вид функции $U$ изотропия пространства?

Отвст. Потснциальная энсргия $U$ можст зависсть только от расстояний каких-либо $n-1$ материальных точек системы от остальной точки.
3. Используя однородность пространства и галилеевский принцип относительности, показать, что сила взаимодействия материальных точек $I$ и 2 не зависит от их координат и скоростей, а может зависеть только от разностей этих координат и скоростей.

Решение. В силу однородности пространства и галилеевского принципа относительности ускорение $\mathbf{a}$, а с ним и сила $\mathbf{f}=m \mathbf{a}$ инвариантны относительно переноса начала координат и преобразования Галилея. Возьмем две системы отсчета $S$ и $S^{\prime}$. Рассматривая силу $\mathbf{f}$ как функцию координат и скоростей в системе $S^{\prime}$, напишем $\mathbf{f}=\mathbf{f}\left(\mathbf{r}_{1}^{\prime}, \mathbf{r}_{2}^{\prime}, \mathbf{v}_{1}^{\prime}, \mathbf{v}_{2}^{\prime}\right)$. Систему $S^{\prime}$ можно выбрать произвольно. Выберем ее так, чтобы в рассматриваемый момент времени материальная точка $I$ находилась в начале координат ( $\mathbf{r}_{1}^{\prime}=0$ ), а ее скорость равнялась нулю $\left(\mathbf{v}_{1}^{\prime}=0\right.$ ). Тогда в этот момент сила $\mathbf{f}$ будет функцией только двух аргументов: $\mathbf{f}=\mathbf{f}\left(\Delta \mathbf{r}_{2}^{\prime}, \Delta \mathbf{v}_{2}^{\prime}\right)$. Но разности координат и скоростей в обеих системах отсчета одинаковы, а потому $\Delta \mathbf{r}_{2}^{\prime}=\mathbf{r}_{2}^{\prime}-\mathbf{r}_{1}^{\prime}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, \Delta \mathbf{v}_{2}^{\prime}=\mathbf{v}_{2}^{\prime}-\mathbf{v}_{1}^{\prime}=\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}$. В результате получим
\[
\mathbf{f}=\mathbf{f}\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, \mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right) .
\]