1. Жидкости и газы обладают только объемной упругостью, но не упругостью формы. Поэтому в них могут распространяться только продольные возмущения, но не могут распространяться возмущения поперечные. Скорость распространения продольных возмущений в жидкой или газообразной среде можно вычислить по формуле (81.5). Но для этого надо решить, что́ в этом случае играет роль модуля Юнга $E$. Вообразим, что жидкая или газообразная среда заключена в гладкую прямолинейную трубу постоянного поперечного сечения. Трением между средой и стенками трубы пренебрежем. Стенки трубы будут препятствовать поперечному движению среды, нисколько не мешая продольному движению. Газ или жидкость в такой трубе можно рассматривать как стержень, вдоль которого распространяются продольные возмущения. Отличие от твердых тел состоит в том, что газы могут существовать только под давлением. При отсутствии такового всякий газ неограниченно расширился бы. Поэтому необходимо предполагать, что в невозмущенном состоянии давление внутри газа отлично от нуля. Обозначим его через $P_0$. Так же будем поступать в случае жидкости. Если давление внутри газа получит приращение и сделается равным $P=P_0+\mathrm{\Delta }P$, то изменится и объем рассматриваемой массы газа.

Определим, как изменение объема газа $\mathrm{\Delta }V$ связано с приращением его давления $\mathrm{\Delta }P$. При этом мы будем предполагать, что $\mathrm{\Delta }P$ мало́ по сравнению с $P_0:\mathrm{\Delta }P\ll P_0$. Если газ заключен в трубе, один из концов которой закрыт неподвижным поршнем, то при изменении давления на поршень на величину $\mathrm{\Delta }P$ длина газового столба изменится на $\mathrm{\Delta }l$. Величина — ( $\mathrm{\Delta }l/l)$ есть относительное сжатие столба газа. При малых сжатиях
$$\mathrm{\Delta }P=-A\frac{\mathrm{\Delta }l}{l},$$

где $A$ — постоянная. С другой стороны, формулу (75.5) для стержня можно переписать в виде $\mathrm{\Delta }P=-E\frac{\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Delta }l)}{l}$, где $\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Delta }l)$ — приращение длины стержня при изменении давления на $\mathrm{\Delta }P$. По смыслу оно совпадает с тем, что в случае газового столба мы обозначили через $\mathrm{\Delta }l$. Поэтому, меняя обозначение, модуль Юнга можно определить также с помощью формулы
$$\mathrm{\Delta }P=-E\frac{\mathrm{\Delta }l}{l}.$$

Из нее видно, что в случае газового столба $A=E$. Длина столба газа $l$ пропорциональна его объему $V$, и предыдущую формулу можно записать в виде
$$\mathrm{\Delta }P=-E\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}.$$

В этом виде формула сохраняет смысл для любой формы сосуда, в котором заключен газ, тогда как формула (85.1) относится только к газам в сосудах цилиндрической формы.

Будем считать, что давление газа зависит только от его объема $V$. Тогда для малых изменений объема

или
$$\mathrm{\Delta }P=\frac{dP}{dV}\mathrm{\Delta }V$$
$$\mathrm{\Delta }P=(-V\frac{dP}{dV})(-\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}).$$

Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что в газах (и жидкостях) роль модуля Юнга играет величина
$$E=-V\frac{dP}{dV}.$$

Вместо объема тела $V$ удобнее ввести плотность $\rho$. Величина $V\rho$ есть масса тела, остающаяся постоянной при всех изменениях. Из соотношения $V\rho =$ const путем дифференцирования находим
$$\frac{dV}{V}=-\frac{d\rho }{\rho },$$

а потому
$$E=\rho \frac{dP}{d\rho }.$$

Подставляя это выражение в формулу (81.5), получаем для скорости звука в газах и жидкостях
$$c=\sqrt{\frac{dP}{d\rho }}.$$
2. Применим формулу (85.5) к вычислению скорости звука в газах. Впервые это было сделано Ньютоном. Он принял, что изменения давления и плотности газа в звуковой волне подчиняются закону Бойля-Мариотта (Роберт Бойль (1627-1691) — знаменитый английский физик и химик, Эдм Мариотт (1620-1684) — французский физик): $P=A\rho$, где $A=$ const. Отсюда $dP/d\rho =A=P/\rho$. В peзультате получается формула Ньютона
$$c_{\mathrm{H}}=\sqrt{\frac{P}{\rho }}.$$

Здесь скорость звука обозначена через $c_{\mathrm{H}}$, чтобы подчеркнуть, что речь идет о скорости звука, вычисляемой по формуле Ньютона.

Преобразуем формулу (85.6) к другому виду, более удобному в численных расчетах. Как известно, объем, давление и абсолютная температура $T$ идеальных газов связаны соотношением
$$PV=RT,$$

где $R$ — постоянная. Если газ взят в количестве одного моля, то постоянная $R$ будет иметь одно и то же числовое значение для всех газов. Она называется универсальной газовой постоянной и равна $R=8,31\cdot {10}^7$ эрг $\cdot K^{-1}\cdot$ моль ${}^{-1}$. Напомним, что молем называется количество вещества, масса которого в граммах численно равна молекулярной массе этого вещества $\mu$. Отсюда следует, что плотность $\rho$ связана с объемом $V$ моля идеального газа соотношением $\mu =\rho V$. В результате получаем
$$\begin{array}{c}P=\frac{RT}{\mu }\rho ,\\ c_{\mathrm{H}}=\sqrt{\frac{RT}{\mu }}.\end{array}$$

Вычислим по этой формуле скорость звука в воздухе при $0^{\circ }\mathrm{C}$ ( $T=273\mathrm{K}$ ). Воздух есть смесь различных газов, основными частями которой являются азот ( $\mu =28$ ) и кислород ( $\mu =32$ ). Среднюю молекулярную массу такой смеси примем равным $\mu =28,8$. Подставляя в формулу (85.9) числовые значения, получим $c_{\mathrm{H}}=280\mathrm{m}/\mathrm{c}$. Опыт дает $c=330\mathrm{m}/\mathrm{c}$. Налицо значительное расхождение между теорией и опытом. Причина этого расхождения долгое время оставалась непонятной. Она была установлена Лапласом (1749-1827) лишь в начале XIX века. Закон Бойля-Мариотта относится к таким изменениям давления и объема газа, при которых его температура остается постоянной. Между тем звуковая волна состоит из следующих друг за другом сжатий и разрежений газа. Над сжатыми областями производится внешняя работа, которая идет на повышение их температуры. Разреженные области сами совершают внешнюю работу и благодаря этому охлаждаются. Так как сжатия и разрежения совершаются очень быстро, то температуры между ними не успевают выравниваться: сжатые области всегда теплее разреженных. Наличие этой разности температур повышает перепад давления между сжатиями и разрежениями и ведет к увеличению скорости звука в газах. Это обстоятельство и не было учтено формулой Ньютона. Ньютон при вычислении скорости звука подставил в формулу (81.5) изотермический модуль упругости $E$, а надо было пользоваться адиабатическим модулем (см. § 79). Количественное исследование вопроса будет дано в томе II нашего курса.