1. В качестве примера применения принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции рассмотрим явление гравитационного смещения спектральных линий, теоретически предсказанное Эйнштейном. Будем исходить из представления, что свет есть волны, которые в вакууме распространяются со скоростью $c \approx 300000 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$. Свет определенной спектральной линии характеризуется определенной частотой, или числом колебаний в секунду, которую мы будем обозначать через $v$. Такой свет называется монохроматическим, т. е. одноцветным. Пусть монохроматический свет приходит к нам от какого-либо удаленного источника, причем в пространстве, через которое он распространяется, гравитационного поля нет. Обозначим через через $v_{0}$ частоту световой волны, которую воспринимает наблюдатель, покоящийся в какой-либо инерциальной системе отсчета. Если наблюдатель начнет двигаться навстречу световым лучам с постоянным ускорением $a$ (рис. 196 a), то частота воспринимаемого света увеличится (эффект Доплера).

Простой расчет показывает, что с точностью до членов порядка $(v / c)^{2}$ относительное изменение воспринимаемой частоты определяется формулой
\[
\frac{v-v_{0}}{v_{0}}=\frac{v}{c},
\]

где $v$ – скорость наблюдателя. За положительные направления $\mathbf{v}$ и а мы принимаем направления против распространения света. Если наблюдатель
Рис. 196 двигался в течение времени $t$, то $\mathbf{v}=\mathbf{a} t$. За это время свет проходит расстояние $l=c t=c v / a$, а потому изменение частоты за то же время определится формулой
\[
\frac{v-v_{0}}{v_{0}}=\frac{a l}{c^{2}} .
\]
2. Допустим теперь, что наблюдатель в инерциальной системе отсчета неподвижен, но в ней имеется однородное гравитационное поле с напряженностью g (рис. 196 б). Если величину $\mathbf{g}$ подобрать равной $-\mathbf{a}(\mathbf{g}=-\mathbf{a})$, то по принципу эквивалентности гравитационное поле вызовет в точности такое же изменение частоты света, что и в предыдущем случае. При распространении света по направлению гравитационного поля g частота световой волньг будет возрастать, а при распространении в противоположном направлении – убывать. В этом и состоит явление гравитационного смещения спектральных линий, предсказанное Эйнштейном. Значение смещения определяется формулой
\[
\frac{
u-v_{0}}{v_{0}}=\frac{g l}{c^{2}}
\]

где $l$ – расстояние, проходимое светом в поле тяготения.
При выводе формулы (72.1) предполагалось, что поле постоянно и однородно. Результат нетрудно обобщить на случай произвольного постоянного неоднородного гравитационного поля. С этой целью разобьем путь светового луча на бесконечно малые участки $d \mathbf{r}$. На протяжении каждого из таких участков гравитационное поле может считаться однородным. Если $d v$ – изменение частоты светового луча при прохождении участка $d \mathbf{r}$, то по формуле (72.1)
\[
\frac{d v}{v}=\frac{\mathbf{g} d \mathbf{r}}{c^{2}},
\]

так как составляющая вектора $\mathbf{g}$, перпендикулярная к направлению распространения света, на изменение частоты не оказывает влияния. Если свет проходит конечный путь из начального положения 1 в конечное положение 2 , то изменение частоты на этом пути найдется интегрированием полученного выражения, т. е. по формуле
\[
\ln \frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{1}{c^{2}} \int \mathbf{g} d \mathbf{r}
\]

Интегрирование не обязательно проводить вдоль пути, по которому распространяется свет. Можно взять произвольный путь, соединяющий начальную точку 1 с конечной точкой 2. Гравитационные силы постоянных полей являются силами консервативными, так что интеграл от формы пути не зависит. Интеграл имеет смысл работы, которую совершили бы силы гравитационного поля над единичной массой при ее перемещении из положении 1 в положение 2. Эта работа называется разностью гравитационных потенциалов $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ между точками 1 и 2 . В этих обозначениях
\[
\ln \frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{c^{2}} .
\]

При малой разности потенциалов, когда
\[
\left|\varphi_{1}-\varphi_{2}\right| \ll c^{2},
\]

формула переходит в
\[
\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{1}}=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{c^{2}} .
\]

При распространении света от высшего гравитационного потенцила к низиему его частота увеличивается, при распространении в противоположном направлении – уменьшается.

В 1960 г. американским физикам Роберту Паунду (р. 1919) и Дж. Ребке удалось с уверенностью наблюдать с использованием так называемого эффекта Мёссбауэра (по имени немецкого физика-экспериментатора Рудольфа Мессбауэра (р. 1929 г.)) гравитационное смещение спектральных линий при распространении света даже в поле тяжести Земли. Проходимый путь (сверху вниз) составляет всего 20 м. В этом случае ожидаемое смещение $\left(v-v_{0}\right) / v_{0} \approx 2 \cdot 10^{-14}$.

Измерения дали такой же результат. Это является подтверждением принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.