1. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Чтобы получить представление о распределении скоростей в нем, достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какой-либо одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Это значит, что тело можно считать как бы плоским. Соответствующее распределение скоростей показано на схематическом рис. 111. Точка $O$ тела, через которую проходит ось вращения, неподвижна. Все другие точки тела движутся по окружностям с центром в $O$. Их плоскости пропорциональны радиусам соответствующих окружностей. Модули скоростей могут меняться с течением времени, но ось вращения остается одной и той же.
2. Рассмотрим теперь более общее движение плоского твердого тела. Плоскость вращения совпадает с плоскостью самого тела. Никакой неподвижной оси, вокруг которой происходило бы вращение тела, не предполагается. Если $A$ и $B$ — две произвольные точки твердого тела (рис. 112), то расстояние между ними остается неизменным, а потому ${({\mathbf{r}}_B-{\mathbf{r}}_A)}^2=$ const. Дифференцируя это соотношение по времени, получим $({\mathbf{r}}_B-{\mathbf{r}}_A)({\dot{\mathbf{r}}}_B-{\dot{\mathbf{r}}}_A)=0$, или
$${\mathbf{r}}_{AB}({\mathbf{v}}_B-{\mathbf{v}}_A)=0,$$

где ${\mathbf{r}}_{AB}\equiv \overrightarrow{AB}$. Допустим, что в рассматриваемый момент времени в теле существует точка, скорость которой в этот момент времени равна нулю. (В § 47 будет показано, что такая точка существует для произвольного плоского движения твердого тела.) Примем ее за точку $A$. Тогда для рассматриваемого момента времени

Рис. 111
$${\mathbf{r}}_{AB}{\mathbf{v}}_B=0,$$

каково бы ни было положение точки $B$. Отсюда видно, что скорость ${\mathbf{v}}_B$ перпендикулярна к ${\mathbf{r}}_{AB}$, т. е. направлена по касательной к окружности с центром в $A$. При движении твердого тела всякая прямая в теле остается прямой. Это справедливо и для прямой, соединяющей точки $A$ и $B$. Поскольку в рассматриваемый момент точка $A$ неподвижна, то модуль скорости ${\mathbf{v}}_B$ в этот момент пропорционален расстоянию $AB$ от точки $B$ до точки $A$. На основании всего этого можно сказать, что мгновенное распределение скоростей в теле в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А. Движение тела в этом случае называют мгновенным вращением. Прямая, проходящая через точки тела, скорости которых в рассматриваемый момент времени равны нулю, называется
Рис. 112 мгновенной осью вращения. В нашем примере мгновенная ось проходит через точку $A$. Словом «мгновенная» хотят подчеркнуть, что это понятие служит для описания распределения скоростей только в какой-то заданный момент време$ни$. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве, мгновенная ось, вообе говоря, перемещается как в теле, так и в пространстве. Если получить моментальную фотографию распределения скоростей в теле, то по виду этой фотографии нельзя сказать, происходит ли вращение вокруг неподвижной или вокруг мгновенной оси. Чтобы отличить эти два вращения, надо получить такие фотографии по крайней мере в два различных момента времени.
3. Мгновенная ось служит для описания мгновенного распределения только скоростей. Той же осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорений или высших производных скорости по времени. Распределение ускорений при вращении вокруг мгновенной оси может существенно отличаться от соответствующего распределения ускорений при вращении вокруг неподвижной оси, хотя бы угловые скорости вращения в обоих случаях и совпадали. Дело в том, что для определения ускорений недостаточно знать распределение скоростей только в рассматриваемый момент времени. Надо знать это распределение также в бесконечно близкий момент времени. А в этот момент может оказаться, что движение тела уже перестанет быть вращением вокруг прежней мгновенной оси.

Следующий простой пример хорошо разъясняет суть дела. Рассмотрим качение обруча или диска по плоскости без скольжения (рис. 113). Отсутствие скольжения означает, что точка обруча $A$, в которой он касается плоскости, в рассматриваемый момент неподвижна. Следовательно, движение обруча можно рассматривать как мгновенное вращение его вокруг мгновенной оси, проходящей через точку касания $A$. Распределения скоростей при таком движении показано на рис. 113. С течением времени в соприкосновении с плоскостью будут приходить другие точки обруча. При этом точка касания будет перемещаться по плоскости в ту же сторону, куда движется обруч. Это означает, что мгновенная ось перемещается
Рис. 113
как относительно катящегося обруча, так и относительно плоскости, по которой происходит качение. В этом и состоит смысл утверждения, что мгновенная ось перемещается как в теле, так и в пространстве. Допустим теперь, что качение происходит с постоянной скоростью. Было бы грубой ошибкой вычислять ускорение по формуле $\mathbf{a}=-{\omega }^2\mathbf{R}$, понимая под $\mathbf{R}$ радиусвектор, проведенный от мгновенной оси к рассматриваемой точке обруча. Действительно, полная скорость $\mathbf{v}$ любой точки обруча векторно складывается из скорости ${\mathbf{v}}_C$ поступательного движения центра обруча $C$ и скорости ${\mathbf{v}}_{\text{вр }}$ вращения ее относительно того же центра: $\mathbf{v}={\mathbf{v}}_C+{\mathbf{v}}_{\text{вр }}$. Если обруч катится равномерно, то $\frac{d{\mathbf{v}}_C}{dt}=0$, и ускорение
будет равно $\mathbf{a}=\frac{d{\mathbf{v}}_{\mathrm{Bp}}}{dt}$. Поступательное движение не влияет на ускорение а. Оно такое же, как и при вращении вокруг неподвижного центра, т. е. $\mathbf{a}=-{\omega }^2\mathbf{r}$, где радиус-вектор $\mathbf{r}$ проведен из центра обруча $O$. Таким образом, при равномерном качении ускорение а направлено к центру обруча, а не к мгновенной оси.