1. Рассмотрим сначала частный случай, когда материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось $X$, поместив начало координат $O$ в какой-то произвольной точке ее (рис. 5). Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой:
\[
x=x(t) .
\]

Пусть в какой-то фиксированный момент времени $t$ материальная точка находится в положении $A_{1}$. В этот момент ее координата равна $x_{1}=x(t)$. В более поздний момент времени $t+\Delta t$ материальная точка переместится в положение $A_{2}$ с координатой $x_{2}=x(t+\Delta t)$. За время $\Delta t$ материальная точка проходит путь $\Delta x=x_{2}-x_{1}=x(t+\Delta t)-x(t)$. Путь считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, если оно происходит влево. Отношение пройденного пути $\Delta x$ к промежутку времени $\Delta t$ называется средней скоростью материальной точки за время $\Delta t$, или, точнее, за время между $t u t+\Delta t$. Таким образом, по определению средняя скорость равна
\[
v_{\text {cp }}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} .
\]

Такое определение средней скорости имеет смысл для любых значений $\Delta t$. Надо исключить только значение $\Delta t=0$, так как в этом случае для средней скорости мы получили бы выражение $\frac{0}{0}$, которое само по себе не имеет смысла. Однако ничто не мешает брать промежуток времени $\Delta t$ как угодно малым, но отличным от нуля. Вообще говоря, средняя скорость зависит не только от $t$, но и от $\Delta t$. Будем теперь, оставляя момент времени $t$ неизменным, брать промежуток времени $\Delta t$ все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда будет стремиться к нулю и проходимый путь $\Delta x$. Отношение же $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при этом, как показывает опыт, будет стремиться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от $t$, но уже не будет зависеть от $\Delta t$. Этот предел называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени $t$ :
\[
v=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} .
\]

Пределы типа (3.3) встречаются в самых разнообразных вопросах математики и ее приложениях. В математике предел, определяемый формулой (3.3), называется производной функции $x(t)$ по аргументу $t$. Производная во времени обозначается символом $\dot{x}(t)$ или $\frac{d x}{d t}$. Таким образом, по определению
\[
\dot{x} \equiv \frac{d x}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} .
\]

Понятие производной является основным понятием дифференциального исчисления. Используя это понятие, можно сказать, что истинная или мгновенная скорость $v$ есть производная координаты $x$ по времени, или производная пройденного пути $s$ по времени:
\[
v=\dot{x}=\frac{d x}{d t}=\frac{d s}{d t} .
\]

Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: $v=v(t)$. Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначаем через a. Таким образом, по определению ускорения
\[
a=\frac{d v}{d t}=\dot{v}(t)
\]

или
\[
a=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} .
\]

Производная (3.6) называется также второй производной координаты $x$ по времени и обозначается символами
\[
a=\ddot{x} \equiv \frac{d^{2} x}{d t^{2}} .
\]

В существовании первой и второй производных координаты по времени в механике, как и во всех аналогичных вопросах физики, мы убеждаемся не путем логических рассуждений, а опытным путем.
2. Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1. $x=$ const, т. е. координата $x$ остается постоянной во времени. В этом случае материальная точка неподвижна, приращение координаты $\Delta x$ равно нулю. Равны нулю также средняя и истинная скорости точки: $v=\ddot{x}=0$. Вообще, производная всякой постоянной величины равна нулю.

Пример 2. $x=B t+C$, где $B$ и $C$ – постоянные коэффициенты. В этом случае говорят, что координата $x$ является линейной функцией времени $t$. Очевидно,
\[
\begin{array}{c}
x+\Delta x=B(t+\Delta t)+C=(B t+C)+B \Delta t, \\
\Delta x=B \Delta t, \quad v_{\mathrm{cp}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=B .
\end{array}
\]

Средняя скорость постоянна и равна $B$. Поэтому истинная скорость также постоянна и равна средней скорости:
\[
v=\frac{d x}{d t}=v_{\mathrm{cp}}=B .
\]

Движение с постоянной скоростью называется равномерным. Обозначим через $x_{0}$ значение координаты $x$ в начальный момент времени $t=0$. Величина $x_{0}$ называется начальной координатой и, очевидно, $x_{0}=C$. Пройденный путь $s$ определяется приращением координаты, $s=x-x_{0}=B t$, или
\[
s=v t .
\]

Пример 3. $x=A t^{2}+B t+C$, где $A, B$ и $C$ – постоянные коэффициенты. В этом случае говорят, что координата $x$ является квадратичной функцией времени $t$. Очевидно,
\[
\begin{array}{c}
x+\Delta x=A(t+\Delta t)^{2}+B(t+\Delta t)+C= \\
=\left(A t^{2}+B t+C\right)+(2 A t+B) \Delta t+A(\Delta t)^{2}, \\
v_{\text {ср }}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=(2 A t+B)+A \Delta t .
\end{array}
\]

Здесь $v_{\text {ср }}$ зависит не только от $t$, но и от $\Delta t$. В пределе, когда $\Delta t \rightarrow 0$, член $A \Delta t$ обращается в нуль, и мы получаем следующее выражение для истинной скорости:
\[
v=2 A t+B .
\]

Истинная скорость является линейной функцией времени $t$, а потому, дифференцируя ее, получаем постоянное значение для ускорения:
\[
a=\frac{d v}{d t}=2 A .
\]

Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным. Постоянная $A$ равна половине ускорения: $A=a / 2$. Выясним теперь физический смысл постоянных $B$ и $C$. При $t=0$ наши формулы дают $v=B$. Скорость в момент времени $t=0$ называется начальной скоростью и обозначается через $v_{0}$. Мы видим, что постоянная $B$ равна начальной скорости: $B=v_{0}$. Аналогично доказывается, что постоянная $C$ есть начальная координата движущейся точки: $C=x_{0}$. С введением этих величин можно написать
\[
x=\frac{a t^{2}}{2}+v_{0} t+x_{0}, \quad v=a t+v_{0} .
\]

Пройденный путь равен $s=x-x_{0}$, т. е.
\[
s=\frac{a t^{2}}{2}+v_{0} t .
\]

Примерами равноускоренного движения могут служить свободное падение тел и скатывание тела по наклонной плоскости без трения. С возрастанием высоты падения постоянство ускорения нарушается сопротивлением воздуха, а также неоднородностью поля тяготения.
3. По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводятся угловая скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки $M$ на окружности можно задать углом $\alpha$, который образует радиус-вектор $O M$ с каким-либо неизменным направлением $O X$ (рис. 6). Производная этого угла по времени
\[
\omega=\frac{d \alpha}{d t}
\]

называется угловой скоростью. Вращение называется равномерным, если угловая скорость $\omega$ постоянна. В этом случае $\alpha=\omega t+$ const. При равномерном вращении величину $\omega$ называют также угловой частотой вращения. Величина $v=\omega / 2 \pi$ дает число оборотов в единицу времени и называется частотой обращения. Величина $T=1 / v$ есть продолжительность одного обращения и называется периодом вращения.
Первая производная угловой скорости $\omega$ или вторая производная угла $\alpha$ по времени называется угловым ускорением:
\[
\dot{\omega}=\frac{d \omega}{d t}=\frac{d^{2} \alpha}{d t^{2}} .
\]

Рис. 6
Если $s$ означает длину дуги окружности $X M$, то ее производные $v=\frac{d s}{d t}$ и $a=\frac{d^{2} s}{d t^{2}}$ дают линейную скорость и линейное ускорение при движении точки по окружности. Если $r$ – радиус окружности, то $s=r \alpha$. Дифференцируя это соотношение по времени, находим
\[
v=\omega r, \quad a=\dot{\omega} r .
\]