1. Жидкости и газы обладают только объемной упругостью, но не упругостью формы. Поэтому в них могут распространяться только продольные возмущения, но не могут распространяться возмущения поперечные. Скорость распространения продольных возмущений в жидкой или газообразной среде можно вычислить по формуле (81.5). Но для этого надо решить, что́ в этом случае играет роль модуля Юнга $E$. Вообразим, что жидкая или газообразная среда заключена в гладкую прямолинейную трубу постоянного поперечного сечения. Трением между средой и стенками трубы пренебрежем. Стенки трубы будут препятствовать поперечному движению среды, нисколько не мешая продольному движению. Газ или жидкость в такой трубе можно рассматривать как стержень, вдоль которого распространяются продольные возмущения. Отличие от твердых тел состоит в том, что газы могут существовать только под давлением. При отсутствии такового всякий газ неограниченно расширился бы. Поэтому необходимо предполагать, что в невозмущенном состоянии давление внутри газа отлично от нуля. Обозначим его через $P_{0}$. Так же будем поступать в случае жидкости. Если давление внутри газа получит приращение и сделается равным $P=P_{0}+\Delta P$, то изменится и объем рассматриваемой массы газа.

Определим, как изменение объема газа $\Delta V$ связано с приращением его давления $\Delta P$. При этом мы будем предполагать, что $\Delta P$ мало́ по сравнению с $P_{0}: \Delta P \ll P_{0}$. Если газ заключен в трубе, один из концов которой закрыт неподвижным поршнем, то при изменении давления на поршень на величину $\Delta P$ длина газового столба изменится на $\Delta l$. Величина – ( $\Delta l / l)$ есть относительное сжатие столба газа. При малых сжатиях
\[
\Delta P=-A \frac{\Delta l}{l},
\]

где $A$ – постоянная. С другой стороны, формулу (75.5) для стержня можно переписать в виде $\Delta P=-E \frac{\Delta(\Delta l)}{l}$, где $\Delta(\Delta l)$ – приращение длины стержня при изменении давления на $\Delta P$. По смыслу оно совпадает с тем, что в случае газового столба мы обозначили через $\Delta l$. Поэтому, меняя обозначение, модуль Юнга можно определить также с помощью формулы
\[
\Delta P=-E \frac{\Delta l}{l} .
\]

Из нее видно, что в случае газового столба $A=E$. Длина столба газа $l$ пропорциональна его объему $V$, и предыдущую формулу можно записать в виде
\[
\Delta P=-E \frac{\Delta V}{V} .
\]

В этом виде формула сохраняет смысл для любой формы сосуда, в котором заключен газ, тогда как формула (85.1) относится только к газам в сосудах цилиндрической формы.

Будем считать, что давление газа зависит только от его объема $V$. Тогда для малых изменений объема

или
\[
\Delta P=\frac{d P}{d V} \Delta V
\]
\[
\Delta P=\left(-V \frac{d P}{d V}\right)\left(-\frac{\Delta V}{V}\right) .
\]

Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что в газах (и жидкостях) роль модуля Юнга играет величина
\[
E=-V \frac{d P}{d V} .
\]

Вместо объема тела $V$ удобнее ввести плотность $\rho$. Величина $V \rho$ есть масса тела, остающаяся постоянной при всех изменениях. Из соотношения $V \rho=$ const путем дифференцирования находим
\[
\frac{d V}{V}=-\frac{d \rho}{\rho},
\]

а потому
\[
E=\rho \frac{d P}{d \rho} .
\]

Подставляя это выражение в формулу (81.5), получаем для скорости звука в газах и жидкостях
\[
c=\sqrt{\frac{d P}{d \rho}} .
\]
2. Применим формулу (85.5) к вычислению скорости звука в газах. Впервые это было сделано Ньютоном. Он принял, что изменения давления и плотности газа в звуковой волне подчиняются закону Бойля-Мариотта (Роберт Бойль (1627-1691) – знаменитый английский физик и химик, Эдм Мариотт (1620-1684) – французский физик): $P=A \rho$, где $A=$ const. Отсюда $d P / d \rho=A=P / \rho$. В peзультате получается формула Ньютона
\[
c_{\mathrm{H}}=\sqrt{\frac{P}{\rho}} .
\]

Здесь скорость звука обозначена через $c_{\mathrm{H}}$, чтобы подчеркнуть, что речь идет о скорости звука, вычисляемой по формуле Ньютона.

Преобразуем формулу (85.6) к другому виду, более удобному в численных расчетах. Как известно, объем, давление и абсолютная температура $T$ идеальных газов связаны соотношением
\[
P V=R T,
\]

где $R$ – постоянная. Если газ взят в количестве одного моля, то постоянная $R$ будет иметь одно и то же числовое значение для всех газов. Она называется универсальной газовой постоянной и равна $R=8,31 \cdot 10^{7}$ эрг $\cdot K^{-1} \cdot$ моль $^{-1}$. Напомним, что молем называется количество вещества, масса которого в граммах численно равна молекулярной массе этого вещества $\mu$. Отсюда следует, что плотность $\rho$ связана с объемом $V$ моля идеального газа соотношением $\mu=\rho V$. В результате получаем
\[
\begin{array}{c}
P=\frac{R T}{\mu} \rho, \\
c_{\mathrm{H}}=\sqrt{\frac{R T}{\mu}} .
\end{array}
\]

Вычислим по этой формуле скорость звука в воздухе при $0^{\circ} \mathrm{C}$ ( $T=273 \mathrm{~K}$ ). Воздух есть смесь различных газов, основными частями которой являются азот ( $\mu=28$ ) и кислород ( $\mu=32$ ). Среднюю молекулярную массу такой смеси примем равным $\mu=28,8$. Подставляя в формулу (85.9) числовые значения, получим $c_{\mathrm{H}}=280 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Опыт дает $c=330 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Налицо значительное расхождение между теорией и опытом. Причина этого расхождения долгое время оставалась непонятной. Она была установлена Лапласом (1749-1827) лишь в начале XIX века. Закон Бойля-Мариотта относится к таким изменениям давления и объема газа, при которых его температура остается постоянной. Между тем звуковая волна состоит из следующих друг за другом сжатий и разрежений газа. Над сжатыми областями производится внешняя работа, которая идет на повышение их температуры. Разреженные области сами совершают внешнюю работу и благодаря этому охлаждаются. Так как сжатия и разрежения совершаются очень быстро, то температуры между ними не успевают выравниваться: сжатые области всегда теплее разреженных. Наличие этой разности температур повышает перепад давления между сжатиями и разрежениями и ведет к увеличению скорости звука в газах. Это обстоятельство и не было учтено формулой Ньютона. Ньютон при вычислении скорости звука подставил в формулу (81.5) изотермический модуль упругости $E$, а надо было пользоваться адиабатическим модулем (см. § 79). Количественное исследование вопроса будет дано в томе II нашего курса.