1. Точная теория симметричного гироскопа учитывает различие направлений мгновенной оси вращения, оси фигуры и момента импульса гироскопа относительно его точки опоры. Она справедлива при любых соотношениях между любыми угловыми скоростями $\omega_{\|}$и $\omega_{\perp}$, с которыми гироскоп вращается вокруг своей оси фигуры и перпендикулярной к ней оси. Однако наиболее важные гироскопические эффекты, которым гироскоп обязан своими научными и техническими применениями, проявляются лишь при соблюдении условия $\omega_{\|} \gg \omega_{\perp}$.

Отложим от точки опоры $O$ в положительном направлении оси фигуры гироскопа единичный вектор $\mathbf{s}$

Рис. 166 (рис. 166). Конечная точка этого вектора называется вершиной гироскопа. Производная $\dot{\mathbf{s}}$ имеет смысл линейной скорости движения вершины гироскопа, а потому может быть представлена в виде $\dot{\mathbf{s}}=[\omega \mathbf{s}]=\left[\omega_{\perp} \mathbf{s}\right]$. Три вектора $\dot{\mathbf{s}}, \omega_{\perp}$ и $\mathbf{s}$ взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему, как указано на рис. 167. Из этого рисунка видно, что $\omega_{\perp}=[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]$. Поэтому
\[
\mathbf{L}=I_{\|} \dot{\boldsymbol{\omega}}_{\|}+I_{\perp} \omega_{\perp}=I_{\|} \omega_{\|} \mathbf{s}+I_{\perp}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]
\]

Подставив это выражение в уравнение (49.3), получим
\[
I_{\|} \omega_{\|} \mathbf{s}+I_{\|} \omega_{\|} \dot{\mathbf{s}}+I_{\perp}[\mathbf{s} \ddot{\mathbf{s}}]=\mathbf{M} .
\]

Это основное уравнение точной теории симметричного гироскопа. Его удобно разделить на два урав-

Рис. 167 нения. Первое уравнение получается из (52.2) скалярным умножением на $\dot{\mathbf{s}}$. С учетом соотношения $(\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}})=0$ такое умножение дает
\[
I_{\|} \dot{\boldsymbol{\omega}}_{\|}=\mathbf{M}_{\|},
\]

где $\mathbf{M}_{\|} \equiv(\mathbf{M s})$ – проекция вектора $\mathbf{M}$ на ось фигуры гироскопа. Второе уравнение найдем также из (52.2), но векторным умножением на $\mathbf{s}$. Учитывая при этом тождество $[\mathbf{s}[\mathbf{s} \ddot{\mathbf{s}}]]=-\mathbf{s}^{2} \ddot{\mathbf{s}}+(\mathbf{s} \ddot{\mathbf{s}}) \mathbf{s}=-\ddot{\mathbf{s}}+(\mathbf{s} \ddot{\mathbf{s}}) \mathbf{s}$, получим
\[
I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \ddot{\mathbf{s}}]-I_{\perp} \ddot{\mathbf{s}}+I_{\perp}(\mathbf{s} \ddot{\mathbf{s}}) \mathbf{s}=[\mathbf{s} \mathbf{M}] .
\]

Дифференцируя соотношение $(\mathbf{s \dot { \mathbf { s } } )}=0$, найдем ( $\mathbf{\mathbf { s }})+\dot{\mathbf{s}}^{2}=0$. С учетом этого преобразуем последнее уравнение к виду
\[
I_{\perp} \ddot{\mathbf{s}}=[\mathbf{M s}]+I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]-I_{\perp} \dot{\mathbf{s}}^{2} \mathbf{s} .
\]
2. Уравнение (52.3) определяет изменение во времени угловой скорости вращения гироскопа $\omega_{\|}$вокруг оси фигуры. Оно совпадает с соответствующим уравнением вращения твердого тела вокруг закрепленной оси.

Уравнение (52.4) определяет ускорение $\ddot{\mathbf{s}}$, с которым движется вершина гироскопа. Запишем его в виде
\[
\mathbf{I}_{\perp} \ddot{\mathbf{s}}=\mathbf{f}
\]

где введено обозначение
\[
\mathbf{f}=[\mathbf{M s}]+I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]-I_{\perp} \dot{\mathbf{s}}^{2} \mathbf{s} .
\]

В этом виде уравнение (52.5) формально совпадает с уравнением Ньютона. Роль массы играет величина $I_{\perp}$, роль силы – вектор f. Вершина гироскопа движется по поверхности неподвижной сферы единичного радиуса $\mathbf{s}^{2}=1$. Ее ускорение слагается из ускорения ( ( $_{\perp}$, направленного по касательной к этой сфере, и радиального, или центростремительного, ускорения $(\ddot{\mathbf{s}})_{\|}=-\frac{\dot{\mathbf{s}}^{2}}{s} \mathbf{s}=-\dot{\mathbf{s}}^{2} \mathbf{s}$, т. е. $\ddot{\mathbf{s}}=(\ddot{\mathbf{s}})_{\perp}-\dot{\mathbf{s}}^{2} \mathbf{s}$. Подставив это выражение в уравнение (52.5), видим, что центростремительное ускорение из него выпадает. Уравнение принимает вид
\[
I_{\perp}(\ddot{\mathbf{s}})_{\perp}=[\mathbf{M s}]+I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}] .
\]

Следовательно, уравнение (52.5) или эквивалентное ему уравнение (52.7) определяют не полное ускорение вершины гироскопа $\ddot{\mathbf{s}}$, а только его составляющую $(\ddot{\mathbf{s}})_{\perp}$, касательную к поверхности единичной сферы $\mathbf{s}^{2}=1$. Этого достаточно для нахождения движения вершины по начальным условиям (например, по начальному положению и начальной скорости вершины гироскопа). Действительно, движение вершины гироскопа аналогично движению не свободной, а связанной материальной точки, вынужденной находиться на заданной поверхности.

Воображаемую материальную точку, масса которой равна $I_{\perp}$, помещенную в вершине гироскопа, мы иногда будем называть изображающей точкой. На правую часть в уравнении (52.7) можно смотреть как на некоторую «силу\”, сообщающую ускорение изображающей точке. Первое слагаемое в этой «силе» связано с действием реальных сил, возникающих при взаимодействии гироскопа с окружающими телами. Его мы будем называть реальной силой
\[
\mathbf{f}_{\text {реал }}=[\mathbf{M s}] .
\]

Второе слагаемое $I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]$ к взаимодействию тел не имеет отношения. Это есть фиктивная «сила», возникающая при вращении гироскопа вокруг оси фигуры. Она называется отклоняющей силой:
\[
\mathbf{f}_{\text {откл }}=I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]
\]

Отклоняющая сила отлична от нуля только тогда, когда изображающая точка движется. Она перпендикулярна как к оси фигуры гироскопа, так и к скорости движения изображающей точки. Эта сила стремится отклонить вершину гироскопа вбок от направления ее движения. Действием отклоняющей силы объясняются все характерные гироскопические эффекты.

Таким образом, основное уравнение движения симметричного гироскопа может быть записано в виде
\[
I_{\perp}(\ddot{\mathbf{s}})_{\perp}=\mathbf{f}_{\text {реал }}+\mathbf{f}_{\text {откл }} .
\]
3. Приближенная теория гироскопа рассматривает такие движения его, ствительно, в этом случае $\mathbf{f}_{\text {реал }}+\mathbf{f}_{\text {откл }}=0$ или
\[
I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]+[\mathbf{M s}]=0 .
\]

Так как оба вектора $\mathbf{s}$ и $\mathbf{M}$ не имеют составляющих вдоль оси фигуры, то отсюда получаем
\[
I_{\|} \omega_{\|} \dot{\mathbf{s}}=\mathbf{M},
\]

а это и есть основное уравнение приближенной теории гироскопа.
4. К движению изображающей точки, поскольку оно описывается уравнением (52.10), формально можно применять все теоремы механики точки, например уравнение сохранения энергии. При этом надо только иметь в виду, что отклоняющая сила, как перпендикулярная к скорости $\dot{\mathbf{s}}$, работы не производит. Работа производится только реальной силой $\mathbf{f}_{\text {реал }}$.
5. На основе точного уравнения движения симметричного гироскопа можно, конечно, исследовать движение свободного гироскопа. Поскольку, однако, относящиеся сюда результаты уже были получены в $\$ 49$, мы не будем заниматься этим исследованием, а рассмотрим на основе точной теории вынужденную прецессию и нутации симметричного гироскопа.

Допустим, что действующая сила $\mathbf{F}$ постоянна и приложена в одной из точек оси фигуры гироскопа (рис. 168). Радиус-вектор этой точки, проведенной из точки опоры, обозначим через а. Если точка опоры $O$ не совпадает с центром масс гироскопа, то роль силы $\mathbf{F}$ может выполнять вес самого гироскопа. Момент силы $\mathbf{F}$ равен $\mathbf{M}=[\mathbf{a F}]=\left[\mathbf{a} \mathbf{F}_{\perp}\right]$, где $\mathbf{F}_{\perp}-$ слагающая этой силы, перпендикулярна к оси фигуры гироскопа. Следовательно, $f_{\text {реал }}=[\mathbf{M s}]=\left[\left[\mathbf{a F}_{\perp}\right] \mathbf{s}\right]=a \mathbf{F}_{\perp}$, так как векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{s}$ коллинеарны. Таким образом, уравнение (52.10) примет вид
\[
I_{\perp}(\ddot{\mathbf{s}})_{\perp}=a \mathbf{F}_{\perp}+I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}] .
\]

Теперь поставим вопрос, можно ли вершине гироскопа сообщить такую начальную скорость, чтобы она совершала регулярную прецессию, т. е. равномерно вращалась вокруг оси, параллельной направлению действующей силы $\mathbf{F}$ и проходящей через точку гироскопа $O$. Угловую скорость такого вращения обозначим через $\boldsymbol{\Omega}$. Конкретно под силой $\mathbf{F}$ будем понимать вес самого гироскопа: $\mathbf{F}=m \mathbf{g}$. За положительное направление вектора $\boldsymbol{\Omega}$ при-
Рис. 168 мем направление вверх, т. е. направление, противоположное силе $\mathbf{F}$ (см. рис. 168). Ответ на поставленный вопрос легко получить из уравнения (52.11). Для этого спроецируем уравнение (52.11) на направление вектора $\mathbf{F}_{\perp}$. Вершина гироскопа при регулярной прецессии движется со скоростью $\dot{\mathbf{s}}=[\boldsymbol{\Omega} \mathbf{s}]$ и ускорением $\ddot{\mathbf{s}}=-\Omega^{2} \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}-$ радиус-вектор, проведенный от оси прецессионного вращения к вершине гироскопа ( $r=s \sin \alpha=\sin \alpha$, причем $\alpha$ означает угол между осью фигуры гироскопа и вертикальным направлением). Взяв от ускорения $\ddot{\boldsymbol{s}}$ его составляющую, перпендикулярную к оси фигуры, и выполнив указанное проецирование, получим после сокращения на $\sin \alpha$
\[
I_{\perp} \Omega^{2} \cos \alpha-I_{\|} \omega_{\|} \Omega+a F=0,
\]

откуда
\[
\Omega=\frac{1}{2 I_{\perp} \cos \alpha}\left(I_{\|} \omega_{\|} \pm \sqrt{I_{\|}^{2} \omega_{\|}^{2}-4 a F I_{\perp} \cos \alpha}\right) .
\]

Если центр масс гироскопа лежит выше точки опоры, то угол $\alpha$ – острый (см. рис. 168). В этом случае при недостаточно быстром собственном вращении гироскопа подкоренное выражение в формуле (52.13) может оказаться отрицательным. Тогда рассматриваемая регулярная прецессия становится невозможной, а положение гироскопа – неустойчивым. Вообще, для устойчивости гироскопа необходимо выполнение условия
\[
I_{\|}^{2} \omega_{\|}^{2}-4 a F I_{\perp} \cos \alpha>0 .
\]

Это условие выполняется всегда, когда центр масс гироскопа лежит ниже точки опоры. Если же центр масс расположен выше точки опоры, то гироскоп должен вращаться достаточно быстро.

Допустим, что условие (52.14) выполнено. Тогда квадратное уравнение (52.12) имеет два вещественных корня. В этом случае регулярная прецессия возможна, и притом не одна, а две. Прецессия, которой соответствует меньший по абсолютной величине корень уравнения (52.12), называется медленной. Прецессия, соответствующая другому корню, называется быстрой.
6. Допустим, что выполнено условие $I_{\|}^{2} \omega_{\|}^{2} \gg\left|4 a F I_{\perp} \cos \alpha\right|$. Тогда для квадратного корня в формуле (52.13) можно написать приближенно
\[
I_{\|} \omega_{\|}\left(1-\frac{4 a F I_{\perp} \cos \alpha}{I_{\|}^{2} \omega_{\|}^{2}}\right)^{1 / 2} \approx I_{\|} \omega_{\|}-\frac{2 a F I_{\perp} \cos \alpha}{I_{\|} \omega_{\|}} .
\]

В результате получится
\[
\begin{array}{c}
\Omega_{\text {медл }} \approx \frac{a F}{I_{\text {п }} \omega_{\|}}, \\
\Omega_{\text {быстр }} \approx \frac{I_{\|}}{I_{\perp} \cos \alpha} \omega_{\|} .
\end{array}
\]

Формула (52.15) совпадает с формулой (50.4), к которой приводит приближенная теорема гироскопа. Таким образом, регулярная прецессия, о которой говорится в приближенной теории, есть медленная прецессия. Угловая скорость быстрой прецессии, как видно из формулы (52.16), по порядку величины совпадает с $\omega_{\|}$. Здесь не выполнено основное условие применимости приближенной теории $\omega_{\perp} \ll \omega_{\|}$. Поэтому быструю прецессию нельзя рассматривать в рамках приближенной теории. Регулярная прецессия свободного гироскопа, рассмотренная в $\S 49$, есть частный случай быстрой прецессии, при котором $F=0$.
7. Для того чтобы у читателя не сложилось впечатления, что быстрая прецессия является каким-то чисто умозрительным явлением, рассмотрим тривиальный пример конического маятника, когда $\omega_{\|}=0$ и ни о каких гироскопических эффектах говорить не приходится. Разумеется, в этом случае центр масс должен лежать ниже точки подвеса. Поэтому угол $\alpha$ целесообразно заменить дополнительным углом $\beta=\pi-\alpha$, который ось маятника образует с вертикалью, направленной вниз. Формула (52.13) переходит в
\[
\Omega= \pm \sqrt{\frac{a F}{I \cos \beta}},
\]
т. е. в известную формулу круговой частоты конического маятника.
8. Регулярная прецессия, как медленная, так и быстрая, является весьма специальным частным случаем движения вершины гироскопа, реализующимся при вполне определенных начальных условиях. Для исследования общего случая в уравнении (52.7) сделаем замену $\dot{\mathbf{s}}=\mathbf{v}_{\Pi}+\mathbf{v}_{\mathrm{H}}$. Вектор $\mathbf{v}_{\text {п }}$ определим из условия $[\mathbf{M s}]+I_{\|} \omega_{\|}\left[\mathbf{s v}_{\Pi}\right]=0$. Тогда $I_{\perp}(\ddot{\mathbf{s}})_{\perp}=I_{\|} \omega_{\|}\left[\mathbf{s v}_{\mathrm{H}}\right]$. Величина $\mathbf{v}_{\text {п }}$ есть скорость вершины гироскопа, с которой она двигалась бы, если бы совершала медленную регулярную прецессию. (Вторая слагающая скорости $v_{\text {н }}$ будет описывать нутацию.) Если пренебречь ускорением при такой прецессии, то $\ddot{\mathbf{s}}=\mathbf{v}_{\mathrm{H}}$, а потому
\[
I_{\perp} \dot{\mathbf{v}}_{\mathrm{H}}=I_{\|} \omega_{\|}\left[\mathbf{s v}_{\mathrm{H}}\right],
\]

причем мы опустили у $\mathbf{v}_{\text {н }}$ значок $\perp$, так как слагающая ускорения вдоль оси фигуры гироскопа сейчас не представляет интереса, и от нее можно отвлечься. Если на правую часть уравнения (52.17) смотреть как на аналог силы, то эта сила будет перпендикулярна к скорости $\mathbf{v}_{\mathrm{H}}$, а потому она не может производить работы. Поэтому модуль скорости $\mathbf{v}_{\text {н }}$ меняться не может, и уравнение (52.17) описывает равномерное движение по окружности. Если $r-$ радиус такой окружности, а $\Omega_{\mathrm{H}}-$ угловая скорость вращения, то $v_{\mathrm{H}}=\Omega_{\mathrm{H}} r$, $\left|\dot{\mathbf{v}}_{\mathrm{H}}\right|=\Omega_{\mathrm{H}}^{2} r$. При этом ввиду перпендикулярности между $\mathbf{S}$ и $\mathbf{v}_{\text {н }}$ из уравнения (52.17) получается

откуда
\[
I_{\perp} \Omega_{\mathrm{H}}^{2} r=I_{\|} \omega_{\|} \Omega_{\mathrm{H}} r
\]
\[
\Omega_{\mathrm{H}}=\frac{I_{\|}}{I_{\perp}} \omega_{\|} .
\]

Таким образом, в общем случае на медленное прецессионное движение вершин гироскопа накладывается равномерное круговое движение с круговой частотой $\Omega_{\mathrm{H}}$, определяемой уравнением (52.18). Радиус кругового движения равен $r=\frac{v_{\text {н }}}{\Omega_{\text {н }}}=\frac{v_{\text {н }}}{\omega_{\|}} \frac{I_{\perp}}{I_{\|}}$. В результате такого наложения траектория вершины гироскопа может быть либо циклоидального типа (рис. 169 б), либо петлеобразного (рис. 169 а), либо она будет напоминать синусоиду (рис. 169 в). Какой из этих вариантов осуществляется в каждом конкретном случае, зависит от начальных условий, т. е. от положения вершины гироскопа в начальный момент времени и скорости, которая ей была сообщена в тот же момент. Наложением кругового движения на медленную прецессию и объ-
Рис. 169

ясняются нутации, о которых говорилось в § 50. Радиус кругового движения $r$ есть не что иное, как амплитуда нутационных колебаний. При $r=0$ нутаций не будет, и движение вершины перейдет в регулярную прецессию.

Пример. В авиагоризонте, рассмотренном в примере $\S 50, I_{\perp}=3 / 5 I_{\|}$. Число нутаций на один прецессионный оборот равно
\[
N=\frac{\Omega_{\mathrm{H}}}{\Omega_{\mathrm{n}}}=\frac{I_{\|}}{I_{\perp}} \frac{\omega_{\|}}{\Omega_{\mathrm{n}}}=4,77 \cdot 10^{5} .
\]

Если начальная скорость вершины гироскопа равна нулю, то $\mathbf{v}_{\text {п }}+\mathbf{v}_{\mathrm{H}}=0$, а потому $r=v_{\Pi} / \Omega_{\mathrm{H}}$. Но $v_{\Pi}=R \Omega_{\Pi}$, где $R-$ радиус прецессии. Таким образом,
\[
\frac{r}{R}=\frac{\Omega_{\mathrm{n}}}{\Omega_{\mathrm{H}}}=\frac{1}{N}=\frac{1}{4,77 \cdot 10^{5}} .
\]

Этот пример наглядно показывает, насколько мелким и частым дрожанием являются нутации в быстровращающихся технических гироскопах.
9. В заключение рассмотрим, как можно качественно объяснить характер траектории вершины гироскопа при наличии нутаций. Мы исходим непосредственно из уравнения движения вершины (52.11). Пусть на рис. 169 ось фигуры гироскопа своим положительным концом направлена в сторону читателя. Пусть в начальный момент времени вершина неподвижна и занимает положение $A_{1}$ (см. рис. 169 б). В этот момент скорость $\dot{\mathbf{s}}$, а потому и отклоняющая сила $I_{\|} \omega_{\|}[\mathbf{s} \dot{\mathbf{s}}]$ равны нулю. Под действием силы тяжести вершина получает скорость, направленную вниз. Но тогда появляется и боковая отклоняющая сила. Она начинает загибать траекторию вершины влево (если, встав на плоскость рисунка, идти в сторону движения). В положении $B_{1}$ скорость вершины становится горизонтальной, а отклоняющая сила вертикальной. По величине отклоняющая сила превосходит силу веса, а вершина гироскопа начинает подниматься. В верхнем положении $A_{2}$ скорость вершины обращается в нуль. Это непосредственно следует из уравнения энергии, которому формально подчиняется движение вершины. Затем движение неограничено повторяется. Получается траектория циклоидального типа. Траектория с петлями рис. 169 а получится, если в начальный момент сообщить вершине скорость в направлении против прецессии. Если же начальная скорость сообщена в направлении прецессии, то получится траектория типа рис. 169 в. В последнем случае скорость можно подобрать такой, что возникает регулярная прецессия без нутаций.